книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики
..pdfобластей была корректная, недостаточно задавать краевые ус ловия на границе области. Необходимо вводить дополнительные ограничения на поведение решения на бесконечности.
Пример |
1. Пусть |
D— {XœR3 / |х |> 1 |
} — внешность единич |
ного шара |
в R3 и |
T— {x^R3 | \х\ = |
1} — граница D (рис. |
6.7,а). Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле; найти функцию
UœC2(D)[)C(D) такую, что
Д й=0 в D,
U |г = 1.
Решение поставленной таким образом задачи неединственно:
по крайней мере две функции ÜI(JC) S=1 и и2(х) = -г~Т" явля’
ются решениями этой за дачи. \рсли наложить ус ловие
и(х)—>0 при |л;|—»оо,
|
|
(6.42) |
|
|
то получим, |
что решение |
|
||
, щ (х) условию |
(6.42) |
не |
|
|
удовлетворяет, |
тогда |
как |
рис- 6 7 |
|
поведение |
ц2 (х) на |
бес- |
||
конечности |
соответствует |
|
||
условию (6.42).
Спрашивается, нет ли еще других решений этой же задачи, удовлетворяющих условию (6.42), т. е. будет ли условие (6.42) гарантировать единственность решения рассматриваемой внеш
ней задачи Дирихле. |
|я |> 1 } — внешность единич |
||
Пример 2. Пусть D = { XœR2 I |
|||
ного круга, |
на |
плоскости R2 и Г = {л :е # 2 I |х| = 1} — граница |
|
D (рис. 6.7, б). |
внешнюю задачу Дирихле: найти функцию н е |
||
Рассмотрим |
|||
&C2{D)[\C(D ) такую, что |
|
||
|
|
Дй-=0 в D , |
|
|
|
и |г ^ |
1. |
Существует |
два решения этой |
задачи: ^ ( j c j s l и н2(-*) = |
|
=1п —-— в D. |
|
|
|
I * I |
условие ограниченности решения по модулю на |
||
Наложим |
|||
бесконечности, т. е.'условие: З М > 0 такое, что
V * , |
| * \| и>( х )р\ < ,М . |
(В рассматриваемом примере р ^ 1 .) Этому условию удовлет воряет решение Ui(x) и не удовлетворяет решение Иг(х).
Снова возникает вопрос: обеспечивается ли при выполнении условия (6.42) единственность решения внешней задачи Дирих ле на плоскости? Покажем, что это действительно так. Для этого введем понятие гармонической функции, регулярной на бесконечности.
Функция и(х) гармоническая в неограниченной области Dcz czRn, содержащей внешность шара достаточно большого ра диуса р, называется регулярной на бесконечности, если она удовлетворяет при п ^ З условию (6.42), а при п—2 условию
(6.43).
Рассмотрим некоторые свойства гармонических функций, регулярных на бесконечности, которые позволят обосновать корректность внешних краевых задач при условии регулярно сти на бесконечности.
1° (об асимптотическом поведении но. бесконечности). Пусть и(х)— гармоническая функция, регулярная на бесконечности. В случае п ^ З
|
|
(6.44) |
В случае п—2 существует конечный предел |
|
|
Пт и(х). |
(6.45) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала |
рассмотрим |
случай п—2. |
Пусть D — неограниченная область |
на плоскости, содержащая |
|
внешность круга К радиуса р с центром в начале координат и С : | х | = р — граница К. Сделаем преобразование инверсии от носительно окружности С. Внешность круга К при этом перей дет в круг К с выколотым центром. Покажем, что при этом гармоническая во внешности круга К функция и(х) преобра зуется в гармоническую функцию и*(х*) в круге К с выколо тым центром, где через х* обозначена точка, инверсная точке х относительно окружности С.
Введем полярную систему координат с полюсом в начале координат и обозначим через г, ф и г*, <р* соответственно по лярные координаты точек х и х*, так что гг*—р2 и <p=q>\ По ложим и*(г*, <р*)—и(г, ф).
Уравнение Лапласа |
в полярных координатах можно запи |
|
сать в виде |
|
|
Дй |
Urr-\- г йгН |
—О |
или в виде |
|
|
Lu ^ (,гиг)г f- |
Uyf 0. |
вая, что д _д дг* ____.
дг дг* дг
получаем
р2
Г2
д
дг* ~~
Г * 2
р2
д |
д |
д |
дг* |
ду |
д р ’ |
|
Дг |
|
(Г, <р)= |
|
—( — |
г*2* |
' |
|
|
|
|
г*2 \ |
да* 1 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
/) Л fрг |
\ |
|
J |
дг* |
J |
‘ |
||||
|
|
|
|
Т |
р2 \ |
|
1 |
дг» L |
|
р2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г* (- |
|
|
|
|
|
|||||
. |
/ |
Г * |
\2 |
02и |
_ |
Г * 4_L_L |
à |
Л.* |
|
. |
I |
|
д^и* ) |
|||||
' |
\ |
р2 |
) |
д<р*2 |
|
Р1 |
\ г* |
|
дг* |
V |
дг* J |
1 |
г*2 |
др* |
] |
|||
|
|
|
|
|
|
—_Ç - A r.,rM*(r*, -?*)■ |
|
|
|
|
|
(6.46) |
||||||
Так как в круге К с выколотым |
центром |
г*Ф0, то |
в силу |
|||||||||||||||
(6.46) |
|
из |
равенства |
АЛфц(г, |
ф ) = 0 следует |
|
равенство |
|||||||||||
Дr*,ç* и*(г*, ф*)=0, |
т. е. при |
преобразовании |
инверсии гармо |
|||||||||||||||
ническая функция переходит в гармоническую. |
|
бесконечности, |
||||||||||||||||
Гармоническая |
|
функция |
и{х) |
регулярна |
на |
|||||||||||||
т. е. согласно (6.43) ограничена |
по |
модулю |
на |
бесконечности. |
||||||||||||||
Но тогда |
и функция и* (г*, ф*) |
также ограничена по модулю в |
||||||||||||||||
окрестности |
точки |
r* = 0 |
и тем более и*(г*, ф *)=о |
(In — ) при |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г* |
г*->0. По теореме об устранимой особенности для гармониче ских функций в ограниченных областях функцию и* (г*, ф*) можно доопределить в точке г*= 0 так, чтобы она была гармо нической в полной окрестности. Положим
K *U -0= lim и* (г*, <?*)=А. |
(6.47) |
г*-*0 |
|
Тогда |
|
lim и(г,ср)=Л, |
(6.48) |
Г оо |
|
тем самым утверждение (6.45) доказано.
Рассмотрим теперь случай п^Ъ. Пусть К — шар |
радиуса р |
с центром в начале координат такой, что внешность |
К принад |
лежит области D. Пусть также |
5 : | * | = р — сфера, ограничи |
|
вающая шар К. |
называемое преобразованием |
|
Сделаем |
преобразование, |
|
Кельвина: |
точке х поставим |
в соответствие точку д;*, рас |
1) каждой |
||
положенную на луче Ох так, что |д:| |я * |= р 2; 2) положим
(6.49)
При этом преобразовании |
внешность шара К перейдет |
в |
||||||
шар К с выколотым центром. Можно показать, |
что |
и в этом |
||||||
случае |
гармоническая вне К |
функция |
и(х) |
преобразуется |
в |
|||
гармоническую в /С \{* * = 0 } |
функцию |
и*(х). Так как |
функ |
|||||
ция и(х) |
регулярна на бесконечности, |
то, |
согласно |
(6.42), |
||||
и(х)->0 при |*|->-оо. Тогда учитывая равенства |
из |
(6.49) |
и |
|||||
|* | |**| = р 2, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
— Y — ^ ( т * т ) ”_2 'х ^Я~2а (А:)=Р2(я“2)й(*) — О |
|
|
||||||
|
\х*\п~2 |
|
|
|
|
|
|
|
при |л;*|—0, т. е. и*( * * ) = о |
^ |
при |* * |—»0. Тогда |
по |
|||||
теореме об устранимой особенности, можно доопределить функ цию и*(х*) в точке * * = 0 так, чтобы она была гармонической
вполном шаре К. Полагая
й*(0)= lim и*(х*)=А
иучитывая равенство (6.49), получим
А— Iim |* |я-2й(*),
откуда следует, что при |*|-*-оо
и равенство (6.44) доказано. |
|
|
|
|
2° (об а с и м п т о т и ч е с к о м |
п о в е д е н и и на |
б е с к о |
||
н е ч н о с т и п р о и з в о д н ы х п е р в о г о |
п о р я д к а ) . |
Пусть |
||
и(х) — гармоническая функция, регулярная |
на бесконечности. |
|||
Тогда при |*|->оо v i = 1 |
, п в случае п^Ъ |
|
||
да |
|
|
|
(6.50) |
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а в случае п—2 |
|
|
|
|
du |
■ = о ( |
1 ) . |
|
(6.51) |
ôxi |
1 |
|*12/ |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть область D содержит внешность шара К радиуса р с центром в начале координат и S: |* | = р .
Пусть также и(х) — гармоническая |
в D функция, регулярная |
|
на бесконечности. |
Возьмем произвольную точку*, |* |> 2 р . |
|
Очевидно, сфера |
Г^:]* —* | = - ^ - 1 * | |
принадлежит области D |
вместе с ограниченным ею шаром Кх (рис. 6.8). Тогда соглас-
134
но оценке (6.38) производных гармонических в ограниченных областях функций для функции и(х) в К7 получаем
да |
|
< |
п |
max|«U)|, / = |
я. |
(6.52) |
||
dxi |
|
I | ~ | |
||||||
Х—Х |
г~ |
|
|
|
||||
|
|
|
— 1*1 |
* |
|
|
|
|
В случае |
3 |
согласно |
равенству |
(6.44) |
для |
регулярной |
||
на бесконечности функции и(х) имеем |
|
|
|
|||||
|
|
тах| и(х) | = 0 |
( - ^ |
- ) |
|
(6.53) |
||
Тогда из (6.52) |
и |
(6.53) |
следует |
(6.50). |
|
|
|
|
|
Рис, 6.8 |
|
|
|
В |
случае я = 2 для |
регулярной |
на бесконечности |
функции |
и{х), |
согласно (6.48), |
существует |
конечный предел |
limu(*) = |
|
|
|
| X| -*оо |
|
—А, где А определяется из равенства (6.47). А так как функ
ция и*(х*) |
в |
(6.47) |
дифференцируема в |
точке JC* = 0, то |
||
и(х*)—Л= |
0(|л;*|) при |
откуда для |
и{х) получаем |
|||
|
|
и(х) — А —0 ( - У при Ul |
со. |
(6.54) |
||
|
|
|
||||
Из (6.52) при п = 2 и |
(6.54) следует, что |
|
|
|||
ди |
|
__ д (и — А) |
|
|
оо, |
|
дхI |
х - х |
dxi |
|
|
||
|
|
|
||||
а это и доказывает равенство |
(6.51). |
|
|
|||
Для гармонических в неограниченных областях и регуляр |
||||||
ных на бесконечности функций справедливы |
формулы Грина. |
|||||
Т е о р е м а . |
Пусть |
D a R n— неограниченная область, содер |
||||
жащая внешность шара достаточно большого радиуса; р и Г —
• ее граница.
Пусть также и, v — гармонические в D, регулярные на беско нечности и дважды непрерывно дифференцируемые в замкну
той области D функции. Тогда |
|
|
|
|
|
||||
|
|
J vLudx = |
f v |
d |
s — J (V«,V v ) dx; |
(6.55) |
|||
|
|
D |
T |
|
|
|
D |
|
|
|
|
J uùaidx= |
j* и ■— |
ds —j* (Yttfdx\ |
|
(6.56) |
|||
|
|
JcuAu—uAu) d x = ^ |
|
— и - ^ j ds, |
(6.57) |
||||
|
|
о |
|
|
г |
|
|
|
|
где n — единичный вектор внешней нормали. |
|
Обозна |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
р и 5 Л:|д :|= /? . |
|||||||
чим через TR область, ограниченную |
сферой S R |
и границей Г |
|||||||
области D (рис. 6.9). Применяя формулу Грина (6.4) к функ |
|||||||||
циям и, |
V в области тп олу ча ем |
|
|
|
|
||||
|
J |
u A |
u r f ; c |
= v - ^ j*- d s — |
J ( w > i v ) d x . |
(6.58) |
|||
|
|
|
T[)SR |
|
|
XR |
|
|
|
Устремим в этом равенстве R-*~oo. В |
случае |
3 согласно ра |
|||||||
венствам (6.44) и |
(6.50) имеем |
|
|
|
|
||||
|
” l*«= |
0 ( - p r ) ' |
■ ^ U |
= 0 (" ^ = r ) ' |
|
||||
и, учитывая, что для элемента площади сферы SR |
|
||||||||
|
|
|
|
d s = |
0 ( R n ~ î ), |
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*/? |
|
|
что п—2 ^ 1) следует, что |
|||
откуда |
(принимая во внимание, |
||||||||
|
|
|
lim \ v - ^ - d s —0. |
|
|
||||
|
|
|
R^Q j |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SR |
|
|
|
|
|
Далее, |
так |
как, |
согласно |
(6.50), |
(Vu, Vu) |
7(^ |
t) -j при |
||
R-+00 и 2(п— 1 )> п при |
3, то |
^ |
(Vu, Vv)dx сходится и |
||||||
|
|
Нш J (vu, A-ù) d x — { (vu, V?)dx. |
|
|
|||||
|
|
|
to |
|
|
и |
|
|
|
|
|
Игл |
f rühdidx= |
i |
vàtidx |
|
|
|
—>■во |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и из равенства |
(6.58) |
при R-+oo_ получаем формулу. (6.55). |
||||
При v = u |
имеем |
(6.56). Записывая по формуле (6.55) |
выраже |
|||
ние для |
.f utxodx и вычитая его из |
|
(6.55), получаем |
(6.56). |
||
|
D |
|
|
|
|
|
Аналогично тому, как в § 6.2, можно ввести функцию Грина для неограниченной области и получить интегральное представ ление через нее регулярной на бесконечности гармонической функции.
Рассмотрим теперь вопрос о единственности решений внеш них краевых задач. Пусть D — неограниченная область, содер жащая внешность шара достаточно большого радиуса, и Г— ее граница. Классическим решением внешней задачи Дирихле
(соответственно Неймана и третьей краевой задачи) для урав нения Лапласа в области D будем называть функцию «, гар моническую в D, непрерывную (соответственно непрерывно дифференцируемую) в замкнутой области D, удовлетворяющую на границе Г краевому условию первого (соответственно второ
го и третьего) |
рода и регулярную на бесконечности. |
Т е о р е м а . |
Классическое решение внешней задачи Дирих |
ле и внешней |
третьей краевой задачи единственно, а класси |
ческое решение внешней задачи Неймана единственно с точ ностью до аддитивной постоянной.
Эта теорема является непосредственным следствием форму
лы Грина (6.55), и доказательство ее |
аналогично |
доказатель |
ству единственности решений внутренних краевых |
задач (см. |
|
§ 6.1). |
условиях разрешимости |
|
Сделаем некоторые замечания об |
||
внешних краевых задач. Внешняя задача Дирихле, как и внут
ренняя, разрешима для любой области D с |
гладкой |
|
гра |
ницей Г и при любой непрерывной функции р в краевом |
ус |
||
ловии. |
задачи |
Ней |
|
Условия разрешимости внешней и внутренней |
|||
мана различны. Если для внутренней задачи Неймана с крае
вым условием |
дп |
= р необходимым условием разрешнмо- |
|
|
г |
|
|
сти’ было |
0, |
то для внешней задачи в DciRa при |
3 |
г |
|
|
|
это условие не является необходимым. |
|
||
Действительно, |
рассматривая классическое решение внеш |
||
ней задачи Неймана в области т* между Г и SR (рис. 6.9), по-
лучаем |
|
|
|
j ^ d s . |
(6.59) |
г115л |
г |
|
В случае п^Ъ имеем ds—0 (R n~l) |
при R-*-оо и, |
согласно |
Поэтому |
|
|
может быть отличен |
от нуля. Но тогда из |
(6.59) при R-^oo |
получаем, что J \ids |
также может быть |
отличен от нуля, |
г |
|
|
В случае п—2 при R^+oo имеем d s = 0 (R ) |
и согласно равен- |
|
Переходя в равенстве (6.59) к пределу при |
о о , получаем, |
что равенство J |u fe= 0 остается необходимым |
условием раз- |
г |
|
решимости внешней задачи Неймана на плоскости.
§ 6.5. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
Метод Фурье применим к решению краевых задач для урав нения Лапласа в простейших областях, ограниченных коорди натными линиями (поверхностями). На плоскости это прямо угольник со сторонами, параллельными осям координат, круг, внешность круга, кольцо или часть кольца между двумя радиу сами (в этом случае рассматривают полярную систему коорди нат с полюсом в центре круга). В пространстве это параллеле пипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, круговой цилиндр (в этом случае вводят цилиндрическую си стему координат с осью координат, совпадающей с осью ци линдра), шар и другие области.
Применение метода Фурье рассмотрим на примерах решения задачи Дирихле для прямоугольника, части кольца между дву мя радиусами и цилиндра.
Пример 1. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа
0 |
' |
(6.60) |
в прямоугольнике D = {{x , y)ŒR2\Q<x<a, 0< y< b} со следую щими краевыми условиями:
Ч|дг—0— Н*! (У)* |
Ч]jr-a= P,2(ï/)> 0 - ^ y ^ b j |
|
(6.61) |
« |ÿ -o = v 1U ), |
и\у-ь=МУ)> |
Решение и ищем в виде суммы v+w решений задач
|
4 M + * W = 0 |
в D, |
|
(6.62) |
|
TJ |дг—0==Т> U = a — 0, |
0 - ^ . y ^ . b f |
|
|||
T»1!/- O= |
V1(A:)> |
« |у- ъ = \ ( х \ |
0 < * < a ; |
|
|
|
®дг.г~{~= 0 в /Э, |
|
|||
® |* -о= М 0)» |
® U -ee=p2(ÿ), |
0 < y < b , |
(6.63) |
||
IS} |
_■о ==W |y—£>—0, |
0 ^ |
|
|
|
каждую из которых решаем методом Фурье. Представим реше ние задачи (6.62) в виде произведения
<v(xty)=^X(x)Y(y)
и подставим его в уравнение и однородное краевое условие. Имеем
|
|
X " Y + X Y " = 0, |
|
|
|
X {0)Y {y)=0, |
X (a)Y(//)= 0, V у<=[0,Ь]. |
|
|||
Разделяя переменные, |
полагая Х"/Х=—к |
и учитывая, |
что |
||
У (у)'Ф 0, приходим к системе |
|
|
|
||
|
|
Х " + \Х = 0 \ |
|
(6.64) |
|
|
|
Y" — \Y = 0 ; |
|
(6.65) |
|
|
|
X (0)—Х (а)—0. |
(6.66) |
||
Нахождение |
ненулевого решения |
краевой |
задачи (6.64), |
||
(6.66)— это |
уже известная задача |
Штурма — Лиувилля |
(см. |
||
§ 3.2). Ее собственными значениями и собственными функция ми являются
Я2Л2 |
’ |
|
х„=- Л2 |
|
|
-ЛГл(а:)=* sin ЯЛ* |
л = 1 , 2,... |
(6.67) |
Решая уравнение (6.65) при Я=Ая, получаем
|
|
%ПУ |
—ъпу |
|
Уп(у)= А пе ~ + В пе « . |
|
|||
Представляя решение задачи |
(6.63) |
в виде ряда |
||
°° |
/ ъпу |
—ъпу \ |
лпх |
|
■Ü U ,« /)= 2 |
\А“е а |
+ 5/,e |
а ) sm |
а ’ |
л=1 |
|
|
|
|
подбираем коэффициенты Ая, Вп так, чтобы удовлетворялись краевые условия при у — 0 и у=Ь:
|
|
п—1 |
а |
во |
/ |
ъпЬ |
—«hb V |
2 |
U « e_5~ + ^ e - F ”j sin - ^ - = М *). |
||
я=1 |
|
|
Д |
Отсюда следует, что Ая и BnV п = 1, 2,... определяются из си стемы
а
Ап-\-Вп —— Гvx(л:) sin |
d x , |
|||
|
л |
.) |
а . |
|
1сп& |
—1гп& |
о % |
а |
|
|
|
|||
Апе а -\-Впе |
а |
= — |
f v2(^)sin |
™x-dx* |
|
|
Ci |
щ) |
Г |
|
|
|
о |
|
Аналогично, решая задачу (6.63), получаем ряд
СО / 1Г Я Г TZflX \
‘® ( х ,у )= ' £ [С пе ь + D ne * j s i n - ^ - , Л=1
коэффициенты которого Сп и Пя находятся из системы
&
J Hi (#)sin —~ ~ d y t
о
тгпА |
ъпа |
b |
Сле & + £>е
о
Пример 2. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона
*« + * » » = /(•* , у)
втом же прямоугольнике Z) с теми же краевыми условиями (6.61), как и в примере 1.