книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

Элементы конструкций в виде оболочек и пластин широко применяются в совре­ менной инженерной практике. Во многих случаях они выполняются из армированных композитных материалов, обладающих характерными физико-механическими свой­ ствами (анизотропия, пониженная сдвиговая жесткость, поперечное обжатие, нели­ нейность н др.). Возможность деформирования по толщинной координате (что свой­ ственно для Потоцких оболочек) позволяет учитывать распределение напряженнодеформированного состояния оболочки по трем направлениям. Решения задач для анизотропных оболочек и пластин в трехмерной постановке сопряжены со значитель­ ными математическими трудностями, для преодоления которых пользуются прибли­ женными методами, например методом уменьшения (по пространственным координа­ там) количества независимых переменных. При этом переход от трехмерных задач к двухмерным осуществляется по-разному.

Построенная при помощи кинематической гипотезы нормального элемента клас­ сическая теория оболочек изучена достаточно полно. Большой вклад в ее развитие внесли советские ученые Н. А. Алумяэ, С. А. Амбарцумян, В. В. Болотин, В. 3. Вла­ сов, А. С. Вольмир, И. И. Ворович, К. 3. Галимов, А. Л. Гольденвейзер, Э. И. Григолюк, А. Н. Гузь, Н. А. Кильчевский, А. И. Лурье, X. М. Муштари, В. В. Ново­ жилов, П. М. Огибалов, К. Ф. Черных и др.

Существует ряд подходов построения теории оболочек и пластин при менее жестких допущениях, чем гипотеза нормального элемента. К ним относится теория типа С. П. Тимошенко, теория Э. Рейсснера, С. А. Амбарцумяна, Т. В. Койтера и др. Некоторые их приложения к задачам статики, динамики и устойчивости оболочек и пластин даны в монографиях С. А. Амбарцумяна [61, В. В. Болотина, Ю. Н. Новичко­ ва [12], Г. А. Ванина, Н. П. Семенюка, Р. Ф. Емельянова [15], А. Н. Гузя, И. С. Чер­ нышенко, Вал. Н. Чехова, Вик. Н. Чехова, К. И. Шнеренко [49], Б. Л. Пелеха [88],

атакже в работах А. Т. Василенко [14], А. П. Мукоеда [81], Ю. Н. Новичкова [85],

К.И. Шнеренко [128, 129]. Работы А. К. Галиньша [34], Э. И. Григолюка, Ф. А. Ко­ гана [44] носят обзорный характер.

Имеющиеся здесь подходы условно разделяются по классификации-И. И.-Воровн- ча [28] и А. Л. Гольденвейзера [43] на две группы. К первой относятся методы, содер­ жащие регулярный процесс замены решения трехмерной задачи последовательностью решении двухмерных, ко второй — методы, базирующиеся на принятии упрощаю­ щих гипотез без регулярного процесса.

Впервой группе выделяются два направления, связанные-с асимптотическими методами и методами разложения по толщине. Асимптотический способ'интегрирова­ ния уравнений трехмерной теории упругости описан в работах А. *Л. Гольденвейзе­ ра [42], К. О. Фридрихса [136], Э. Л. Рейсса [139], Л. А. Аголовяна [1], В. Л. Бер­ дичевского [8], В. А. Колос [65] и др. Иной подход к вскрытию исимптотики решений, основанный на однородных решениях, развивается в работах И. И. Воровича [29], О. К. Аксентяна, Т. В. Селезневой [5], А. Н. Ведерникова, Т. В. Виленской [19], Т. В. Виленской [26], О. К. Аксентяна [3], А. С. Космодамианского, В. А. Шалдырванз [66], Ю. А. Устинова [98], М. А. Шленева [127].

Метод разложений по толщине основан на представлении искомых функций в виде рядов по положительным степеням толщинной координаты. А. Коши и С. Пуас­ сон рассматравали задачу упругого равновесия пластины. Впоследствии Н. А. Киль­ чевский [64] этот метод распространил на задачи теории оболочек. Причем вместо

обычных степенных рядов он использовал тензорные разложения, справедливые для произвольной криволинейной системы координат. Символический способ преобра-

ставления соответствующих граничных и начально краевых задач относительно коэф­ фициентов разложений (как функций координат срединной поверхности и времени) используются проекционный и вариационные методы. Проекционным способом в [20) И. Н. Векуа получены уравнения равновесия (движения) призматических оболочек переменной толщины. Дальнейшее развитие его и обобщение на произвольные тонкие пологие оболочки описано в работах [21—23]. При составлении уравнений равнове­ сия оболочек вращения П. Чикала [132] использует вариационный принцип возмож­ ных перемещений. В. В. Понятовский [90, 91] строит уравнения равновесия однослой­ ных и многослойных ортотропных пластин при помощи полуобратного метода СенВенана с применением вариационного принципа Кастильяно. В работах Ш. К. Гали­ мова [33], В. И. Гуляева, В. А. Баженова, П. П. Лнэунова [52], О. Ю Калекина [62], А. Солера [97, 99, 137], В. К. Чибирякова [126] и автора [116J эти методы распростра­ няются на нетонкие изотропные и анизотропные пластины п оболочки.

Изучению оператора теории оболочек И. Н. Векуа и решению граничных задач о напряженно-деформированном состоянии изотропных пластин и тонких пологих оболочек посвящены работы Т. С. Вашакмадзе [16— 18], Д. Г. Гордезианп [36—39|, Д. Г. Гордезиани, О. П. Комурджишвили [40, 41], А. Ф. Гюнтера [53,54], Г. В. Джа-

излагается метод построения общих решений уравнений равновесия оболочек и плас­ тин. Обобщение метода И. Н. Векуа на анизотропные оболочки дано в |68, 77, 103,

Оболочки, выполненные из армированных материалов, макроскопически облада­ ют свойствами анизотропного тела. Сохранение в разрешающих уравнениях момен­ тов высших порядков позволяет учитывать пространственный характер распределе­ ния полей напряжений и деформаций в оболочках, а также напряжений и деформа­ ции, считающиеся в прикладных теориях второстепенными и пренебрежимо малыми.

Данная монография посвящена основным уравнениям обобщенной теории ани­ зотропных оболочек и пластин, а также решению на их основе ряда граничных задач статики, динамики и устойчивости оболочек. Переход от трехмерных (по пространст­ венным координатам) задач теории упругости к двухмерным задачам оболочек н плас­ тин осуществляется при помощи метода разложений по толщине с использованием полиномов Лежандра. Вариационным способом составлены линейные и геометрически нелинейные уравнения движения анизотропных оболочек при изменяющейся и неизменяющейся метрике по толщине и соответствующие начальные и естественные гра­ ничные условия. Для задач статики анизотропных оболочек изучается вопрос о су­ ществовании и единственности их решения.

Излагается метод построения общих (регулярных) решений уравнений равнове­ сия трансверсально-изотропных оболочек и пластин. Указанное решение состоит из трех типов решений: бигармонического, потенциального и вихревого. Указан способ построения фундаментальных матриц решений трансверсально-изотропных и орто­ тропных пластин. На основе найденных решений исследуются задачи о распределении напряжений около отверстий. Изучается вопрос о влиянии поперечных деформаций на напряженное состояние сферической оболочки и пластин. Предлагается способ по­ строения уравнений, эквивалентных обычным уравнением равновесия трансверсаль­ но-изотропных пластин, находящихся под действием произвольной достаточно глад­ кой нормальной нагрузки. Дано приложение найденных уравнений к решению задач на собственные значения. На примерах устойчивости ортотропных цилиндрической оболочки и полосы показана достаточная эффективность описанных уравнений.

В монографии использованы в основном результаты исследований автора.

в Я*I2 область с границей Г. Тогда поверхность S евклидового простран­ ства Я3 будет образом й при отображении г (рис. 2)

г£2) £ й - > г ( |\ i 2)£ .S c : Я3.

Данное отображение, сопоставляющее каждой точке £ = (£\ £2) £ Й радиус-вектор г (£ \ | 2), будем считать достаточно гладким. Эго озна-

Векторные произведения этих векторов приводят к таким соотно­ шениям:

Здесь сар — дискриминантный тензор

V о.

€аЗ» 6а& — символы Леви — Чивита

[€«el = [£““| = [ _ ° ‘];

а = det

По повторяющимся индексам (как обычно в тензорном анализе' подразумевается суммирование, причем греческие буквы принимаю! значения I, 2, а латинские— 1, 2, 3.

Обозначим через аар компоненты первой квадратичной формы (или

метрического тензора) поверхности

При помощи тензора а«р вводится метрика на поверхности S, т. е

измеряются длины дуг, углы между кривыми, площади областей Так, элемент площади поверхности выражается формулой

Пусть след кривой на S задается отображениями

^ ]a , b[<=R-+ta = xa (t).

Тогда линейный элемент этой кривой имеет вид

d&=Va„»(x*Y (x»)'dt,

где (*v)' = dxVJ !) .

Компоненты второй квадратичной формы, характеризующие кри­ визну поверхности, определяются формулами

Здесь а“х — компоненты контравариантиого метрического тензора. Дифференцируя базисные векторы аа, а* и а3 = а3 по координатам

£0, получаем вектор-функции

рого родов. Формулы (1.5) и (1.6) называются деривационными фор­ мулами Гаусса, а (1.7) — формулой Вейнгартена 1241.

Поверхность с заданными коэффициентами первой и второй ква­ дратичных форм будет неразрывной, если удовлетворяются уравнения Гаусса [241:

Возьмем на поверхности S произвольную точку Р и вектор s, ле­ жащий в касательной к S плоскости и приложенный в точке Р. Плос­ кость, проходящая через s и вектор нормали m = а3 в Р, пересекает

поверхность 5 по кривой, определяемой отображениями

s £ ]й, Ь[ с : = xa (s).

Нормальная кривизна ks этой кривой выражается формулой [131]:

ааар(х*)' [х*У

Кривые, для которых ks принимает минимальное и максимальное зна­

чения, называются главными. Обозначим главные значения кривизн соответственно через kx и /г2.

Если в каждой точке кривые на поверхности совпадают с главными направлениями в этой точке, то их называют линиями кривизны. Коэф­ фициенты первой и второй квадратичных форм определяются здесь

ство координатных линий I1, | 2 расположено на поверхности 5, а семейство координатных линий | 3 направлено вдоль нормалей к S. Положение любой точки оболочки в данной системе координат опре­ деляется радиус-вектором

ga = j4a.Bv» g3 ~ a3,

где А'а. — тензор вида

А £ = а 1 - 1 * Ы

Пользуясь определением скалярного произведения, находим компонен­ ты метрического тензора

Деформированное состояние среды измеряется разностью квадра­ тов линейных элементов после деформации и до деформации, т. е.

ю