книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfружных |
напряжений |
оф(Р на контуре отверстия. (r0 = |
R sin 0О) |
при |
|||||||
5 = 0 в |
зависимости от изменения параметров е = Е/Е' |
и |
g = |
E/G' |
|||||||
соответственно. |
При |
расчетах принималось, |
что v = 0,3, |
v' = 0,15. |
|||||||
На рис. 9 изображены кривые |
изменения |
офф при |
£ = 1. Зависи |
||||||||
мость окружных |
напряжений |
от |
величины |
радиуса |
отверстия г9 |
||||||
при постоянном |
произведении |
Rh |
показаны |
на рис. |
10. |
Кривые, |
|||||
представленные на рис. 11, изображают изменение |
касательных |
на |
|||||||||
пряжений а<рз при заданном на |
контуре отверстия |
крутящего |
мо |
||||||||
мента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 12. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Общий вид граничных условий. |
Исследование |
трансверсально |
|||||||||
изотропных пластин приводится, |
как отмечалось в § 13, |
к двум зада |
|||||||||
чам А и В. Запишем для каждой из них граничные условия, аналогич
ные условиям $ 20 Будем обозначать их указанными буквами с соот
ветствующими индексами внизу. |
Итак, |
пусть на боковой поверхности |
|
Sv задан вектор |
перемещений |
u = uvv 4* uss + ипп. Тогда на гра |
|
нице L срединной |
плоскости пластины |
имеют место условия |
|
для задачи Ах и
ип — моменты заданныл функции.
Если же на 5 V задан вектор напряжений, то граничные условия на L, согласно формулам (20.5), имеют вид
(22.3)
(22.4)
для задачи Ва.
Для смешанных задач имеем следующие граничные условия:
(22.5)
Ш
|
|
|
|
/*"+» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« Г +" = |
|
( 2 m»‘+ " ^ |
+ «S |
n f + " - § - |
J , |
ft e to, n]; |
||||||||||
|
|
|
|
2fj+I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C733 |
'66 |
2 |
/Г К |
|
Aeto,m; |
|
Г 1= |
{ 0- |
f |
- |
2‘; |
|||||
|
|
|
|
P=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Г |
= |
|
|
■dS"' + |
|
|
J |
4 (4m + |
3) с Г +,,: |
|
|||||
|
|
/«> = |
c«« |
|
+ |
^ 2 . |
2 |
(4m + 3)СГ +1»; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
c«e |
m=A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
м ?й+,) = |
7 й- [24 2ft+,) 4 |
£ |
(4m 4 |
I) e j H ; |
|
(22.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
c«« |
L |
|
|
|
»«=л-н |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
„c»+i> = |
<« |
|
£ |
( 4 m + l ) i ' !ra>. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
«0 |
/л=А-Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно функциям (17.35) условия (22.1) принимают вид |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х*ф(т) — Тфг(т) — Ф(т) 4 |
j |
Аа? |
3- |
= — i - 4 ~ («V’ 4 |
« Л ; |
||||||||||||
— |
»Т |
|
|
YV' / |
г |
/_\ |
*И*Р |
— |
* |
|
|
|
|
||||
|
|
2Л+1 |
|
|
p=t1I |
|
^£'т |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x jA v F ) + |
2 |
Ла? -ЗЬ- + |
1 2 |
А4? - f b ------ - |
|
|
|
||||||||||
|
|
UD=1—1 |
|
|
|
S=1a—I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2п-Н |
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У |
haf 1 Д г - + |
/ У ftftf0 - Дл - |
= |
— -i■§Д --(«?*’л'04’ + |
1'«Н, |
*6 [2, п]; |
|||||||||||
" , |
|
л |
|
Я |
|
л |
|
|
® |
|
|
|
|
(22. 11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_____ |
|
2я+1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х’а [ф' (т) -ь ф' (T)J + |
2 |
<$)V P = |
«Р; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2я+1 |
|
|
|
|
|
р=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
<£*+% = |
« f +", |
* е о . ni. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Р = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1сли внести в (22.3) равенства (22.9), то получим следующие условия:
|
|
|
.. |
—\ о |
|
ф' СО 4 |
ф' (т) + |
1тф" (т) 4 |
Ф' (т)1 |
+ |
|
2л+! |
, |
- ,о 2л+1 |
|
(I |
id® |
|
|
|
|
о® + |
|
i Z t f v |
- Ч т - ) S o P |
- ^ |
UW I |
tU VS |
|
2c6Ch |
|||||
2ft+l
5ОТй2( ^ . ) ! (р,"
F ) + i S £ 4 -
Здесь
l$i+ " „ с% ±-* -‘ d fk+" + - | р - |
£ |
|
(4 m + l)c ® " > : |
|||
|
^лп |
uoc |
mrti=b/j+i-i~\ |
|||
|
|
|
|
n |
|
n 2m). |
•)«*+D = |
^ i d'“ + » + |
3 2 - |
2 |
|
||
(4/n + i ) « r ’; |
||||||
|
ce6 |
^0i3 г?1=Лг+1 |
|
|
||
m(2« = |
_£u_r2c™ + |
£ |
(4m + |
3 )apm+ll1; |
||
|
c0C [ |
m=fc |
|
|
|
J |
^^ee- s |
3) b?m+l)\ |
|
V* = |
|||
|
|
|
|
‘'ee |
||
|
|
4сс» |
|
|
II |
О |
|
|
свв |
’ |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
a ™ = |
4ссц |
k |
= |
1; |
|
|
|
Бсов |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
£ > 2 . |
||
Учитывая 'формулы (22.23), перепишем условия (22.4) таким
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
v*A! IF' (т) + |
F W | - |
hs ( - § - ) “ [x F 4 t) + |
v ^ F 5^ - |
Ф > ) | + |
|||
2п |
_ |
. Г 2п |
|
п+1 |
w *uvs |
||
+ s 4 ч - |
*2(-§ -) |
s |
4" - ^ - + < 2 |
* 9 |
|||
|
|||||||
|
|
/ |
- \2 |
2Я |
ги |
|
|
|
_ 6(»+1)Л. ( Л |
) |
f ,„(T) + £ |
(22.24) |
|||
|
|
' |
' |
0=1 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
— Г |
|
^ |
|
|||
- » ( ■ £ )
Re i i/г dsdx |
6№ /t2r |
[ s |
|
|
+ < |
s ^ |
+|1! ? |
|
||
a (2ft+l) _}_ ;0<2А-Н) |
|
|
|
|
|
|
||
UVV |
~ |
tU VSvs |
, |
&€[1, |
nl; |
|
|
|
|
2с,ее |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2/1 |
|
|
|
n+1 |
(Щ dd>s |
Т(2Л> |
|
(T ) + |
2 |
4 2A) |
|
+ |
<2 |
JV/1 |
||
|
n' |
дт |
uee |
|||||
|
P=1 |
dr |
|
|
S = 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
k£lO, n\.
Граничные условия задачи B3, очевидно, будут содержать в себе первую группу условий (22.24) и вторую группу условий (22.22). При необходимости их легко выписать.
Замечание 22.2. Поскольку решение уравнений равновесия пла стины при N = 1 (п = 0) не вытекает как частный случай общего
решения (18.29) для произвольного приближения, то граничные усло вия, построенные на данном решении, не будут следовать из условий (22.24). Поэтому рассмотрим их отдельно.
И7
|
_ |
|
(г) — |
§ - Ф ' ( г ) + < - |p — |
з£- гв}*; |
(22.29) |
|||
|
|
2V = -----с44/г {со + |
iv]h2 [F' (г) — F |
(г)]}а, |
|
||||
где vo = |
.2с» + Зс«« |
; v; |
= -i-(vo -bl); |
v l = |
-5- (v0* — 1). |
Отсюда, |
|||
предполагая, что кривая АВ совпадает с контуром L, получаем гра |
|||||||||
ничные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
VQF (т ) — V+ т Р (т) + VL T F C T) ~ v I^ F T r ) + |
— |
||||||||
|
|
— i |
|
ТО) = /I1’ + |
|
+ |
const; |
(22.30) |
|
|
|
Re [со -f |
2iv‘h2F/ (т)] = |
-f |
const. |
|
|||
Здесь ¥ |
(z) = |
Ф' (г); |
|
|
|
|
|
|
|
|
/il) + |
i?2] - |
- |
j |
[(Mw + iM V5)x' + -J- Qvn] rfs; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22.31) |
|
|
|
|
=s~ |
- ^ h i Qvnds’ |
|
|
|
|
Из равенств (22.25) видно, что при заданном напряженном состоя нии пластины функции F (г) и Ф (г) можно заменить на следующие:
F(z) = F(z) + iCtz + 6;
|
|
|
|
|
(22.32) |
|
|
Ф (z) = Ф (г) -f б'г -f- б", |
|
||
где С2 — действительная, а б, |
б', 6" — комплексные постоянные. |
||||
При |
замене |
F (г), |
Ф (г) функциями (22.23) моменты компонент |
||
вектора |
перемещений |
примут |
вид |
|
|
|
= |
И+* + |
б — |
б'; |
_ (22.33) |
|
|
|
|
|
|
|
Й® = |
« ? + |
( 8 ' - 4 |
Ф + (5' |
2~ б 1Z -|- 6* -[- 6*. |
|
|
||||
§ 23. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ В ПЛАСТИНАХ
1. Вид голоморфных функций для многосвязных областей. Преж
де чем перейти к рассмотрению задач о напряженном состоянии пла стин, ослабленных отверстиями, установим вид голоморфных функций <р {г) ф (z) и F (г), Ф (z) для многосвязных областей. Для этого будем
пользоваться рассуждениями, изложенными в [82].
Поскольку функции, составляющие потенциальное и вихревое ре шения, представляются однозначными и непрерывными, а коэффи-
циенты при голоморфных функциях остаются неизменными для при
ближений N |
3, то |
можно ограничиться рассмотрением данного |
|||
вопроса лишь для первых приближений. |
|
|
|||
Допустим, |
что область й ограничена |
простыми замкнутыми |
кри |
||
выми L„, Llt |
.... Lm, причем L0 содержит внутри себя все остальные. |
||||
Предполагая |
поле напряжений и перемещений однозначными |
и не |
|||
прерывными функциями, из формул (22.13), (22.25) находим |
|
||||
|
|
т |
|
|
|
|
Ф(г) = |
S |
{Afi + Y/) In (г —z,) + cp* (z); |
|
|
|
Ф (г) = |
S |
У1 In (г — Z[) -f ф* (г); |
(23.1) |
|
|
F (z) = |
S |
(BfZ + 6,) In (г —z,) + F* (z); |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
Ф (г) = |
£ |
(6',г + 6/) In (г - |
г,) + Ф* (г), |
|
где ф* (z), ф* (z), F* (z), Ф* (z) — однозначные в й функции; A,, Bt — вещественные, a yjt у) и Ь/, б), 6/ — комплексные постоянные; zt — произвольная точка, лежащая внутри кривой Lf.
Для обеспечения однозначности поля перемещений необходимо выполнение равенств
Aj = |
О, |
Х*У; + |
у] = 0; |
(23.2) |
6 / + - | - б ; = о, |
1шб';=о . |
(2з.з) |
||
Постоянные у и у); б/, 6/ и |
В, |
можно |
выразить, |
используя формулы |
(22.17), (22.29), через компоненты главного вектора и главного момен та. В результате получим
|
+ iyv |
. |
— (YVj) |
|
|
yi = |
2яс^Г(хМЛГ ’ |
yi * |
2itceoft (x* + |
1) » |
|
|
4ncae/j(v*-|- 1) 1 |
6 / _ |
8^fleA(v* + l) |
5 |
(23.4) |
|
|
||||
c„nft (v* + 1) *
В случае, когда L0 отсутствует и область й неограниченна с одним замкнутым контуром Z,, функции ф (z), ф (z), F (z) и Ф (z) принимают вид
Ф (2 ) = у1пг + Гг + ф0(г); ф(г) = 7/ 1пг + Г г -f ф0(г);
F (z) = б In z -f Dz + F0 (z);
Ф (z) = (6'z + 6") In z -f D'z2+ D"z + Ф0 (z).