книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

И. И. ДАНИЛЮК

НЕРЕГУЛЯРНЫЕ

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

НА ПЛОСКОСТИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ М О С К В А 1675

ОГЛАВЛЕНИЕ

§7. Об ограниченности н полной непрерывности некоторых нп-

АОГЛАВЛЕНИЕ

Памяти моей матери посвящаю

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основным предметом книги являются граничные задачи на плоскости, у которых исходные данные, а следовательно и реше­ ния, теряют свойства регулярности: либо граница рассматривае­ мой области не является гладкой, либо коэффициенты граничных условий перестают быть непрерывными, либо одновременно имеет место и то, и другое. Достигнутая степень общности основных предположений не нарушила простоты общих закономерностей в теории рассматриваемых задач, имеющих место в классических условиях гладкости, и сохранила возможность вести исследова­ ния с помощью аналитических средств и методов.

В 1919 г. в связи с изучением краевых задач логарифмического потенциала И. Радон ввел в рассмотрение класс кривых ограни­ ченного вращения', каждая такая кривая является спрямляемой, а угол наклона касательной как функция длины дуги имеет огра­ ниченную вариацию. В этот класс входят все кривые, образован­ ные конечным числом достаточно гладких дуг, и все выпуклые кривые, у которых упомянутый угол является монотонной функ­ цией. Кривые описанного класса могут иметь всюду плотное мно­ жество угловых точек. Элементы этого класса будем называть для краткости кривыми Радона. В гл. I изложены все необходи­ мые для дальнейшего свойства кривых Радона. Параллельно рас­ сматривается также класс кривых Ляпунова, у которых упомяну­ тый угол удовлетворяет условию Гёльдера. Оба класса кривых взаимно дополняют друг друга в том смысле, что существуют кри­ вые одного класса, не входящие в другой. Некоторые из приво­ димых ниже результатов обобщаются и на множество «Ляпунов-

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

ско-радоновских» кривых, у которых угол наклона касательной есть сумма функции, удовлетворяющей условию Гёльдера, и функции ограниченной вариации.

Коэффициенты граничных условий рассматриваемых задач являются измеримыми и в существенном ограниченными функция­ ми. Более точно, для случая одной неизвестной функции модуль коэффициента в существенном отграничен от нуля и бесконечно­ сти, а его аргумент представляет собой либо измеримую функ­ цию с подходящей величиной локального колебания (предположе­ ния И. Б. Симоненко), либо произвольную функцию ограничен­ ной вариации (предположения автора), либо даже сумму двух соответствующих функций, свободный же член граничного усло­ вия принадлежит функциональному пространству Lp, 1 < р < оо. В случае многих неизвестных функций предположения формули­ руются несколько более сложно (§ 20). В столь общих предполо­ жениях класс допустимых функций, в котором разыскиваются решения, должен быть достаточно широк, потому что, скажем, в классе непрерывных в замкнутой области функций изучаемые задачи могут не иметь ни одного решения. Естественными в при­ нятых предложениях являются в случае единичного круга классы аналитических функций Нр — классы Харди и их обобщения па случай областей со спрямляемой границей — классы Смирнова Ер. Чтобы облегчить чтение основных глав книги, мы приводим в гл. III все необходимые для дальнейшего свойства функций этих классов.

Основными аналитическими средствами исследования гранич­ ных задач являются два интегральных оператора, распространен­ ных вдоль границы области. Первый из них, Т — прямое значе­ ние на линии интегрирования потенциала двойного слоя; в случае кривой ограниченного вращения этот оператор для краткости иногда будем называть оператором Радона. Второй оператор — интеграл типа Коши и порождаемый им сингулярный интеграл на линии интегрирования. Свойства этих операторов в различных функциональных пространствах несомненно представляют само­ стоятельный интерес, и им мы посвящаем всю гл. IV. Доказыва­ ются, прежде всего, основные утверждения Радона о свойствах оператора Т в пространстве непрерывных функций, а затем изла­ гаются обобщения на случай пространств Lp, 1 < р < оо. Далее,

ПРЕДИСЛОВИЕ

рассматриваемых интегралов в замкнутой области и доказала тео­ рема Привалова о непрерывности сипгулярного интеграла как оператора в гёльдеровских классах функций. Затем доказывается теорема о том, что сингулярный интеграл с ядром Коши порож­

рассматриваемых интегральных операторов в нагруженных

Основное содержание книги изложено в гл. V, посвященной теории краевых задач. Здесь, прежде всего, исследуются задачи Дирихле и Неймана в областях, ограниченных кривыми Радона. Кроме основных результатов Радона приводятся некоторые до­ полнения, в частности, детальное изучение аналитических свойств оператора Т*, сопряженпого оператору Т, в различных классах мер. Далее излагается теория задачи линейного сопряжения для одной неизвестной аналитической функции в указанных выше предположениях, причем все построения, в том числе и формула для индекса, имеют эффективный характер. Общей задаче линей­ ного сопряжения для многих аналитических функций посвящен § 20: здесь изложен теоретико-функциональный метод И. Б. Си­ моненко и дано обобщение этого метода, созданного первоначаль­ но для анализа задачи в классе Ег, на случай произвольного клас­ са Ер, 1 < р < оо. В частности, при сделанных предположениях доказана обобщенная формула Н. И. Мусхелишвили для эффек­ тивного подсчета суммарного индекса задачи. На базе результа­ тов, полученных при изучении граничных задач, построена в тех же предположениях теория сингулярных интегральных уравне­ ний и их систем. Сюда примыкает содержание § 5 из гл. II, где на базе исследований С. М. Никольского и Ф. В. Аткинсона изло­ жена теория обобщенных операторов Нетера.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В конце каждой главы имеется параграф, в котором изложены многочисленные дополнительные замечания, сформулированпые часто в виде упражнений. В этих дополнениях приводятся важные результаты, близко примыкающие к основному содержанию книги. Так, излагаются основные результаты теории Ф-операторов, соз­ данной в основном в трудах М. Г. Крейна и И. Ц. Гохберга; формулируется ряд дополнительных результатов Радона, касаю­ щихся свойств пптегральпых операторов и краевых задач; кратко излагаются некоторые многомерные обобщения теории Радона, принадлежащие 10. Д. Бураго, В. Г. Мазья и др.; упоминаются важные результаты И. Н. Векуа, Я. Б. Лопатинского и др., от­ носящиеся к более общим системам дифференциальных уравнений эллиптического типа; приводится анализ «односторонней» крае­ вой задачи — задачи Римана — Гильберта с нерегулярными коэффициентами в областях, ограниченных кривыми Радопа пли Ляпунова; подробно излагаются основные результаты Б. В. Бо­ ярского по гомотопической теории рассматриваемых задач.

Результаты, группирующиеся вокруг теоремы о непрерывно­ сти сингулярного оператора в гёльдеровских классах функций, поз­ воляют формулировать предположения, при выполнении которых мы получаем результаты из классического фонда теории краевых задач и одномерных сингулярных интегральных уравнений. Впер­ вые этот важный раздел математической физики в предположе­ ниях, ставших ныне классическими в этой области, изложен в монографии Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения» (первое издание вышло в 1946 г.). Знакомство с ее со­ держанием позволит читателю составить правильное и полное представление об объеме имеющихся в этой области результатов и их применениях.

И. И. Данилюк

Донецк, 10.Ш .1972г.

Г л а в а I

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ

Глапа посвящена наиболее важпым свойствам кривых Ляпуно­ ва и Радона: сначала кратко излагаются свойства функций огра­ ниченной вариации и спрямляемых кривых и приводятся необхо­ димые в последующих главах формулы, затем даются определения и устанавливаются наиболее важные свойства этих кривых и, на­ конец, приводятся многочисленные замечания, дополнения и уп­ ражнения к основному тексту.

§1. О функциях ограниченной вариации

1.1.Пусть 0 (s) — вещественная функция, определенная на конечном отревке прямой переменного s; нам удобно в качестве этого отрезка взять [0, *?], S > 0. Каждое ограниченное сверху (или снизу) множество вещественных чисел имеет точную верх­ нюю (соответственно точную нижнюю) грань в области всех ве­ щественных чисел. Поэтому, если 6 (s) — монотонно возрастающая

какова бы ни была последовательность {ап}, стремящаяся к s слева (on < s). Общее значение всех пределов слева монотонной функции 0 (я) в точке я называется значением функции 0 (я) в точке s слева и обозначается 0 (я — 0). Точно так же вводится понятие значения 0 (я + 0) конечной монотонной функции в точке ясправа. Величина 0 (я) есть, как обычно, значение рассматриваемой функ­ ции в точке 5. Числа 0 (я + .0) — 0 (я), 0 (я) — 0 (я — 0), 0 (я + 0)—

— 0 (я — 0) называются скачком функции 0 (я) в точке я соответ­ ственно справа, слева .или полным скачком. Для полного скачка введем специальное обозначение

h(s) = 0(я + 0) — 0(я — 0) = inf0(o) — sup0(o), 0 < я < £ . (1.1) 0>S <J<S

10 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ ГГЛ. Г

Монотонно убывающие (в широком смысле) функции после ум­ ножения на (— 1) становятся монотонно возрастающими.

Все рассматриваемые ниже функции 0 (s) считаются конечны­

вытекает, что у любой монотонной функции 0 (s) существует лишь конечное число точек разрыва, в которых полный скачок не меньше фиксированного числа а > 0. Отсюда следует, что каждая монотонная функция имеет не более чем счетное множество {$&} точек разрыва. Неравенство (1.2) показывает, что ряд, составлен­ ный из полных скачков функции 0 (s) в точках sh, сходится (аб­ солютно).

Последнее свойство дает возможность ввести в рассмотрение так называемую функцию скачков 0Х(s) функции 0 (s). Пусть hh = h (sft), k = 1 ,2 ,. * .. Тогда 0i определяется формулой

функции 0 (s), лежащие в интервале (0, s). Функция 0Х(s) монотон­ но возрастает одновременно с 0 (s), конечна и ограничена на [0, 5]. Она «вбирает» в себя все разрывы функции 0 (s): разность 0О(s) =