книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

щам оператором оператора U, если VXU (соответственно UV2) являются обобщенными операторами Фредгольма. Из (5.3), (5.4) следует, что ограниченный оператор U будет обобщенным опера­ тором Нётсра тогда и только тогда, когда он допускает и правую и левую регуляризации одновременно. Левый регуляризатор Ух называется (левым) эквивалентным, если уравнение (5.1) эквива­ лентно уравнению VxUx = УХу в обычном смысле: каждое реше­ ние одпого уравпепия является решением другого.Очевидно, что левый регуляризатор Vx будет эквивалентным тогда и только тогда, когда уравнение Vxx = 0 имеет только нулевое решение (т. е. aVl = 0). Правый регуляризатор V2 называется (правым) эквивалентным, если уравнение

разрешимы, причем каждое решение х уравнения (5.1) может быть представлено по формуле (5.17) через решение х' регуляризованного уравнения. Будем говорить, что оператор U (или уравнение

имеют двусторонние регуляризаторы Vx, V2соответственно. Легко проверить, что произведение V2VXявляется одновременно правым и левым регуляризатором произведения UXU2, откуда, как было выше отмечено, вытекает нётеровость оператора U. Остается уста­ новить формулу (5.18).

= JV3 ф N4 и обозначим через и4 размерность Nt. Вспоминая те­ перь (см. формулу (5.1.1)), что В есть прямая сумма U2 (В) и некоторого конечномерного подпространства, получим В = = U2 (В) фМ4 ф N5, причем dim (N4 ф Ns) = Pa,. Отсюда следует, что

Заметим, что N5-aN (UJ (по построению) пересекаются толь­ ко в нулевом элементе, поэтому dim UXN^ = dim N5 = п5. Дей­ ствуя на указанное выше разложение В оператором1Uх и вспоми­ ная, что N4(ZN (Ut), получаем разложение Ux (В) = = Uгиг {В) 0 UXNS, откуда

Ру,у, = Ру, + dim UXN6 = Per, + n&*

Сопоставляя последнее равенство с формулами (5.19), (5.20), по­ лучаем (5.18):

Ху = ху,у, = « у,у, — Ру,У, = au, + Щ — Ру , — Щ —

—«У, — PlIi + «17, — Ptr, = Xy, + «17,*

В случае сингулярных интегральных уравнений формула (5.18) есть непосредственное следствие формулы Нётера для вычисления индекса и правил композиции сингулярных интегралов (см. [14], гл. И).

5.6.Укажем два непосредственных следствия формулы (5.18).

Те о р е м а 5.4 (С. Г. Михлин, см. [13, б)], Ф. В. Аткинсон, см. [1]). Пусть U — обобщенный оператор Нётера. Каков бы ни был вполне непрерывный оператор Т, сумма U + Т снова будет обобщенным оператором Нётера, причем

удовлетворяет разложениям вида (5.14), то легко проверяется, что он является двусторонним регуляризатором оператора U + Т. Это доказывает нётеровость суммы U + Т. Применяя формулу (5.18) к произведениям UV, (U -f- Т) V и учитывая, что индексы их равны нулю, получим

Хуу = Ху + Ху = 0, Х(У+Т)У = Ху+т + Ху = 0,

что равносильно (5.21).

Смысл теоремы 5.4 состоит в том, что возмущение нётерова опе­ ратора произвольным вполне непрерывным оператором не выво­ дит из класса нётеровых операторов и не меняет индекса опера­ тора. В теории сингулярных интегральных. уравнений теорема известна давно. Впервые в абстрактной формулировке теорема

5.4в гильбертовом пространстве дана в работе [13, б)].

Второе следствие обобщает теорему 5.4 на случай возмущения исходного оператора U произвольным оператором малой нормы.

Т е о р е м а 5.5 (Ф. В. Аткинсон, см. [1]). Для каждого обоб­ щенного оператора Нётера U существует такое число б > 0, что каждый ограниченный оператор U', удовлетворяющий усло­ вию ||U — U' |< б, снова будет обобщенным оператором Нётера

ровость оператора & . Учитывая, что индексы произведений (5.23), равно как и (5.14), равны пулю, и используя формулу (5.18), по­ лучаем (5.22).

Смысл теоремы 5.5 очевиден: множество обобщенных опера­ торов Нётера образует некоторое открытое множество в прост­

в разложение (5.14) равноправно, то одновременно с оператором U нётеровым будет и оператор V, и так как индекс произведения UV равен нулю, то х у = — Х у .

Предположим сначала, что Ху !> О, так что Ху = осу — Pv ^

0.Рассмотрим оператор

где glt . . ., gpv есть биортогональная система функционалов к ба­ зису в '.У (У), a zlf , . ., zaU — биортогональная система элементов

к базису в N* (V) (см. п. 5.3, в частности, формулу (5.7)). Согласно теореме 5.4, оператор (5.24) нётеров, а проводя рассуждения, аналогичные тем, которые следуют за формулой (5.7), убеждаемся,

и покажем, что соответствующее неоднородное уравнение V0x = у

разрешимо при любой правой части у е В. В самом деле, пусть функционал / 0 есть решение сопряженного однородного урав­ нения

Pv

^ л - ^ / . + S / . w * . - о. i=l

Тогда

Pv

о = Vo/o fa) = F7o (*,) + S /о (Zi) ft (*,•) = /о (^ i) + /о (Zj) = /о (z,),

если Хц . . ., xay — базис в N (V). Следовательно, / 0 удовлетворяет

так что /о = 0. Оператор V0 осуществляет, как легко видеть, эк­ вивалентную регуляризацию оператора U справа; его тоже ус­ ловно назовем «характеристической частью» оператора V в случае положительного индекса. Сказанное, выше позволяет сформули­ ровать утверждение об эквивалентной регуляризации:

Т е о р е м а 5.6. (С. Г. Михлин, И. Н. Векуа). Каждый опе­

обнаружена впервые в работе [13, а)]. В общем случае ола уста­ новлена в работе [2] (см. также [14], гл. II). В том случае, когда хд > -0 , однородное исходное уравнение £7х = 0.и однородное регуляризованное уравнение VUx = 0 имеют, очевидно, одно и то же число линейных независимых решений. В случае отрицатель­ ного индекса оператора U это не так. Действительно, для любого правого регуляризатора V, согласно формуле вида (5.19), имеем

Чтобы убедиться в том, что на самом деле здесь имеет место знак равенства, рассмотрим функцию

Покажем, что эта формула имеет место и в том случае, когда ||/|р, р =

ветствующие функции gn (ж), построенные по формуле типа (6.5), начиная с некоторого п, принадлежат Lp>{Е, р.) и имеют норму 1. Вместе с тем

48 ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ . II

с одной И той же постоянной М < + «о сразу для всех функций / из области определения оператора Т, то иногда, говорят, что Т имеет тип (р, q). Точная нижняя грань всевозможных чисел М из неравенства (6.8) называется нормой оператора Т и обозна­ чается ||2’||. Каждый оператор Т, удовлетворяющий неравенству вида (6.8), допускает, как известно, единственное продолжение на замыкание его области определения, причем норма оператора не изменяется. В частности, если Т определен па всюду плотном в Lp (Е, р) множестве, например на множестве S, то он допус­ кает единственное сохраняющее норму продолжение на все про­ странство Lp (Е, р).

М. Риссу (см. [19]) принадлежит открытие того замечательно­ го обстоятельства, что множество пар (1/р, 1fq), где (р, q) — тип некоторого оператора Т, является выпуклым. Эта теорема поз­

терполяции линейных операторов. Этому кругу вопросов посвя­ щены многочисленные исследования [22,а), б)], [7, а)], [8, а), б)], [20], [21]. В них были получены обобщения на случай произволь­ ных пространств вида Lp (Е, р,), были сняты ограничения р > 1, q > 1, кроме фиксированных мер р., v были введены весовые функ­ ции, изменяющиеся в процессе интерполяции, и др. Метод, осно­ ванный па применении теоремы Адамара о трех прямых, указан в работе [22, а)] (см. также [7, б)], гл. XII). С помощью этого метода Стейн (см. [20]) получил обобщение теоремы М. Рисса на случай пространств с весами.

Т е о р е м а 6.2 (М. Рисе — Е. М. Стейн). Пусть мх, и2 — заданные на Е неотрицательные р.-измеримые функции, а кг, к2— заданные на Е' неотрицательные v-измеримые функции. Рас­ смотрим аддитивный и однородный оператор Т, определенный на множестве S простых р-измеримых функций на Е и преобра­ зующий элементы из S в v-измеримые функции на Е'. Пусть для

Тогда оператор Т единственным образом продолжается как огра­ ниченный (т. е. непрерывный) оператор на все пространство функций /, для которых имеет место условие

■ff| . wri/wi,/“^w]“<+

Из неравенств (0.9) вытекает, что оператор Т единственным об­ разом продолжается на все пространство функций, удовлетво­ ряющих условию IlHi/lli/a^n < + оо, i = 1, 2, причем в каждом из этих пространств Т сохраняет свойство ограниченности, а его нор­ ма в них не превосходит соответствующего числа Мц М2. В част­ ности, этот оператор определен на функциях вида V (uX*ulzf) при

любом значении комплексного параметра z и для любой простой функции /.

Рассмотрим теперь две простые функции / (я), g (х), удовлет­ воряющие условию

Учтем, далее, что каждая простая функция имеет вид (6.2); по­ этому, если представить у} в виде ijj = |т/;|е,0>, то из (6.12),

Поскольку функция g (х) проста на Е\ то интеграл здесь распро­ странен, по существу, на множество конечной v-меры, содержа­

щееся в Е[. Из неравенств (6.9) вытекает поэтому, что при любом % из полосы 0 ^ Re z ^ 1 интеграл (6.14) конечен. Больше того, учитывая непрерывность оператора Т на S и используя формулу (6.12') и аналогичную формулу для Gz (ж), убеждаемся, что функ­ ция (6.14) непрерывна в любой точке полосы 0 ^ Re г < 1 и аналитична в каждой ее внутренней точке.

Воспользуемся теперь формулой вида (6.6) применительно к функции Uz / (х), хе=Е', а также тем обстоятельством, что опе­ раторы V, V ограничены и их нормы не превосходят единицы. Полагая в формуле (6.14) z = iy и считая, что g удовлетворяет (6.11), последовательно получим

= IV [ k ^ T IV ( F r f - V ) ] ) IU .. <

(на последнем этапе мы воспользовались первой формулой (6.13)). Аналогично проводятся рассуждения при z = 1 + iy. Следова­ тельно, функция (6.14) удовлетворяет на граничных прямых по­ лосы 0 ^ Re z < 1 неравенствам|Ф (iy) |< Мх, |Ф (1 -Ь iy) К M v Сошлемся теперь на неравенство (6.7) при ос = 0, р = 1, у0 = 0,