книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов

КАСЬЯН М. В., БАГДАСАРЯН Г. Б., АРУТЮНЯН Г. А.

МЕТОДЫ

ПЛАНИРОВАНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ В ОБЛАСТИ РЕЗАНИЯ МЕТАЛЛОВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „АЙАСТАН" ЕРЕВАН-1976

X — случайная величина.

л* — значение случайной величины.

х — среднее значение случайной величины X. ,х — £ ( Х ) — среднее значение в совокупности.

/ ( а ) — вероятность. D (X) — дисперсия.

ff'~ j f D (X )— среднее квадратическое отклонение совокупности. S — выборочное стандартное отклонение дисперсии.

п — число наблюдений в выборке» х\ — значение случайной величины данной выборки. с2 — дисперсия совокупности.

О— параметр совокупности.

л? — доверительный интервал выборочной статистики. И — значение гипотеза.

а, р — вероятность или риск данной совокупности, или уровень значимости

Z — нормальное распределение Стыодента. АТ— общее число наблюдений совокупности.

7\.. — общая сумма всех наблюдений.

Т\.. — сумма наблюдений, взятых в / испытаниях. Т - у — сумма наблюдений, взятых в J испытаниях. Т..\{ — сумма наблюдений, взятых в k испытаниях.

E}jk — случайная ошибка.

F — распределение статистикой. £*5>общ — общая сумма квадратов:

55,1СП— сумма квадратов между испытаниями.

<SS0rji ~ сумма квадратов внутри испытаний или ошибка ejjk. ос3 — математическое ожидание среднего квадрата.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время используют статистический метод планирования при исследовании процесса ре­ зания металлов. Однако большинство таких исследо­ ваний не применяется широко в исследовательской практике, а классические методы дисперсионного ана­ лиза не используются для проверки адекватности ма­ тематической модели и гипотезы.

Главной целью предлагаемой читателю книги является применение основных принципов планирова­ ния эксперимента при постановке различных опытов по резанию металлов, многие из которых проводились авторами настоящей книги в период 1966—1971 гг.

Примеры выбраны так, чтобы можно было доступ­ ным образом ознакомить широкий круг читателей с основными принципами планирования, с основными понятиями математической статистики и с методами рационального сокращения количества экспериментов.

Пожалуй, ни одна область промышленности не нуждается в таком большом количестве эксперимен­ тов, как область технологии машиностроения, по­ скольку многообразие действующих факторов здесь максимальное:

Книга не претендует на высокий уровень изло­ жения основ теории вероятностей и математической статистики, поскольку авторы не являются специа­ листами в указанных областях. Некоторые примеры и положения по различным вопросам теории вероят­ ностей и статистических методов планирования при­ ведены в книге из литературных источников.

В связи с тем, что спрос со стороны исследова­ телей проводить опыты по резанию металлов стати-

стическим методом планирования возрастает, мы ре­ шили оказать им помощь в этом деле. Книга имеет методическое назначение, и приведенные здесь при­ меры можно рассматривать как руководящие мате­ риалы для постановки экспериментов математико­ статистическим методом планирования.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы широкоеприменение матема­ тико-статистических методов при планировании экспе­ риментов дало возможность создания математической теории эксперимента на базе трех этапов научноисследовательской работы: „эксперимент—планирова­ ние—анализ"

Планирование экспериментов, являющееся одной из важных частей математической теории статистики, разрешает ставить опыты по некоторой, заранее со­ ставленной схеме.

Ряд вопросов, в частности, постановка задачи, выбор независимого переменного или независимых переменных, установление независимых переменных’ или факторов, влияющих на зависимую переменную, неразрывно связаны с наиболее важным этапом экспе­ риментально-исследовательской работы — планирова­ нием. С экспериментом и планированием связан также вопрос, каким образом исследователь должен опреде­ лить, как изменяются переменные факторы количест­ венно (температура, сила резания) или качественно (например, исследователь).

Статистические методы планирования основатель­ но изменяют методику проведения экспериментальных работ. Если при классическом методе исследования основным принципом является идентичность условий экпериментирования, когда варьирует только один переменный фактор, то статистический метод плани­ рования позволяет варьировать всеми переменными факторами одновременно.

Метод дает возможность при небольшой затрате труда и времени получать большую информацию.

Обычно этап планирования можно разделить на два периода [1]:

а) <)пределение количества наблюдений, б) определение порядка выборки данных наблю­

дений.

При определении количества наблюдений нужно учитывать, насколько должны быть оценены большие различия и сколько вариантов имеется в наличии. При отсутствии такой информации наилучшим выхо­ дом является выборка большого количества наблюде­ ний. Помимо этого важно, чтобы порядок, в котором будет проводиться эксперимент, был рандомизирован. Рандомизация порядка эксперимента будет усреднять эффекты других переменных, которые нельзя про­ контролировать.

После того, как достигнуто соглашение о целях эксперимента и способе рандомизации, можно по­ строить математическую модель, описывающую экспе­ римент.

Анализ, как третий этап экспериментально-иссле­ довательской работы, включает в себя сбор, упорядо­ чение и вычисление некоторых статистик с целью про­ верки гипотез относительно математической модели.

Таким образом, обобщение некоторых положений позволяет следующим образом представить основные этапы экспериментально-исследовательской работы [I]:

1)количественные или качественные,

2)фиксированные или случайные.

д) Подбор сочетаний уровней факторов.

II. Планирование

а) Необходимое число наблюдений. б) Порядок проведения эксперимента.

в) Используемый метод'рандомизации.

г) Математическая модель для описания экспери­ мента.

III. Анализ

а) Сбор и обработка данных.

б) Вычисление статистик для проверки гипотез. в) Интерпретация результатов для эксперимен­

татора.

Такая же последовательность изложения прове­ дения экспериментально-исследовательских работ за­ ложена в основу настоящей книги.

Г л а в а I

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИСТАТИСТИКИ. ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Вэтой главе затрагиваются некоторые вопросы, связанные с введением основных понятий теории ве­ роятностей и статистики, обсуждаются математические

ивероятностные модели. Здесь можно ознакомиться с понятием изменчивости и закономерностями, кото­ рые возникают в опытах, включающих элемент слу­ чайности.

§ 1. Элементарные понятия теории вероятностей и статистики

Область применения теории вероятностей весьма широка. Одних привлекает обширная математическая структура, которой обладает теория вероятностей, других восхищает порядок, возникающий из кажуще­ гося хаоса: бросьте одну монету, и никто не сможет предсказать, какой стороной кверху она упадет—гер­ бом или цифрой, но бросьте две тонны монет, и каждый скажет, что одна толна монет упадет кверху гербом, а вторая тонна —кверху цифрой [2].

В теории вероятностей для построения вероят­ ностной модели используются данные статистики. В свою очередь, статистическая теория основана на тео­ рии вероятностей, т. е. между ними существует взаим­ ная связь. Покажем это на следующем примере. Рас­ смотрим произвольное множество выборки резцов с целью оценить, какую часть в общем количестве рез­ цов составляют резцы, на которых закреплены плас­ тинки из твердого сплава Т5К10. Основываясь на теории вероятностей, можно предсказать, какой про­ цент резцов в нашей выборке составляют резцы с

пластинками из Т5К10, если известен аналогичный процент, который касается всех резцов. С помощью статистической теории здесь решается обратная за­ дача: используются касающиеся выборки результаты для определения числа резцов совокупности, осна­ щенных пластинками из твердого сплава Т5К10.

В приведенном примере теория вероятностей,, используя известные данные рассматриваемой сово­ купности, определяет вероятное значение данных определенной, произвольно взятой выборки, между тем как статистическая теория определяет данные всей совокупности, исходя из данных, связанных с выборкой.

Таким образом, теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального физиче­ ского процесса, тогда как статистическая теория уста­ навливает свойства этой модели, исходя из данных наблюдения [2].

Область статистики очень широка. В общем ста­ тистика— это искусство и наука собирания, анализа и получения выводов из данных наблюдений.

Существует две позиции в отношении интерпре­ тации и использования теории вероятностей: объек­ тивистская и персоналистическая.

Первая в настоящее время наиболее популярна. Объективист считает, что понятие вероятности можно применять к таким процессам, которые многократно повторяются при постоянных условиях-опыта. Напри­ мер, объективисту интересен процесс производства твердосплавных пластинок сточки зрения вероятности получения высококачественной продукции, когда при­ нимается, конечно, в качестве этой вероятности отно­ шение, количества высококачественных твердых спла­ вов к общему числу выпущенных пластин из твердого сплава.

Объективистская точка зрения считает невозмож­ ным применять теорию вероятностей для интерпрета­ ции таких процессов, где нельзя составить отношения, основанного на большом количестве наблюдений.

Персоналистическое направление интерпретации вероятности рассматривает вероятность, как некото­ рую меру личного доверия к какому-либо утвержде­ нию, например, к утверждению о том, что завтра будет ветер. С другой стороны, персоналист считает, что,