книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

ять

в

кяадой

точке оболочки £ 5 J,

Авторы /Б , 103 } лредяа-

'•в т

заменить вти ограничения одним интегральньм ограничением

/5 .4 1 /

или

ограничение!намаксимальное значение

функция £ 58,

103 J

max V /i

о ,

/ 5. 42/

где

/

« 2 , 3 ;

\fjji определяется

видом локальных ограничений.

Неравенство /5 .4 2 /

легко привести к

ограничения-равенству

Xp*mjfcxy/pi.

/ 5 - « /

рдс

Существуетмного методов нелинейногопрограммирования для

решения задач условной

оптимизации /5 .3 8 /- /5 .4 0 /. Выбор мето­

дов

оптимизации диктуется прежде всего математическими

харак­

теристиками их функций

и ноявнши

вычислительными средствами.

Отметим, что функции (ft

характеристик локального типа

не является дифференцируемой

во всех точках множества 27у .

ляются значения

субградиентов.

Для решения задач /5 .3 8 /- /5 .4 0 /,

к которьм

приводятся

задачи

параметрической оптимизации

ободочек, применим метод

внешних штрафных функций для учета

нелинейных ограничений

/5 .3 9 /

/ ’ З,

19,

102 J.

В результате использования метода внешьих штрафных функ­

ций вместо

одной задачи /5 .3 8 /- /5 .4 0 /

получаем последователь­

ность задач

оптимизация

Qn~Voffl+'f~Knrtfit%)-+ min,

п=1,2 ,...

/ъ м

цри простых ограничениях /5 .4 0 /.

Здесь

Кщ - монотонно

воз­

растающие числовые последовательности. В данной

работе tfni при

Л * У

выбирают согласно

следующему алгоритму:

и координаты

1.

Задают параметры

С,

KQI =Sifc

начальной точки

j f ~

(С я 6 ,

S^~1).

2»

Подсчитывают количество

р

нарушенных ограничений

/5 .3 9 /

я

*

-

£

А .

где

J O

,

tfifzjno.

<к№)*о.

3. Для

£ ,

в которых

Pf =

I

_

*я

Ifofi)

/5 .4 5 /

если

А

о

. *

K' l= P 4 l(Z )’

/5 .4 6 /

При # «

2 ,3 ,

. . .

коэффициенты устанавливают,

как

правило,

согласно /5 .4 5 / для всех

ограничений.

Заметим,

что

числовые последовательности f(ni

можно вы­

бирать согласно алгоритму 1-3 и при

П9 2 ,3 , . . .

8ц

вы­

деляю т

с

помощью выражения 5^ ** CSn-^ .

Однако,

как

показы­

вает вычислительный опыт, в этом случае коэффициенты

Ktii

быстро рАстут, что способствует овражност функции

'Qn

и

замедлен»

сходимости.

Процесс вычислений заканчивается,

если выполняется одно из

» “

/е

™ - г Г Ч

'1 t

/5 .4 7 /

*

т Чх

1 *\г[п,\

*

£ '

к /или/

l4<Po(Zm>l

< е 2 »

/5 .4 8 /

б /

i = ( т .

/5 .4 9 /

Дня решения последовательности задач нелинейного программи­

рования /5 ,4 4 / причешет методы нулевого и первого

порядков

£ 3, 19,

102 J : метод поиска

по деформированночу многограннику,

метод сопряженных направлений Пауэлла,

модифицированный градиент»

жгй метод,

не

требующий вычисления производных метод наиско-

рейпего

спуска, метод сопряженных градиентов Флетчера-Пауэлла,

Их мокко удовлетворить такие, преобразуя переменные /

b j

z r - f { z ;+ z :h i - i z i - z : ) й п ^ .

л . » /

рационального распределения

толщин составхяшцих частей. Дхя

репенкя последней в /5 8 J

предложен итерационный процесс. При­

менительно к со стави т оболочкам,

рассматриваем»! в настоящей

работе, он заключается в следующем:

на каждом суперелеыенте нулевого уровня определяют макси­

мальной значение некоторой прочностной характеристики

Q m ax

производят перерасчетV ТОЛЩИНтолщин на суперэдеыентах по

г

атах

ad

1

h« ^ hw ,l < . n

6 s

- б

I

/5 .5 1 /

f t * в

* l'

u

■ ■

где ( j:d - доцуотииое значение указанной характеристики.

Процесс оканчивается, когда.на каждой суперэлементе

6 F

x - 6 d _

ной оптимизации /5 Л 9 /- /5 .2 0 / решают согласно методике,

описан­

ной в параграфе 5

.3 . Выбор метода

нелинейного программирования

для решения задач

/5 .4 4 /» кал правило, обусловлен досзужостью

вычисления производных от функций

l/j . Вопросы разработки

методов вычисления производных по управлявши параметрам

/а н *-

Значения,

входите в

/ 5 . 5 7 /- /5 .6 0 /,

определены в параграфах

5.1» 5 .2 ;

J"

- некоторое /начальное/

значение целевой функ

ции.

Для репения задач

условной оптимизации /5 .5 3 /- /5 .5 5 /

используют метод внешних штрафных функций в

соединении с

раз-

личгааш методами нулевого и первого порядков. Применяя методы

первого порядка» необходимо вычислить производные от целевой

функции и функций ограничений по управляющим параметрам

Zi .

Проанализируем чувствительность составной оболочки иа_роно -

вании сопряженных уравнений. Рассмотрим некоторый проект

Z и

придадим

вектору управления вариацию /приращение/

dZ •

Обоана-

чш через

Z1

исправленный проект

2 ^ 2 * 6 2 .

К

/5 ,6 1 /

Если

определить

трещины суперэлементов

м вектор

сос­

тояния Ц в точке

2

» то их изменение затк ем

в виде

Р = Й + 6 Й, (f4= q + 6 q.

В силу непрерывности функции

К(2) —. * неособеиюети

матрицы системы /5 .6 6 /- малые вариация

б Z

приводят к мани

вариациям

dtl

,

. Определим первые вариации функций

»

вызванные малыми изменениями улявлямвдс пертем ш х

% - 1%-Ц

/6-6г/

Поскольку векторы Z, Ц и Z\ Ц*удовлетиортт /5 .5 6 /,

то линеаризованные уравнения имеют вид

/Ь .63/

Уравнение /5 .6 3 /

можно рассматривать как условие» опреде­

ляющее

6 Ц черев

62

. Решив его и подставляя

бЦ в

/5 .6 2 /»

подучим аависшость вариаций функдей difj

от вариа­

ций управляющих параметров

6 (Ё) . 3 одучаз большого количест­

бовать значительных вычислительных затрат,

таг как ее необхо­

димо решать

N раз

/У - количество управляющих парамет­

ров/.

£03 J,

выразим слагаемые 1дЦ]1дц)6§че-

Зц§сь,

как к в / '

С этой целью для

каждой функции

определим век-

_При жесткостных ограничениях функции

tff^i

/5» 13/

пряно

от

П. не

зависят, т .е .

tffZi =

Следовательно;

функция

Ipj

, учитывавшая ограничения по жесткости явно зависит толь­

ко от

Ц ' Ifj •l/jfQ)

и. выражение /5 .6 7 /

принимает вид

i r - i jт Ш у _ а 1 ) 4 Л '

/5 .6 9 /

dhl dZ

Учитывая /5 .5 9 /,

/5 .6 0 /, записываем

правые частя уравнения

/5 .6 4 /

для

ограничений по жесткости

dtfj

Y Z lZ d s c ,

$ ~ 2 ,

/5.70/

dq

где

ic»s"

р

I ft =

d x l

^

О .

XP

0 .

/5 .7 1 /

I

f

dqp

K 3i

Qp, Суммирова-

Векторы

имеют размерность

векторов

CLSL

ние

Ctf. _ в

/5 .7 0 /

ведется

так

же,

как при формировании векто-

ров

Ц ,

F

в

/5 .3 1 / .

Для

L

векторы

&£t = О„

Для прочностнщ

ограничений функции

/5 .1 4 / являются

функциями от Ц", п

* и коэффициенты чувствительности выра­

жавтся

соотношениями /5 .6 7 /.

Правые части уравнений /5 .6 4 /

для

ограничений

по прочности

записываем

в

виде /5 .7 0 /, /5 .7 1 /,

где

5 * 3 .

Функция

%si определяется

взятием максшуыа от

в узлах

суперелемента

Sp •

Пусть

К

- номер узла суперехемен-

та

Sр •

в

котором

y yL принимает максимальное значение. Обо­

значим

через

Tffji значение функции

в узле

К . Учитывая

/5 .3 6 /,

подучаем

#»

^

/г,

a*L

ду$>

= (К)

/5.72/

дбР

где

а p'zlOpu afz^O .% ,

apV, Ppi)T;

принимает

значения hp/Z

«ли

-

tlpf 2

в

завис ж осте

от

того, на какой

из поверхностей

достигается максимальное значение.

Производные

ащ/дп

,

входящие в /5 .6 7 /

для прочност­

ных ограничений о учетам /5 .2 5 /,

/5 .5 9 /,

/5 .6 0 /,

предо тмим в

виде

вектора

Отличную от нуля компоненту вектора /5 .8 4 / находят ана­

логично /5 .7 5 / при

р » г

SQI/Г,к)

J g { r' "

/5 .8 5 /

t0

с?'.

Второе слагаемое

в /5 *6 7 /

для

определяется

выраже­

ниями /5 .7 6 /, /5 .7 7 /

при /

»

О,

Задачу оптимизации /5 .5 3 /- /5 .5 5 / о

помощью внешних штраф­

ных функций приводят к

последовательности задач /5 .4 4 /

при

простых

ограничениях /5 .5 5 /.

Вектор-градиент

G(Qn)

функций

0-п

по управлявшим параметрамтZ

имеет вед

Gfanhjio*

Ч

< /

/5 .8 6 /

ГД?

I/

» J~ i%tl

определяются

соотношениями /5 .6 7 /.

Задачи /5 .5 8 /

при

ограничениях /5 .5 5 /

в результате

замены

переменных /5 .5 0 /

сведем к

задачам

безусловной

оптимивацни

отно­

сительно fii . С учетом

/5 .8 6 /

вектор-градиент

Gp.(Qn) ° »

Функ­

ций

Qn по перемэнньм

представим

в веде

гдо

h

G(Qn)Cjз *

Cfi=[{zrz<)cos/}i....,(zi-z~,)cosfl,]

5 .5 . Численные примеры оптимизации

оболочек

Пашет» 5 ,1 ,

Рассмотрим

составную оболочечную конструкции,

моделирующую стеклянный баллон кинескопа с прямоугольным экра­

ном /см .

параграф

3 .6 / /рис.

5 ,2 /.

Толщина составных частей оболочки аппроксимируется поли-

нокиальныки выражениями, коеффициентц которых .определяют по

значениям тосшин

,

. . . ,

Hfg

в точках

Aj , . . . .

А16

В роли параметров

оптимизации

Н

могут выступать

толщины

экрана и

борта, т .е ,

//у

,

. . . ,

//уд

. Цусть

М^.Мъ, Му- ко­

личество

суперэлементов

нулевого уровня на экране, борте и ко -1

нусе соответственно /здесь суперэлементами нулевого

уровня .

являются сами конечные алементы/ и

М^аМ**М2, ^з=^г +^з>

Компоненты вектора

Л

/5 .2 5 /

определяются

значениями соот­

тов

/5 .2 3 /. Для упрощения записи аппроксимирующих полиномов

опустим

в них индексы, указывающие принадлежность области £3^

L

* 1

,2 .3 .