книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

А.В. Зайцев, А.В. Кутергин, А.А. Фукалов

РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАССОВЫХ СИЛ

Монография

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

1

УДК 539.3 З-17

Рецензенты:

заслуженный деятель науки РФ, чл.-корр. РАН, докторфизико-математическихнаук, профессор Р.В. Гольдштейн; докторфизико-математическихнаук, профессор С.А. Берестова; доктор физико-математических наук, профессор А.В. Манжиров

Зайцев, А.В.

З-17 Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил : монография / А.В. Зайцев, А.В. Кутергин, А.А. Фукалов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 139 с.

ISBN 978-5-398-01735-9

Монография посвящена точным аналитическим решениям задач о равновесии упругих толстостенных полых и составных тяжелых анизотропных сфер, вертикальных и горизонтальных цилиндров, находящихся под действием массовых сил внутреннего или внешнего давления, равномерно или неравномерно распределенных. Значительное внимание уделено геомеханическим приложениям полученных решений – многокритериальным оценкам начальной прочности шахтных стволов, подкрепленных подземных выработок и туннелей неглубокого залегания с учетом взаимодействия этих сооружений с окружающим породным массивом.

Предназначено для широкого круга специалистов в области механики деформируемого твердого тела и геомеханики, научных сотрудников, инженеров, аспирантов и магистрантов, специализирующихся в области прочностного анализа и проектирования подземных геологических и строительных сооружений.

Издание осуществлено при поддержке Министерства образования и науки Пермского края (грант В–26/059).

УДК 539.3

2

1.2.Равновесие тяжелой упругой трансверсально-изотропной сферы с жестко закрепленной внешней поверхностью,

1.3.Равновесие упругих тяжелых трансверсально-изотропной

иизотропной сфер с жестко закрепленными внутренними

2.4.Оценка начальной прочности монолитных железобетонных крепей сферических горных выработок, находящихся

3

3.3.Равновесие тяжелого бесконечно протяженного горизонтального линейно упругого ортотропного цилиндра с жестко закрепленной внешней или

3.4.Точное аналитическое решение задачи о равновесии тяжелого бесконечно протяженного горизонтального

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

В различных отраслях промышленности, строительстве, геологии, на предприятиях аэрокосмического и нефтегазохимического комплексов находят применение разнообразные элементы конструкций и сооружений в виде массивных толстостенных сфер и цилиндров, изготавливаемые из анизотропных материалов, весом которых нельзя пренебречь. Наиболее распространенными видами нагрузки этих объектов являются статическое или слабо изменяющееся во времени внешнее и/или внутреннее давление и собственный вес. Типичным примером таких конструкций являются монолитные крепи сферических и цилиндрических горных выработок, облицовки туннелей, пульпопроводы, реагентопроводы химических производств, вертикальные и горизонтальные контейнеры для длительного хранения и транспортировки высокоагрессивных

иреакционно-способных твердых и жидких сред, напорные и безнапорные трубопроводы большого диаметра, атакже узлы авиационнойи ракетно-космическойтехники.

Потребность в решении задач для анизотропных сферических и цилиндрических тел, находящихся в равновесии в поле гравитационных сил под действием равномерных и/или неравномерных внутреннего и/или внешнего давлений, обусловлена не только широким спектром приложений. В связи с развитием

идоступностью вычислительной техники большую популярность при решении краевых задач механики деформируемого твердого тела получили численные методы, для успешного применения которых требуется определенный критерий оценки правильности разработанного алгоритма и, как следствие, полученного с его помощью решения. Таким критерием может быть сравнение результатов численных экспериментов для отдельных элементов конструкций и сооружений с имеющими точные аналитические решения тестовыми задачами для тел с аналогичной геометрией и граничными условиями.

5

Получение новых аналитических решений задач о равновесии анизотропных сферических и цилиндрических тел важно и актуально для разработки инженерных методов уточненного прочностного анализа. Поскольку композиты, железобетон и горные породы имеют ярко выраженную анизотропию свойств, то прочностной анализ элементов конструкций и сооружений, изготовленных из этих материалов, необходимо осуществлять на основе многокритериального подхода, рассматривая различные механизмы частичного или полного исчерпания несущей способности, характерные для анизотропных сред.

Композитные и железобетонные конструкции и сооружения цилиндрической и сферической формы создаются не мгновенно путем аддитивного, последовательного, послойного наращивания при непрерывной намотке, выкладке, наплавлении на оправке или при поэтапной заливке бетоном армирующих каркасов. Механическое воздействие на эти тела оказывается постепенно увеличивающимися центробежными и гравитационными объемными или поверхностными силами (связаны с постепенным изменением геометрии и характерных размеров) и возникающими внутренними технологическими напряжениями, предопределяемыми операциями изготовления (предварительное натяжение нитей или лент ткани, усадка при отверждении, прессование). Несмотря на возможность максимальной реализации резервов несущей способности благодаря управлению напряженно-деформированным состоянием в растущих сферических и цилиндрических анизотропных телах, несмотря на важность учета постепенного увеличения массы и изменения геометрии тяжелых тел при их производстве и изготовлении, будем предполагать, что элементы конструкций и сооружений уже существуют. Поэтому задачи построения моделей роста и учета технологических напряжений будут оставаться за рамками проводимого исследования.

Конструкции и сооружения создаются, как правило, одновременно с материалом, из которого они изготовлены. Поэтому получение новых аналитических решений задач о равновесии

6

тяжелых тел простейшей геометрии также важно и актуально для отработки методик экспериментов по идентификации материальных постоянных и функций анизотропных материалов с целью расширения базы определяющих соотношений.

Первая глава посвящена получению точных аналитических решений задач о равновесии толстостенных упругих тяжелых трансверсально-изотропных центрально-симметричных тел, находящихся под действием равномерного внутреннего или внешнего давления при условии закрепления в радиальном иокружном направлениях на внешней или внутренней поверхности соответственно. В главе анализируется вклад массовых сил в распределения инвариантов тензора напряжений в поперечных сечениях, проводится оценка начальной прочности монолитных крепей сферическихподземныхгорных выработокпосовокупности критериев.

Во второй главе представлены новые точные аналитические решения задач о равновесии линейно-упругих трансверсальноизотропных составных тяжелых сфер, находящихся в равновесии в поле гравитационных сил, проанализированы условия совместного деформирования монолитных железобетонных крепей сферических горных выработок и окружающего массива осадочных или сыпучих горных пород, в рамках многокритериального подхода проведенаоценканачальнойпрочностиподземных сооружений.

В третьей главе записаны новые точные аналитические решения частных задач о равновесии вертикальных и горизонтальных бесконечно протяженных ортотропных упругих цилиндрических тел, находящихся в равновесии под действием массовых сил и нагруженных равномерным внутренним, равномерным или неравномерным внешним давлением, при различных условиях закрепления на внешней или внутренней боковой поверхности. Возможные приложения полученных решений иллюстрируются результатами определения напря- женно-деформированного состояния, оценки начальной прочности монолитных обсадных колон вертикальных скважин, облицовок туннелей неглубокого залегания и крепей горизонтальных цилиндрических подземных горных выработок.

7

В монографии отражены основные научные результаты, которые были получены на кафедре механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета в рамках задания № 2014/152 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности (базовая часть госзадания Минобрнауки РФ, код проекта – 1911), а также проектов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ–Урал №14–01–96029

иРФФИ № 14–01–00726).

Взаключение отметим, что основные результаты, изложенные в монографии, были опубликованы авторами в статьях, список которых приведен в библиографии. Однако ни одна из вышеупомянутых статей не воспроизведена полностью. Все материалы пересмотрены и либо сокращены, либо, наоборот, изложены более подробно, а некоторые результаты публикуются впервые. Это оказалось возможным благодаря многократным полезным дискуссиям с заслуженным деятелем науки РФ, членомкорреспондентом РАН, доктором физико-математических наук, профессором Р.В. Гольдштейном, доктором физико-математичес- ких наук, профессором А.В. Манжировым и доктором физикоматематических наук, профессором С.А. Берестовой. Эти дискуссии, а также полученные ценные советы и рекомендации помогли переработать и значительно улучшить изложение материала монографии, за что авторы им искренне благодарны.

Авторы выражают признательность заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Ю.В. Соколкину, доктору физико-математических наук, про-

фессору И.Н. Шардакову за постоянное внимание к работе и многократное обсуждение полученных результатов.

Авторы благодарны младшему научному сотруднику кафедры механики композиционных материалов и конструкций В.С. Кокшарову и студенту И.Д. Петрову за помощь в оформлении иллюстративного материала и разработку макета обложки.

8

ГЛАВА 1 РАВНОВЕСИЕ УПРУГИХ ТЯЖЕЛЫХ

ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

В главе приведены основные уравнения механики в сферических координатах для упругих тел и получено общее решение задачи о равновесии упругой тяжелой трансверсально-изотропной сферы. Представлены новые точные аналитические решения частных задач о равновесии упругих трансверсально-изотропных сфер, находящихся под действием массовых сил инагруженных равномерным внутренним или внешним давлениями, при условии закрепления на внешней или внутренней поверхности соответственно. Проиллюстрирована возможность применения полученных решений для определения напряженно-деформированного состояния, оценки начальной прочности монолитных железобетонных крепей сферических подземных выработок, которые используются для длительного хранения высокоагрессивных и реакционноспособных твердых и жидких сред, газо- и нефтепродуктов. Результаты описанные в главе, получены на основе обобщения методов и подходов, предложенных авторами [44, 45, 51] для аналитического исследования состояния равновесия тяжелых изотропных сфер, жесткозакрепленныхповнешнейповерхности.

1.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТЯЖЕЛОЙ УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СФЕРЫ

Проблемы, связанные с исследованием различных аспектов равновесия изотропных тел сферической формы достаточно хорошо изучены [2–5, 14, 15, 21, 25, 44, 45, 50–52, 58–64, 66, 68,

9

69, 76, 78, 88, 89, 91, 106, 107, 110, 112, 115, 116, 118, 119].

Впервые задача о равновесии упругой изотропной сплошной и полой сферы была решена G. Lamé [106, 107]. Решение уравнений равновесия в перемещениях было построено в сферических координатах. Вектор перемещения был записан в форме рядов по произведениям присоединенных функций Лежандра и тригонометрических функций [72]. С.П. Тимошенко в своей работе по истории механики [96] указывает на более раннюю работу

G. Lamé и B.P.E. Clapeyron [108], в которой были представлены решения задач о равновесии сферы в радиальном гравитационном поле и сферической оболочки, нагруженной равномерно распределенным внутренним или внешним давлением. Однако эти решения были получены до обоснования S.D. Poisson необходимости введения в уравнения теории упругости модуля поперечной деформации. Поэтому во все используемые и полученные уравнения входила лишь одна упругая постоянная.

Решения задач о равновесии полых толстостенных сферических оболочек и сплошных сфер при заданных на внутренней и внешней поверхности напряжениях или смещениях было записано W. Thomson (лордом Кельвином) [118, 119] при помощи сферических функций, аргументами которых являлись декартовые координаты. Эти решения привели к развитию многочисленных приложений теории упругости к задачам геомеханики. В монографии А. Лява [63] также приводится решение задачи оравновесииупругойсплошной сферы, полученноеW. Thomson.

Решение задачи о равновесии упругой сферы было также представлено в работах А.И. Лурье, О. Tedone, C. Somigliana и V. Cherruti, многочисленные ссылки на которые содержатся в монографиях [61, 62]. В этих монографиях приводятся также решения ряда краевых задач для сплошной и полой изотропной упругой сферы при заданных на границах перемещениях или усилиях, полученные методом W. Thomson с использованием представления П.Ф. Папковича [76] для функций напряжений.

10