книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

1.ВВЕДЕНИЕ

Вэтой книге рассматривается проектирование устройств фильтрации радиосигналов в радиотехнических системах управ­ ления движением объектов. После того как в 1941 г. А. Н. Кол­ могоров и в 1942 г. И. Винер применили статистический под­ ход к задаче линейной фильтрации, происходило быстрое раз­ витие статистических методов анализа и' синтеза систем. Ра­ боты Р. Л. Стратоновича и X. Кушнера стимулировали разра­ ботку методов нелинейной фильтрации, пригодных для реше­ ния большинства задач оценивания сигналов радиотехнических систем [37, 45, 47]. Современная теория оптимальной фильтра­ ции, использующая метод пространства состояний, позволяет без каких-либо затруднений получить структуру и параметры

оптимального фильтра [1, 36, 61]. Проектирование фильтра при этом включает в себя решение двух взаимосвязанных -за­ дач: выбор математической модели сообщения, описывающей характеристики оцениваемых параметров сигнала и -помех, и синтез оптимального фильтра. Формальное применение резуль­ татов теории оптимальной фильтрации в задачах обработки сигналов радиотехнических систем приводит к сложным, труд­ нореализуемым с помощью существующих вычислительных средств алгоритмам фильтрации. Поскольку структура опти­ мального фильтра полностью определяется математической мо­ делью сообщения, то выбор упрощенной модели позволяет уменьшить вычислительные затраты на реализацию оптималь­ ного фильтра. Но такой путь не решает проблемы, так как не­ соответствие математической модели сообщения и реальных физических процессов -приводит-к ошибкам при проектирова­ нии устройств фильтрации радиосигналов. Целесообразно до­ полнительные ограничения, обеспечивающие реализуемость фильтра, вводить не на стадии выбора модели сообщения, а в процессе определения структуры и параметров фильтра. Проек­ тирование фильтра в этом случае включает в себя решение сле­ дующих задач:

выбор математической модели сообщения, по-возможности полно отражающей динамику радиотехнических объектов и из­ мерительных процессов;

синтез оптимального фильтра и определение потенциально достижимых характеристик фильтрации;

поиск субоптимальных алгоритмов фильтрации, позволяю­ щих при малых вычислительных затратах получить близкие к потенциальным характеристики фильтрации.

Успех в решении первой задачи во многом зависит от опы­ та и интуиции разработчика радиоаппаратуры и основывается на результатах экспериментальных исследований. Проектиро­ ванию оптимальных фильтров посвящено довольно много на­ учных работ, так что решение второй задачи обычно не вызы­ вает каких-либо затруднений.

Решение третьей задачи является основным и наиболее трудоемким, на наш взгляд, этапом проектирования устройств фильтрации. Небольшое число публикаций, многообразие воз­ можных вариантов решения задачи, связанное с неоднозначно­ стью синтеза субоптимальных фильтров и зависимостью от ха­ рактеристик существующих, быстро развивающихся вычисли­ тельных средств, создает определенные трудности у разработ­ чиков радиоаппаратуры, помочь преодолеть которые и должна эта книга.

Книга построена следующим образом.

Второй раздел посвящен обзору оптимальных методов не­ линейной фильтрации, пригодных для обработки радиосигна­ лов. Сначала рассматривается уравнение Стратоновича — Кушнера для условной плотности распределения параметра, позво­ ляющее получить наиболее общее решение задачи нелинейной фильтрации. Обсуждаются возможности применения этого уравнения к задаче обработки радиосигналов. Рассматривают­ ся приближенные методы решения, позволяющие решить за­ дачу поиска сигналов с изменяющимися параметрами с пози­ ций теории нелинейной фильтрации. Показывается, что неко­ торые известные методы поиска импульсных сигналов вытека­ ют из этой теории. Затем исследуются методы оптимальной нелинейной фильтрации, основанные на гауссовой аппроксима­ ции условного распределения вероятности. Обсуждаются осо­ бенности применения расширенного фильтра Калмана в зада­ чах обработки сигналов радиотехнических систем управления движением объектов.

В третьем разделе рассматриваются субоптимальные мето­ ды фильтрации, позволяющие снизить вычислительные затраты путем понижения порядка фильтра, устранением перекрестных связей в многоканальных фильтрах и использованием постоян­ ных коэффициентов. Показывается существование неоднознач­ ности в решении задачи рекуррентной субоптимальной фильт­ рации. Приводятся аналитические методы расчета оптимальных

и субоптимальных фильтров для простейших моделей измене­ ния параметров.

В четвертом разделе рассматриваются методы фильтрации с интегральным вводом данных, позволяющие строить эффек­ тивные субоптимальные фильтры с малой загрузкой вычисли­ тельных средств и низким темпом обмена данными между ЭВМ и внешними устройствами. Обсуждается возможность ис­ пользования следящих измерителей в качестве устройств, обес­ печивающих весовое интегрирование данных перед вводом в

ЭВМ.

Пятый раздел посвящен использованию субоптимальных фильтров в радиотехнических системах местоопределения объек­ тов. Рассматривается распространение метода проектирования фильтров с постоянными параметрами на случай нелинейной зависимости измеряемой величины, например дальности, от координат движущегося объекта.

В шестом разделе содержится изложение принципов проек­ тирования комплексирующих фильтров в радионавигационных системах и приводятся два примера применения методов филь­ трации, в которых показано влияние выбора моделей и систем координат на сложность получаемых фильтров.

С целью облегчения чтения книги в Приложении содержит­ ся простейшее введение в теорию линейной фильтрации Калмана в дискретном времени. Применение теории фильтрации иллюстрируется большим количеством примеров обработки импульсных радиосигналов.

Книга предназначена для широкого круга читателей и тре­ бует подготовки в объеме обычных вузовских курсов.

2. АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ РАДИОСИГНАЛОВ

Задача оценки случайных сигналов имеет большое значе­ ние при проектировании радиотехнических систем, для кото­ рых характерно воздействие разнообразных внутренних и внеш­ них помех. В этом разделе обсуждаются особенности исполь­ зования теории нелинейной фильтрации в радиотехнических системах, предназначенных для определения координат объек­ тов. Сначала задача оценки решается путем построения апо­ стериорного распределения вероятности для оцениваемых па­ раметров. Затем исследуются приближенные методы вычисле­ ния апостериорного распределения и алгоритмы, основанные на гауссовой аппроксимации распределений вероятности.

Особое внимание уделяется рациональному разделению опе­ раций аналоговой и цифровой обработки радиосигналов. На­ личие такого разделения является характерной особенностью радиосистем и существенным образом влияет на структуру не­ линейных фильтров.

2.1. Основное уравнение нелинейной фильтрации

Выделение и оценивание параметров радиосигналов требует применения нелинейной обработки, так как полезное сообще­ ние нелинейным образом модулирует несущую частоту. Извест­ ная теория нелинейной фильтрации [37, 45] предполагает, что измеряемые параметры являются частью переменных вектор­ ного марковского случайного процесса X(f), задаваемого век­ торным дифференциальным уравнением

вектора X(t) определяется количеством переменных в моделях полезных и мешающих параметров.

лые шумы с нулевым средним и известными ковариационными матрицами:

cov {W (0. W(*)| = 4 V 4 * - t ) , cov (V(f), V ( 0 ) = V / i { f - - ) .

Задача нелинейной фильтрации заключается в получении наилучшей оценки вектора X(t) по принятой реализации про­ цесса Y(^). Наиболее общий подход к решению этой задачи основан на получении условной плотности вероятности р[X (/), //Y(<)]. Уравнение для р[Х(/), tfY(t)] было получено незави­ симо Р. Л. Стратоновичем в СССР и X. Кушнером в США в виде дифференциального уравнения в частных производных [36, 37]:

Последнее слагаемое в выражении (2.3) описывает процесс сжатия условного распределения при приеме сигнала. Если сигнал отсутствует, то h[X(<), /] = 0 , и процесс сжатия пре­ кращается. Трансформация распределения при отсутствии сиг­ нала определяется прямым дифференциальным оператором, при­ чем его первое слагаемое описывает смещение распределения в фазовом пространстве вектора Х(/), а второе — расширение рас­ пределения из-за действия шума W(f). Таким образом при при­ еме сигнала происходит уточнение оценки параметра, а при пре­ кращении приема точность оценки параметра с течением вре­ мени ухудшается.

Знание условной плотности вероятности p[X(t), tlY(t)] по­ зволяет строить устройства оценки при произвольной форме распределения, однако непосредственное использование урав­ нения (2.3) затруднено из-за больших вычислительных труд­ ностей при решении уравнений с частными производными.

Если априорное значение оценки Х(^0) задано с ошибкой, обеспечивающей формирование условного распределения с одним максимумом, то можно построить оценку с минимальной среднеквадратичной ошибкой путем вычисления условного сред­ него:

* « ) = j J x { t ) P [ X{t ) t t ] d x l . . . d x H.

При вычислении оценки условного среднего нелинейные функ­ ции f и h, входящие в модель сообщения, представляются

в виде сумм членов ряда Тейлора в точке оценки Х(*). Если ограничиться членами ряда, содержащими только первые про­ изводные (приближение первого порядка), вычисление услов­ ного среднего для выражения (2.3) дает уравнение прибли­ женной оценки:

X(t) = t [X(f). t \ + P ( t ) - â é w \ b |Х (*).*] I Ч »^(О Х

X (Y (t)- h [В Д , t ]} и X (f„ )= £ X (*,), (ОA)

где матрица ковариаций ошибок Р(/) задается приближенным уравнением

x ( 0, то уравнения (2.1) и (2.2) принимают вид

X (0 = f (f)X (* )+ g (/)W (0 ,

\ { t ) = h ( t ) X ( t ) + V {t),

и приближенная оценка условного среднего совпадает с точной оценкой:

X (t) = f (t) X (f) + Р {t) h ‘ {t) Фй1 (t) [Y (t) - h (t) X (*)],

( 2. 6)

P (0 = f (t) P ( t ) + P (t) i T (t) -f- g (t) Фи, (t) g T (t ) -

Уравнения (2.6) и (2.7) представляют результат, получен­

ный Р. Калманом и Р. Бьюси [61]. Эти уравнения могут бытьиспользованы для описания процесса фильтрации в радиоси­ стемах с заданной структурой дискриминатора сигнала ошиб­ ки в случае малых ошибок (в пределах линейного участка дискриминационной характеристики). Поясним применение* изложенной методики на примере.

случайным процессом (интегралом белого шума), составим дифференциаль­ ные уравнения для т:

- -V-, Vt=»Wi(0»

где fi](t) — белый шум с заданной спектральной плотностью.

Полагаем, что закон случайной модуляции E(t) является нормальным! узкополосным случайным процессом, для которого справедливо представ­ ление

медленно, их нельзя моделировать белым шумом и необходимо ввести до­ полнительные дифференциальные уравнения. Самой простой моделью корре­ лированного шума является экспоненциально-коррелированный процесс. Ис­

где Tu — интервал корреляции; n2(t) п n^(t) — белые шумы.

Объединив дифференциальные уравнения для параметра т и уравнения* для паразитных параметров в систему из уравнений, введем вектор состояния i

Хг (0 =[*(<> м*> AV) -в со].

Тогда систему дифференциальных уравнении можно представить в вектор­ ной форме:

JV— спектральная плотность шума я(/).

Для вычисления коэффициентов усиления /С»(0 необходимо дополнить уравнение (2.10) дисперсионным уравнением (2.5). Уравнению (2.10) соот­ ветствует структурная схема, показанная на рис. 2 .L

«2(i)

кAt)

U Кий)i --

Вычисление

Рис. 2.1.

Оптимальный фильтр можно рассматривать как следящую систему,

s которой производится подстройка параметров т, v-., А и В путем срав­

нения принятого сообщения Y(t) с образцом Л[Х(/), /]. При точном слежелии сигнал ошибки на выходе вычитающего элемента определяется шу-