книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

фильтре не оценивается, ошибка оценки ускорения равна величине ускоре­

ния (3.9) для одношаговой оптимизации коэффициента усиления. Поэтому оптимальность стационарных значений К\ и К2 является сомнительной. Мож­

но указать следующий путь проверки результата. При малых Та дискрет­ ная система приближается к непрерывной, для которой известны оптималь­ ные коэффициенты усиления.

На рис. 3.1 показаны проектируемая дискретная (я) и эквивалентная

о

Рис. 3.1.

ей непрерывная (б) системы. Производя замену дискретных элементов на непрерывные, получим

°47"п

Таким образом, имеется существенное различие результатов, обусловленное неоптимальностью рекуррентного метода с одно­ шаговой оптимизацией коэффициента усиления при проекти­ ровании субоптимального фильтра. Несмотря на то, что метод рекуррентной оптимизации не пригоден для получения стацио­ нарных коэффициентов усиления, он оказывается полезным при проектировании нестационарных фильтров. Исследуем особен­ ности проектирования субоптимального алгоритма.

Вычисляя производную spP(A-M) по матрице К из выраже­

Это выражение совпадает со значением коэффициента усиле­ ния оптимального фильтра (см. Приложение 1). Часть элемен­ тов матрицы К(А+1), соответствующая отброшенной части век­ тора Х(А), в субоптимальном фильтре не используется. Исполь­ зуемая часть матрицы К(А +1) образует матрицу усиления суб­ оптимального фильтра Ki(A+l), которая равна

зование коэффициента Ki(A-f-l) в выражении (3.4) обеспечи­ вает наименьшую дисперсию ошибки фильтрации на (А+1)-м шаге. Так как процесс фильтрации неоптимален в том смысле, что часть вектора Х(А) не оценивается, в процессе экстрапо­ ляции на следующий такт можно извлечь дополнительную ин­ формацию из Y(A-|-1).

мальной процедуры выполнить оптимальную оценку с коэф­

К Г(А) = [КГ(А) К2Г(А)].

Рассматривая далее процесс экстраполяции оптимальной оценки, получим

Х -(А + 1) = Ф(А)Х(А)= Ф]1 (А)X! (А) -f- Ф|2 (А) Х2 (А) (3.13) Ф22(А)Х2(А)

у2

1

К,(Л) =

Pu W + 12 Pÿ2W + Pu (b) Tn

На рис. 3.2 показан процесс установления ошибок экстраполяции в оп­ тимальном (сплошная кривая) и субоптимальных фильтрах пониженного порядка, дающих минимальную ошибку фильтрации на одном шаге (штрихпунктирная кривая) и экстраполяции (пунктирная). Значение о о=10 м/с2.

РН,М2 7n=7c, G0=WM/C2, 62=7м2

Характер изменения ошибок на интервале временной дискретизации в ста­ ционарном режиме показан на рис. 3.3. Минимизация ошибок экстраполяции сопровождается увеличением ошибок фильтрации и, наоборот, минимизация ошибок фильтрации ведет к ро­

ошибками экстраполяции дает лучшие результаты. Однако в нестационар­ ном режиме фильтр с минимальными ошибками экстраполяции характери­ зуется большей колебательностью, что видно на рис. 3.2.

3.2. Субоптимальная фильтрация при многомерном наблюдении

При наличии нескольких каналов измерения однородных ра­ дионавигационных параметров (многомерном наблюдении) реа­

лы возможности автономной, не­ зависимой от других каналов работы. Обеспечение же автоном­

ности некоторых измерительных каналов часто является необ­ ходимым условием построения всего измерительного устройст­ ва. Например, в задаче проектирования однопутевого измерите­ ля дальности, которая будет рассмотрена в разделе 6, канал синхронизации, обеспечивающий работоспособность других ка­ налов радионавигационного измерителя, целесообразно строить независимо от дальномерного канала. При комплексированин дальномера с датчиком воздушной скорости реализация пере­ крестной связи от дальномера к датчику воздушной скорости затруднительна. Поэтому представляет интерес задача проек­ тирования субоптимального фильтра с ограниченным числом

размерность вектора оценки Х„, равна размерности вектора со­ стояния объекта. Ограничение на число перекрестных связей представим в виде ограничения на весовой коэффициент (анало­

Dj(ft) —n i X ( m —mi).

Заметим, что в случае оптимальной фильтрации А=1, В = 0

В случае субоптимальной фильтрации, когда имеются ограни­ чения на элементы матричного коэффициента L(ft), из (3.20) получаем

щей системы, использующей „свои” сигналы и не охваченной перекрестной связью, зависит только от ошибок этой системы и определяется независимо от выбора т (выражение (3.24) по­ добно выражению (3.21) для весового коэффициента оптималь­ ного фильтра). Весовые коэффициенты следящей системы, использующей все принятые сигналы, как следует из выраже­ ний (3.22) и (3.23), зависят от ошибок обеих систем и, кроме того, от т.

Из выражения (3.21), пользуясь правилом обращения мат­ риц при помощи разбиения на клетки [6], нетрудно получить весовые коэффициенты Ki(ft) и Кг (ft) оптимального фильтра:

Сравнение (3.22) и (3.26), а также (3.23) и (3.27) показывает,

что коэффициенты, вычисленные по этим формулам, совпадают,

если ФГ1(т) Ф гМ [D3(Æ)F!(é)—D4(Æ)F2(£)] =0. Это возможно при т=0, а также если переходная матрица Ф (Гп) имеет вид

или C2(k) = Cl (k) = 0, D2 {k) = D37 (£) = 0 , что соответствует независимой работе следящих систем обоих каналов измерения (это условие выполняется при измерении различных навига­ ционных параметров, модели сообщений для которых никак не связаны друг с другом).

Таким образом, при минимизации spP(£7n), когда т = 0, ве­ совые коэффициенты Ki(£) и К2(k) субоптимального фильтра (3.17) следует брать равными соответствующим элементам ве­ сового коэффициента оптимального фильтра. При т^=0 к этим значениям следует добавлять поправочные члены в соответствии с. (3.22) и (3.23), зависящие от выбора т е [0 , Тп].

Упрощение перекрестных связей фильтра приводит к увели­ чению его ошибок, которые зависят от многих факторов: от точ­ ности работы каждого измерительного канала, от периода изме­ рений, от структуры модели сообщения (и оптимального фильтра) и т. д. Поэтому использование представленных резуль­ татов проектирования субоптимального фильтра при многомер­ ном наблюдении обязательно должно сопровождаться сопостав­ лением точности оптимального и субоптимального фильтров.

Теперь рассмотрим задачу одновременного понижения по­ рядка и упрощения перекрестных связей фильтра при многомер­ ном наблюдении. В этом случае переходная матрица Фт суб­ оптимального фильтра (3.17) отличается от переходной матри­ цы Ф оптимального, и использование выражения (3.19) для минимизации ошибок субоптимального фильтра, вообще говоря, не допустимо. Ковариационная матрица ошибок несогласован­ ной с моделью сообщения фильтрации, в общем случае, опреде­ ляется из выражения

При т=0 выражение (3.28) соответствует ковариационной матрице ошибок фильтрации P(kTn) несогласованного с мо­ делью сообщения фильтра [58]. Запись выражения (3.28) мож­ но упростить, если заменить ковариационную матрицу ошибок субоптимальной фильтрации P(kT„+x) расширенной ковариа­ ционной матрицей:

мального фильтра [60].

Здесь мы будем полагать, что переходная матрица оптималь­

на переходную матрицу в задаче понижения порядка фильтра (см. разд. 3.1). Для того чтобы переходная матрица опти­ мального фильтра Ф имела вид (3.29), необходимо сгруппи­ ровать все неоцениваемые компоненты вектора состояния объ­ екта в нижней его части, причем при выборе неоцениваемых компонентов должно быть выполнено условие: линейная комби­ нация оцениваемых компонентов вектора состояния объекта не должна влиять на неоцениваемые компоненты. Выполнение усло­ вия (3.29) допускает использование упрощенного выражения (3.19) для ковариационной матрицы ошибок субоптимального фильтра.

Пусть переходная матрица Ф^Гп) субоптимального алго-

а ограничения на весовой коэффициент L(ft) представлены в следующей форме:

Согласно выражению (3.30) одна следящая система (размер­ ностью ri2< ni) корректируется всеми т принятыми сигналами в соответствии с коэффициентами Ki(&) и Кг (Л), а вторая — раз­ мерностью «з<(ге—ni) — частью пц принятых сигналов, так как Кз(А) заменено нулем. Матрицы Кв(^) и Кв(А) являются коэф­ фициентами той части оптимального фильтра, которая выраба­ тывает неоцениваемые в субоптимальиом фильтре компоненты

вектора состояния объекта.

Также, как и в предыдущих задачах, можно определить инте­ ресующие нас коэффициенты Ki(A), Кг (А) и К4(А). Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные выражения:

зывает, что при одновременном понижении порядка фильтра и упрощении перекрестных связей

1) выражения, определяющие весовые коэффициенты суб­ оптимального фильтра, содержат в общем случае дополнитель­ ные поправочные члены, зависящие от дисперсии неоценнваемых компонентов вектора состояния объекта и от выбора т;

2) весовой коэффициент автономной следящей системы, не охваченной перекрестной связью, зависит от ошибок только этой системы и дисперсии „своей” части неоцениваемых компо­ нентов, а также, в отличие от выражения (3.24), от выбора т;

3) весовые коэффициенты следящих систем, охваченных пе­ рекрестной связью, зависят, кроме т, от ошибок обеих систем и дисперсии всех неоцениваемых компонентов вектора состояния объекта;