книги / Турбулентное смешение газовых струй

конечности, тогда как по «старой» теории Л. Прапдтля, которой соответствует формула (2.77), значение Аи0 —0 и 1 достигается при | ^ + 1,15.

Полученные точные решения позволяют проследить за влиянием отдельных параметров на профили скорости и

В силу погрешностей экспериментов разброс точек на профилях скорости превышает это различие и поэтому поданным гл. I невозможно подтвердить или опровергнуть полученный на рис. 2.4 результат.

2. В заключение этого раздела, посвященного анали­ тическому анализу уравнений, покажем, как связаны гео­ метрические параметры зоны смешения с числом Шмидта. Известно, что в турбулентном потоке скалярныесубстан­ ции (концентрация, температура и т. д.) переносятсяболее интенсивно, чем количество движения, т. е. Sc< 1 и, например, профиль с более «размазан» по зоне смешения, чем профиль и. Поэтому в приближенных методах иссле­ дования смешения вводят разные характерные толщины воны смешения, определяемые по профилям и и с. Если ввести такие толщины для профиля скорости Ьи, концен­ трации Ъс и температуры Ът, то отмеченное выше разли­

чие в интенсивности переноса можно выразить неравен­ ствами

Ьфс < 1 и bjbr < 1.

Отсюда, конечно, не следует, что отношения Ьг,/Ьс и Ьи/Ът прямо связаны свеличинойSc. Достаточно напомнить, что в соответствии с (2.46) профиль температуры зависит от отношения Cp2/cPl и, следовательно, величина Ъи/Ът может бытьфункцией этого параметра. Однако в некоторых, про­ стейших случаях можно найти связь между отношением характерных толщин профилей и числом Шмидта.

Проще всего такая связь получается для «новой» теории Прандтля (а = 1) при тп 1 и п—>1, когда про­ фили р, с и Т совпадают. В этом случае уравнения (2.57)

Из формулы (2.79) видно, что характерные толщины про­ филей рик связаны с Sc простым соотношением

При этом способ определения Ъи и ЪРне играет роли, так как профили и ир могут быть совмещены растяжением по оси £. Сложнее обстоит дело в случае «старой» теории Л. Прандтля (а = 2), так как в этом случае полная тол­ щина зоны смешения конечна и одинакова для всех пара­ метров.

Получим связь между профилями скорости и плотно­ сти, исключив из (2.57) и (2.58) поперечную скорость

Это уравнение можно проинтегрировать один раз и полу­ чить следующую связь:

—(1 + Sc)Inр + Inp' = (aSc—a -j- 1)Inu\ + Incb

где. —постоянная интегрирования.

Перейдем к новым переменным Ар°, Аи°}т] и определим из условия совпадения профилей при Sc = 1 постоянную

Примем, что характерные толщины профилей скорости и плотности обратно пропорциональны градиентам и и р при ц = 0,5, и воспользуемся точным решением (2.77) для профиля скорости при ттг—>- 1 и гс->- 1, которое было получено выше. Несложные расчеты показывают, что при этом из уравнения (2.82) отношениетолщинбудетравно

Зависимости bn/bPот Sc для «новой» (2.80) и «старой» (2.83) теорийЛ. Прандтля представлены па рис. 2.5. Приближенно можно принять, что для обоих рассмотренных случаев характерные толщи­ ны профилейскоростииплот­ ности (определенные по гра­ диенту соответствующего па­

расчетах примем Sc æ0,5.

В то же время в основном участке струи опытные данные приводят к значению Sc^ 0,7 (см. гл. I).

Подведем некоторые итоги теоретического анализа смешения двух дозвуковых потоков различной плотно­ сти, которые были изложены в §§ 2 н 3 настоящей главы:

2) анализ уравнения состояния показывает, что пре­ небрежение в нем пульсациями параметров приводит в рамках теории Буссинескакусловию равенства коэффици­ ентов переноса массовой концентрации, плотности и эн­ тальпии: Dc = Dp = Dh, так что перенос этих величин можно охарактеризовать одним числом Sc = Е/D; этавели­ чина приближенно связана с характерными толщинами профилей скорости и плотности: Sc (Ьи/Ър)2, причем по опытным данным для плоской зоны смешения Sc æ 0,5;

3) при некоторых значениях параметров система урав­ нений имеет точные решения:

а) а = 2, т = 0, п = 1—решение Толмиена, формула

(2.70); б) а = 2, т = 1, тг = 1 —формула (2.77);

в) а = 1, 77i=l, тг = 1 —решение Шаблевского, формулы (2.79);

г) а —f ^~sc> т ~ var»п = var —профиль плотно­

сти, формула (2.74).

В остальных случаях система уравнений может быть решена численно.

§ 4. Сопоставление результатов численного расчета зоны смешения спутных потоков различной плотности с опытными данными1

1. Численное решение системы уравнений (2.57) —

(2.59) осуществлялось итерационным интегральным мето­ дом. Дифференциальные уравнения с учетом грапичных условий (2.51) и (2.53) преобразовывались к интегральным. Задавая приближенные начальные распределения и, v и р по | и принимая ихв качестве нулевого приближения, из интегральных соотношений находилось новое приближе­ ние, которое спова использовалось в качестве начального. Такая процедура последовательных приближений продол­ жалась до достижения заданной точности. Схема этой про­ цедуры с незначительными изменениями заимствована из работы I35J. Расчеты были проведены при числе Sc = 0,5, при изменении параметра т от 0 до 2 и при отношениях плотностей, соответствующих смешению нагретого воз­ духа (п = 1,3), фреона-12 (п —0,27) и гелия (тг = 7,25) Охолоднымвоздухом. Выбор параметров определялся воз-

можностыо сравнения результатов расчета с опытными данными, приведенными в гл. I.

Особенность введения автомодельной координаты £ (см. § 3) заключается в том, что профилипараметров при этом не зависят в явном виде отфункции А(х) в формуле (2.54) для вязкости.

Следует отметить, что хотя расчет ведется для случая зоны смешения двух полубесконечных потоков, однако использование граничного условия (2.53) позволяет счи­ тать, что результаты этого расчета в равной степени отно­ сятся и к зоне смешения начального участка струи в спутном потоке. В качествеиллюстрациипервичныхрасчет­ ных данных на рис. 2.6 приведены распределения различ­ ныхпараметровпо автомодельнойкоординатедля «старой» теории Л. Прандтля. По оси ординат на графиках отложе­ ны безразмерные параметры Аи°= (и —и2)1 (щ —и2),

Др° = (р —р2)/ (Pi —р,), С, pa2/pi«ii V = v/ujQ» которые на всех графиках отмечены соответственно буква­

ми и, р, с, pu2, V. Изменение псущественно сказываетсяна форме и взаимном расположении профилей всех парамет­ ров. Так, например, для струи фреона (п = 0,27) профиль скорости лежит дальше от оси струи (см. рис. 2.6, а), чем профиль плотности, а для струи гелия (п = 7,25) имеетместо обратная картина (см. рис. 2.6, в)—во внешней, по отношению к струе, части зоны смешения скоростьпоч­ ти совпадает со скоростью спутного потока, а плотность заметно отличается от плотности спутного потока. Такое расположение профилей отмечалосьиприэксперименталь­ ном исследовании смешения (см. гл. I).

На рис. 2.6, 6 приведены расчетные профили при п = = 1,1, т. е. при смешении потоков с почти одинаковой плотностью. Некоторое отличие этого профиля скорости отточных решений при т —0 (2.70) и т = 1 (2.77) связано с тем, что численный расчет проведен при т = 0,25. Сле­ дует отметить, что при п = 1,1 в соответствиис точным ре­ шением (2.74) профиль плотности близок к линейному. Сравнение расчетных профилей с имеющимися точными решениями при т = 0 и 1 показывает, чтопогрешность численного расчета не превышает 1%.

Примеры расчета течения в зоне смешения по «новой» теории Л. Прандтля (а = 1) представлены на рис. 2.7. Сопоставление этих профилей при одинаковых значениях

Рис. 2.6. Расчетное распределение газодинамических параметров в зоне смешения при а = 2, Sc = 0,5, т = 0,25.

т и п спрофилями, представленными на рис. 2.6, показы­ вает, что заметное различие имеет место лишь вблизи гра­ ниц зоны смешения. Расположениепрофилейотносительно друг друга и их форма в средней части зоны смешения

ляющих параметров т и п , лишь некоторая часть которых приведена на рис. 2.6 и 2.7, показали, что форма профи­ лей существенно зависит от параметра п, а влияние пара­ метра т сводится в основном к некоторому изменению тол­ щины и положения зоны смешения по координате4

4 Г. И.Абрамович и др.

Несколько более заметная трансформация профилей имеет место при т^> 1. В качестве примера на рис. 2.8 пред­ ставлены результаты расчета зоны смешения при т = 2, п = 7,25. Видно, что наряду с сильным смещением зоны в сторону струи (вся зола смешения располагается при I > 0) имеется и некоторая трансформация профилей.

Так, если при т = 0,25 и п = 7,25 (рис. 2.6, в) профили скорости и концентрации пересе­ каются в середине зоны смешеиия, то при т = 2 и п = 7,25 (рис. 2.8) такого пересечения нет.

2. Сопоставление ре­ зультатов расчета с опытными данными удобнее начать с рас­ смотрения зависимостей типа р(и), Т(и), кото­ рые характеризуют вза­ имное расположение профилей этих парамет­ ров в зоне смешения.

' На рис. 2.9приводят­ ся результаты сравне­ ния расчетных и эмпирических зависимостей такого типа

при разных п и т . Влияние т (сплошные и пунктирные линии) мало и не превышаетразброса экспериментальных точек. Некоторое различие теории и опытных данных в этихкоординатахможнообъяснитьнеточностью измерений и неавтомодельностыо течения, которая имеет место из-за наличия на кромке сопла пограничных слоев. Для иллю­ страции степени влияния параметра п на относительное положение профилей скорости и плотности на рис. 2.9, а представлены результаты расчетов при п = 0,01, соответ­ ствующие распространению, например, струи фреона в нагретом водороде. Расчет зависимости Т (и) был произ­ веден с использованием следующих значений относитель­ ных теплоемкостей: Ср = cpJcp1 = 0,192 для гелия (п —

= 7,25), бр = 1 для воздуха (п = 1,3) и ер = 1,73 для фреона (п = 0,27).

Для дальнейшего описания течения в зоне смешения и сравнения с опытными данными необходимо ввести

Рис. 2.9. Сопоставление расчетных п экспериментальных зависимостей р (u), Т (и) в зоне смешения.

понятие толщины и границ зоны смешения. Этотэтаппри обработке как опытных, так и теоретических данных со­ держит много проиэвола. При теоретических расчетах

само понятие границ зоны смешения имеет определен­ ный смысл только при использовании «старой» модели Л. Прандтля, так как по «новой» модели зона смешения бесконечна. В опытах максимальная погрешность изме­ ренийобычно имеет место вблизи границы зоны смешения, что так же затрудняет экспериментальное определение ее

положения.

При сильном различии плотностей смешивающихся по­ токов (пФ 1) возникает еще одна особенность, затруд­ няющая определение границ зоны смешения. Формы про­ филей разных параметров настолько отличаются друг от друга, что границы зоны смешения и ее толщины, опре­ деленные по профилям разных параметров, существенно зависят от способа их вычисления и значений определяю­ щих параметров. Более обоснованным представляетсявве­ дение единой толщины зоны смешения как области, в пре­ делах которой какие-либо параметры претерпевают су­ щественное изменение. Поэтому значение толщины Ь в дальнейшем отыскивается по точкам, в которых все пара­ метры отличаются не более чем на п = 5% от своих пре­ дельных значений. Из рассмотрения рис. 2.6 и 2.7 видно, что фактически при таком определении толщины границы зоны смешения и | 2 определяются по разным парамет­ рам. Как правило, с одной стороны зоны граница опреде­ ляется по массовой концентрации с, ас другой —по плот­ ности р (когда подогрев струи невелик, распределение

Ар° приблизительно совпадает с профилем объемной кон­ центрации и).

Выбор значений п = 5% достаточно произволен и оп­ ределяется в основном удобством сравнения теории и эксперимента. При определении толщины зоны смешения поточкам, в которыхпараметры отличаются на я = 1—2% от своих предельных значений, возможны большие ошиб­ ки, так как эти точки будут очень близки к границам зо­ ны смешения, где неточности теории и экспериментальных данных велики. Если в качестве значения п выбрать ве­ личину 30—40%, то теряет смысл понятие толщины зоны смешения: определенная таким образом толщина будет скорее характеризовать относительное расположение про­ филей внутри зоны смешения. Контрольные расчеты по­ казали, что основные результаты слабо зависят от выбора значения л, если оно лежит в диапазоне 2% < п ^ 20%.