книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Одномерная математическая статистика и регрессионный анализ)
..pdf
а |
б |
Рис. 7.19. Окна для преобразования зависимых и независимых переменных в уравнении из нелинейного вида в линейный: а – выбор типов нелинейных преобразований; б – выделение преобразованных аргументов для регрессии
В последующем производится подбор уравнения и вывод результатоввычислений,какприобычномрегрессионноманализе.
7.7. Нелинейное оценивание
Как указывалось ранее, если нелинейная мультипликативная модель внутренне линейна, её можно преобразовать в линейное уравнение. Но если модель внутренне нелинейна, то к линейной функции ее свести нельзя. В некоторых случаях пользователь знает структуру нелинейной по параметрам зависимости и может задать её предполагаемый вид. Остаётся только вычислить коэффициенты регрессии при аргументах. В таких ситуациях для вывода функции используются различные итеративные процедуры, одна из которых реализована в рассматриваемом модуле.
Пример. На одном из рудников ПАО «Уралкалий» с начала панели пройдены 20 камер комбайном «Урал 20». Ширина камеры 5,4 м, ширина выемочной единицы 12,6 м. В табл. 7.2 приведены расстояния до каждой оси камеры от начала панели.
251
В плане развития горных работ расчётная величина потерь составила 68,40 %. После разработки камер определены фактические потери. Они отклоняются от средней величины плановых потерь. Отклонения определены как разность фактических и плановых потерь. Определим зависимость отклонений потерь от удаления камеры. Введём исходные данные в программу и построим график отклонений потерь от планового значения (рис. 7.20). Видно, что отклонения встречаются как с положительным, так и с отрицательным знаком, график имеет волнообразный характер.
а |
б |
Рис. 7.20. а – таблица потерь полезного ископаемого по камерам и б – график их отклонения от плановых значений
График изменения отклонений потерь можно описать двумя синусоидами вида F (Li) = sin (b·Li), а тренд (небольшой изгиб графика в его начальной части) – экспонентой. Остаётся вычислить параметр b. Используем для этого инструменты нелинейного оценивания.
В этой закладке нелинейного оценивания параметры ожидаемой модели могут подгоняться по методу наименьших квадратов (рис. 7.21), по критерию максимума правдоподобия или с
252
помощью любой определенной пользователем функции потерь [66]. Регрессия пользователя даёт возможность выбрать один из четырех мощных и существенно различных по своим характеристикам методов оценивания (квазиньютоновский, симплексметод, метод Хука – Дживса и метод Розенброка), так что практически в любой задаче (даже очень сложной в вычислительном отношении) можно получить устойчивые оценки параметров.
Рис. 7.21. Инструменты нелинейного оценивания
Выберем «Регрессия пользователя – произвольная функция потерь», откроется окно, в котором пропишем сначала предполагаемую функцию, а затем и функцию потерь. В регрессионном анализе такой функцией служил метод минимизации остатков, в нашем примере минимизируется функция L = (факт – теор)2.
Рис. 7.22. Формирование вида предполагаемой функции
253
В качестве функции потерь выбираем сумму квадратов разностей наблюдаемых и предсказанных значений (OBS – PRED)2, оценки параметров вычисляются методом наименьших квадратов. В появившемся далее окне «Метод оценивания» во вкладке «Дополнительно» можно задать вычислительный метод (квазиньютоновский, симплекс-метод, метод Хука – Дживса или метод Розенброка), максимальное число итераций, величину критерия сходимости, можно задать начальные значения искомых коэффициентов и шаг изменения параметров [70]. Чтобы получить среднеквадратические ошибки оценок параметров, нужно включить опцию «Асимптотические стандартные ошибки». Требуется обратить особое внимание на выбор начальных значений параметров, так как неудачное начальное приближение может привести к медленной сходимости или даже к расходимости процесса вычислений. Если запустить программу оценивания при некорректно введённых параметрах, то может появиться следующее сообщение: «Вычисления не могут выполняться: следует изменить начальные значения параметров / точность вычислений / величину шага». Некорректные результаты могут появиться и без сообщений. Об этом могут свидетельствовать низкий коэффициент корреляции, значительная величина потерь и явное несовпадение восстановленной функции с опытными точками. Результаты вычислений содержат [70]: значение функции потерь (Loss function) по шагам итераций (Final value), оценки параметров, коэффициент множественной корреляции R, долю дисперсии исходных данных, объясняемую моделью (коэффициент детерминации R2) (рис. 7.24). Кнопкой «Подогнанная функция и наблюдаемые значения» можно построить график предполагаемой функции и визуально оценить сходимость его с заданными точками. Из рис. 7.24 видно, что кривая без отклонений проходит через опытные точки. Об этом свидетельствуют и представленные на рис. 7.25 коэффициент множественной корреляции, равны единице и отсутствие потерь. Иными словами, получена функциональная зависимость, параметры которой выведены в табл. 7.3.
254
Рис. 7.23. Выбор метода оценивания и параметров модели
Рис. 7.24. Построенный график модели
255
Таблица 7.3
Оценки параметров
Рис. 7.25. Полученные результаты моделирования
256
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Горнодобывающие предприятия относятся к категории опасных производственных объектов. Инженерные службы предприятия обязаны организовывать и осуществлять производственный контроль за состоянием объектов разработки. Для этих целей производятся отбор проб и исследования их физикомеханических свойств. Гидрогеологи отбирают пробы рудничных рассолов и определяют природу их возникновения. Если в рассолах обнаруживается пресная вода, она может появиться из водоносных горизонтов, тогда возникает опасность затопления рудника. Геологи отбирают пробы руды на содержание полезных компонентов, обработка которых позволяет получить ожидаемое качество руды, что влияет на экономику предприятия.
Во всех этих и многих других случаях решение практических инженерных задач базируются на обработке большого объёма количественной информации, которую необходимо объективно оценить, провести группировку или классификацию, доказать наличие зависимостей и установить пространственные закономерности развития объектов разработки, процессов или явлений, выполнятьмоделированиеидаватьпрогнозихразвития.
Такие задачи успешно решаются с помощью математических методов и соответствующих программных средств, разработанных для персональных компьютеров. Горный инженер должен лишь статистически корректно сформулировать задачу, выбрать наиболее подходящий для конкретных условий метод анализа и послеобработкидатьобъективнуюинтерпретациюрезультатов.
В настоящем пособии приводятся разделы статистики случайных величин или одномерная статистика, элементы которой используются в маркшейдерской и геодезической службах для обработки полевых измерений. Из многомерного статистического анализа приводится корреляционный и регрессионный анализ, что даёт возможность проверить наличие зависимостей и установить пространственныезакономерностиобъектовразработки.
257
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: исследование зависимостей: cправочное издание / под ред.С.А.Айвазяна.–М.:Финансыистатистика,1985.–487с.
2.Акимов В.А., Быков А.А., Щетинин Е.Ю. Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения // Всероссийский научно-исследовательский институт по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций МЧС России. – М., 2009. – 536 с.
3.Анализ данных для геологического моделирования толщи Верхнекамского месторождения калийно-магниевых солей /
А.В. Катаев, С.Н. Кутовой, Д.А. Мейстер, Е.М. Ефимов, А.П.Рачкова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Геология. Нефтегазовое и горное дело. Geology. Oil and gas engineering and mining. – 2019. – Т.19,№4.–С.344–355.
4.Аргучинцева А.В. Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений: учеб. пособие. – Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. – 105 с.
5.Арманд Д.Л. Наука о ландшафте. (Основы теории и ло- гико-математические методы). – М., 1975. – 288 с.
6.Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. – Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. – С. 139–155.
7.Бернштейн С.Н. Современное состояние теории вероятностей и ее приложений // Труды Всероссийского съезда математиков, Москва, 27 апреля – 4 мая 1927 г. – М. – Л.: ГИЗ, 1928. – С. 50–63.
8.Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Про-
гноз и управление. – М.: Мир, 1974.
258
9.Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA – Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. – 2-е изд.– М.:Информационно-издательскийдом«Филинъ»,1998.–608с.
10.Боровиков В.П. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере. – СПб.: Питер, 2001. – 656 с.
11.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник. – 11-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010. – 664 с.
12.Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова. – М.: Большая Российская энциклопедия, 2003.
13.Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: учеб. пособие. – М.: ФОРУМ, 2008. – 464 с.
14.Газизов Д.И. Обзор методов статистического анализа временных рядов и проблемы, возникающие при анализе нестационарных временных рядов // Математика. – 2016. – № 158 (3). – С. 9–14.
15.Герасимов А.Н., МорозоваН.И. Параметрические и непараметрические методы в медицинской статистике [Электронный ресурс]. – URL: http://elibrary.ru/item.asp?id=24344525/ (дата обращения:04.04.2022).
16.Горбацевич В.В. Анализ и прогнозирование временных рядов. Методические указания к чтению лекций и проведению практических занятий [Электронный ресурс]. – М.: Государственный авиационный технологический университет, 2000. – Ч.2.–URL:http://www.fineprint.com/(датаобращения:04.04.2022).
17.ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. – М.: Изд-во стандартов, 2002. – 30 с.
18.ГОСТ Р 50779.21-2004. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Ч. 1. Нормальное распределение. – М., 2004.
259
19.ГОСТ Р 8.736-2011. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. – М., 2011.
20.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – 12-е изд. – М.: Юрайт, 2016. – 479 с.
21.Дементьев Л.Ф. Математические методы и ЭВМ в нефтегазовой геологии: учеб. пособие. – М.: Недра, 1983. – 189 с.
22.Демьянов В.В., Савельева Е.А. Геостатистика: теория
ипрактика. – М.: Наука, 2010. – 327 с.
23.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: в 2 кн. – М.: Финансы и статистика, 1987.
24.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: учебник. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. – 352 с.
25.Иконникова И.А. Основы математической статистики: метод. указания. – Томск, 2014. – 46 с.
26.Казаков Б.П., Шалимов А.В., Зайцев А.В. Исследование процессов миграции конденсационных рассолов в выработках калийных рудников // Горный информационно-аналитический
бюллетень (научно-технический журнал). – 2016. – № 11. – С. 216–225.
27. Калинченко В.М. Математическое моделирование и прогноз показателей месторождений: справочник. – М.: Недра, 1993. – 319 с.
28.Капитанова О.В. Прогнозирование социально-экономи- ческих процессов: учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс]. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2016. – 74 с. – URL: http://www.unn.ru/books/met_files/Kapitanova.pdf/ (дата обращения:04.04.2022).
29.Катаев А.В., Кутовой С.Н., Ашихмин С.Г. Математическая статистика в горном деле: учеб.-метод. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 98 с.
30.Кашников Ю.А., Ашихмин С.Г. Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного сырья: монография. – М.: Горная книга, 2019. – 496 с.
260