книги / Механическая усталость в статистическом аспекте

атах и коэффициент вариации У0тах могут быть найдены по соотношениям,,

вытекающим из уравнения (6), если в них подставить значения Мр, = 0 и Мр, = —2 (рис. 1),

где и, А, В, 8 — постоянные, входящие в уравнение (6).

У?тах

Рис. 2. Зависимость коэффициента вариации ^атахот ^ ЦО (Сталь 45* —

испытание при изгибе в одной плоскости: остальные материалы испытыва­ лись при изгибе с вращением)

Зависимости коэффициентов вариации пределов выносливости Ус» = = У0тах от1§ (<2/&), построенные по уравнению (9) при значениях постоян­

0,03—0,08 и с ростом й/О коэффициент У0_1Кстремится к относительно ма­ лым значениям. Коэффициенты вариации Уа_1К Для натурных сварных

соединений рам тракторов имеют величину 0,03—0,07 [16, 17], а для ко­ ленчатых валов — в пределах 0,05-^0,12 [1].

При возможности проведения натурных усталостных испытаний 20— 30 деталей весьма целесообразно применить метод «лестницы» для опре­ деления предела выносливости, что позволяет одновременно оценить ве­ личину У0_1к, необходимую для проведения вероятностного расчета на

прочность.

Примеры использования зависимости (6) для описания функций распре­ деления пределов выносливости деталей, а также способы приближенной оценки постоянных А, В, и, 8 при отсутствии систематических результа­ тов усталостных испытаний приведены в работах [11,15, 18], а также в других статьях настоящего сборника.

равной единице. Последнее связано с тем, что амплитуды напряжений (У < 0,7 сг_х в данном случае не оказывают существенного повреждаю­ щего действия даже при наличии в спектре перегрузочных циклов.

Анализ многочисленных экспериментальных данных показывает, что величина а уменьшается с увеличением отношения сга т а х /с га т |п в спектре, я также с сокращением относительного времени 1±действия максимальных -амплитуд спектра.

а

Рис. 3. Зависимость суммы накопленных долговечностей от величины ^ для двухступенчатых программных испыта­ нии с кратковременными пиковыми перегрузками

1 — гладкие образцы; 2 — образцы с мелким надрезом; з — образ­ цы с глубоким надрезом

С учетом этих особенностей была предложена эмпирических формула для расчетного (располагаемого) значения Ор [26]

Прямая на рис. 3, отвечающая уравнению (11), показывает, что это уравнение дает удовлетворительное приближение (с учетом неизбежного разброса по долговечности до 1,5 -4- 2 раз) к экспериментальным данным. В работе [27] приведены аналогичные результаты для 1г = 0,001, сг1/атах = = 1,5 (для сталей 45 и 40Х), которые также хорошо соответствуют форму­ ле (И).

Сопоставление формулы (И) с другими экспериментальными данными проведено в работе [26], а также в других статьях настоящего сборника. Это свидетельствует о возможности использования формулы (И) для оцен­ ки средней долговечности деталей, суммарное число циклов за срок служ­ бы которых не превышает 107—108 и которые в связи с этим рассчитывают­ ся на ограниченную долговечность.

Из выражений (10) и (11) может быть определена средняя долговечностьдетали при нестационарном нагружении, вытекающая из линейной ги­ потезы с корректировкой в соответствии с (11),

2 4

1=1 т

Величины N 1 могут быть найдены из уравнения кривой усталости в форме*

Линейная гипотеза суммирования используется также для расчета по эк­ вивалентным напряжениям аэкв. В этом случае из уравнения (15) имеем* условие прочности

Если предположить, что переход к предельному состоянию может осу­ ществиться путем увеличения всех амплитуд спектра в п раз (подобное преобразование спектра) [28], то соответствующее расчетное условие бу­ дет иметь вид

Суммирование в данном выражении производится по всем амплитудам,,

удовлетворяющим условию: <г* п > а-х, или а» = а^/п; п — запас проч­ ности. Из условия (17) получаем окончательное расчетное уравнение

Рг=1

Вслучае задания спектра амплитуд в виде плотности вероятности ана­ логичное выражение имеет вид

(19)

Здесь <утаХ — максимальная амплитуда спектра; величина а принимается равной Ор из уравнения (11).

Расчет по сгЭКв вне вероятностной трактовки условий разрушения, бу­ дучи расчетом по средним значениям, используется при отсутствии ста­ тистических оценок параметров спектров и усталостных свойств. Следует иметь в виду, что тг-кратное увеличение всех амплитуд спектра сущест­ венно изменяет взаимное расположение амплитуд и кривой усталости*

что в известной мере сказывается на условиях накопления повреждений •согласно выражениям (10) и (15). Данные тензометрирования в эксплуа­ тации в ряде случаев свидетельствуют о нарушении подобия спектров при переходе от одних условий работы к другим. Метод расчета, основан­ ный на учете постепенного снижения предела выносливости детали вслед­ ствие усталостного повреждения и изложенный ниже, позволяет устра­ нить указанные недостатки.

Оценка вероятности раврушения

при стационарной переменной нагружениостп ;(1-й расчетный случай)

Ряд деталей машин в процессе эксплуатации нагружены переменными ■напряжениями стационарной амплитуды (лопатки стационарных турбин, коленчатые валы технологических машин, клапанные пружины и др.), величина которой может в отдельных экземплярах машин претерпевать случайные отклонения. Такие отклонения амплитуды могут быть вызваны как случайными нарушениями режима работы, связанными с воздейст­ вием регулирующих и управляющих данной машиной систем, так и слу­ чайными отклонениями нагружениости одинаковых деталей одинаковых машин вследствие производственных и эксплуатационных влияний (от­ клонение в пределах поля допусков, частотной отстройки, регулировки, вариации в условиях нагружениости деталей стационарно работающих машин данного типа, поставленных в разные условия по используемым мощностям, износам, режимам ремонта и т. д.).

Суммарное количество циклов детали за срок службы Л\ГСУМ обычно бывает достаточно большим (более 107 циклов), так что условием разру­ шения будет

плитуды стационарной переменной нагружениости соответственно, ко­ торые могут иметь случайные отклонения.

Если величины а_1Ь. и аа рассматривать как распределенные нормально с параметрами а_1к, *$о_1ки За, ^соответственно и независимые, то величина М также будет распределена нормально с параметрами М, 5 м

Значение М, отвечающее некоторой вероятности разрушения Р , оп­

ределяется выражением Мр = М + ир 5м, где щ — квантиль нормаль­ ного распределения, отвечающий вероятности Р. Вероятность разруше­ ния определяется из условия

Соотношение (23), выведенное, исходя из несколько других соображе­ ний) чем в [29], использовалось при статистическом расчете на прочность

мальным, так что в большинстве случаев табличное интегрирование вы­ полнять не приходится и вероятность разрушения может быть весьма прос­ то найдена по формуле (23) или рис. 4.

Оценка вероятности разрушения при нестационарной переменной напряженности и Ж Суп менее 107—103 циклов

(2-й расчетный случай — на ограниченную долговечность)

В этом случае расчет целесообразно вести по долговечности, определяя среднюю долговечность по формуле линейного суммирования (15) с на­ хождением величины яр по формуле (И). Оценка вероятности разрушения при расчете на ограниченную долговечность имеет преимущественно срав­ нительное значение, учитывая существенные погрешности при оценке дол­ говечности [26] (например, только вследствие пологого прохождения ле­ вой ветви кривой усталости, отклонение в напряжениях на 3—5% приво­ дит к отклонению по долговечности в 1,5—2 раза и более, а погрешность в измерении переменных напряжений в условиях эксплуатации может дос­ тигать 10—15%).

Распределение долговечности с достаточной для практики точностью

где N — средняя долговечность, найденная по формуле (15). Аналогичное* соотношение может быть записано и для логарифмически нормальногозакона распределения с порогом чувствительности по циклам. Для оцен­ ки среднего квадратичного отклонения логарифма долговечности при не­

при нестационарном нагружении и при обычных усталостных испытаниях со стационарной амплитудой.

Если известно распределение величин Ор и а, определяемых, например, по соотношениям (10) и (11), то вероятность разрушения может быть най­ дена также по соотношению, выражающему вероятность осуществления следующего неравенства [1]: М = ар — а < 0.

Оценка вероятности разрушения при нестационарной переменной нагруженности н Жсум более 107—108 циклов

(3-й расчетный случай —на неограниченную долговечность)

В случае Асум более 107—108 циклов взаимное расположение функции распределения пределов выносливости п спектра амплитуд напряжений таково, что лишь весьма малая часть амплитуд превышает среднее значе­ ние предела выносливости сг^, а подавляющая часть амплитуд лежит

ниже этого значения.

В этом случае метод оценки долговечности по линейной пли каким-либо другим аналогичным гипотезам накопления повреждений требует экстра­ поляций исходной кривой усталости и процесса повреждения в область ниже предела усталости и ограничение этой области снпзу [31]. Более пер­ спективными в этом случае могут оказаться методы, основанные на учете постепенного снижения предела выпосливостп вследствие действия пере­ грузочных циклов, т. е. методы, основанные на проведении расчета в на­ пряжениях.

Влияние предварительного циклического нагружения при напряжении сгп до числа циклов пи на величину пределов выносливости изучалось в ряде работ [19, 28, 32], результаты которых подтверждают в первом при­ ближении соотношение, являющееся частным случаем ранее предлагавших­ ся уравнений [32]

(25)

здесь о'_111СХ— предел выносливости исходных образцов, не подвергавших­ ся предварительному циклическому воздействию; сг_1Пои — предел вынос­ ливости образцов, поврежденных предварительным циклическим нагру­ жением при амплитуде напряжений а„ до числа циклов 71п; N и — число циклов по кривой усталости при стационарном нагружении, соответст­ вующее амплитуде а п; К — постоянная для данного материала величина, которая может быть принята равной 1,33 для малоуглеродистой стали, 1,65 для среднеуглеродистой и 1,80 для легированной стали.

Уравнение (25) может быть использовано для расчета сопротивления усталости при нестационарном нагружении для спектров, основная часть амплитуд которых не превышает среднего значения предела выносли­ вости.

Для удобства расчета спектр напряжений следует расположить в по­ рядке убывания амплитуд [33], что, как показывают расчеты, приводит лишь к незначительной погрешности в определении усталостного повреж­ дения — порядка нескольких процентов (в запас прочности). При этом спектр напряжений заменяют ступенчатой функцией со ступенями (а*,

По оси ординат на номограмме отложены предельные значения Пр =■ определяющие разрушение при N<.Nсуы (т. е. при С-1/оа Пр не происходят разрушения, при о^/ва < Яр не происходят). Здесь пока

предполагается, что величина <т_г и спектр амплитуд напряжений фикси­ рованы.

Влияние величины т на Пр весьма мало и может быть учтено по зави­ симости

иР = иРв + (т — 8) 0,0125,

где Ир8 — значение Пр для т — 8.

Интерполяция по Vаа может производиться по той же номограмме,

представленной в других координатах на рис. 6, из которой видно, что Пр практически линейно связаны с УСа. Значение показателя наклона левой

ветви кривой усталости т оказывает весьма малое влияние на величину Пр, что и следовало ожидать, учитывая, что лишь очень малая часть спект­ ра превышает сг^.

Рнс. 6. Номограмма для опре­

Дальнейшее уточнение изложенного метода расчета по снижению сг.! возможно по линии уточнения зависимости типа (26), использования вы­ ражения кривой усталости в формуле Вейбулла (о — и)тИ = с.

При использовании описанного выше метода оценки прочности при не­ стационарном нагружепии путем последовательного определения предела выносливости в зависимости от повреждения условие прочности записы­ вается в виде О-^/бд > » р (при нормальном спектре), а условие разруше­ ния в виде

что позволяет перейти к вероятностной оценке. Если величина сг_1 имеет нормальное распределение с параметрами (б_„ 1$а_]), а величина ба имеет

нормальное распределение с параметрами (бя, # 5Я), то величина М также распределена нормально с параметрами

А/ = -- Лрбд,

(зо)

Выражение (30) справедливо только в случае независимости случайных вепичин сг_1 и Зя, что обычно имеет место.

Квантиль нормального распределения ир, соответствующий вероят­ ности разрушения Р , может быть найден из соотношения

М + 11рЗм =

откуда

определяемое по описанному выше методу (например, по номограмме рис. 5);

значение отношения сг_3/аа может иметь случайные колебания, которые характеризуются отношением средних значений п0 = з_х/ба и коэффи­ циентами вариации Уо^и Уъа.

Таким образом, величина п0может быть названа коэффициентом нагру­ женности по средним значениям. Коэффициенты пр и п0 не могут рассмат­ риваться как запасы прочности, так как не выражают отношения некоторой предельной характеристики прочности к исчерпывающей характеристике фактической переменной нагруженности, которую для достижения раз­ рушения нужно было бы увеличить в п раз. 11апример, Пр = О-х/аа = 2 не означает, что для получения разрушения до числа циклов N <; Л^сум нужно увеличить да (фактическое) в два раза; разрушение при N < №сум будет наступать при любом п_г/оа < 2.

Отношение п = /гр/тг0 может быть названо относительным (или условным)

коэффициенту нагруженности по средним п0. Величина относительного коэффициента запаса п непосредственно связана с вероятностью разру­