книги / Методы оптимального проектирования

ББК 32.965 Г 33

УДК“858.012.011.56

Геминтерй В. И., Каган Б. М.

Г 33 Методы оптимального проектирования. — М.: Энергия, 1980.—160 с., ил.

45 к.

Содержит анализ и описание методов автоматизированного проек­ тирования технических объектов» позволяющих определять оптималь­ ные значения конструктивных параметров на основе технических и технико-экономических критериев н ограничений. Излагается подход к созданию расчетных моделей проектируемых объектов. Приводятся методы решения на ЭВМ задач, возникающих при оптимальном проек­ тировании.

Для инженеров и научных работников, занимающихся вопросами применения вычислительной техники в проектно-конструкторских рабо­ тах, а также для разработчиков АСУ. Она может быть полезна сту­ дентам и аспирантам, специализирующимся в области САПР н АСУ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время одним из главных путей повы­ шения качества и эффективности проектно-конструктор­ ских работ в машиностроении, строительстве и других

тельных машин (ЭВМ). Книга посвящена важному на­ правлению автоматизации проектно-конструкторских работ — о п т и м а л ь н о м у п р о е к т и р о в а н и ю . Она содержит анализ и описание различных методов исполь­ зования ЭВМ для определения оптимальных конструк­ тивных параметров проектируемых объектов исходя из технических и технико-экономических критериев опти­ мальности (минимальная стоимость, масса и т. п.) и ограничений.

Появление ЭВМ сделало практически возможным решение задач оптимального проектирования. Впервые автоматизированное оптимальное проектирование на ЭВМ было реализовано в широком масштабе в 1957 г. во ВНИИЭМ при проектировании серий электрических двигателей [48]. С тех пор оно получило широкое раз­ витие в электротехнической промышленности (при про­ ектировании электрических машин, трансформаторов, некоторых типов регуляторов и электроприводов) и во многих других отраслях народного хозяйства.

В результате усилий многих* ученых-математиков и инженеров методы оптимального проектирования раз­ вились в важный раздел прикладной математики, а само автоматизированное оптимальное проектирование стало одной из наиболее эффективных областей применения ЭВМ в инженерном деле. Определение на ЭВМ опти­ мальных параметров проектируемого изделия дает пря­ мой экономический и технический эффект.

В настоящее время ощущается необходимость в кни­ ге о методах автоматизации оптимального проектиро­ вания, адресованной инженерам, занятым разработкой новой техники. В книге рассматриваются различные ме­

тоды и алгоритмы решения на ЭВМ задач, возникающих при оптимальном проектировании (задач нелинейного программирования), излагаются подход к построению моделей проектируемых объектов, выбору технических

итехнико-экономических критериев оптимальности и ограничений, принципы построения программного обес­ печения, ориентированного на автоматизацию оптималь­ ного проектирования. Приводятся примеры постановки

ирешения задач оптимального проектирования некото­ рых технических объектов.

Книга написана для широкого круга инженеров и студентов старших курсов вузов с целью помочь им эф­

фективно использовать вычислительную технику в прак­ тической работе.

Авторы выражают благодарность д-ру техн. наук, проф. Д. А. Аветисяну, д-ру техн. наук, проф. Г. Н. Со­ ловьеву и канд. физ.-мат. наук М. С. Штильману за по­ лезные замечания, сделанные ими при чтении рукописи.

Авторы особенно благодарны за постоянное внимание и помощь в их работе по методам автоматизации опти­ мального проектирования академику АН Армянской ССР А. Г. Иосифьяну, по инициативе которого более четверти века назад были начаты исследования по применению ЭВМ в электротехнической промышленности.

Авторы

ПРОБЛЕМА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

1-1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

При проектировании технических устройств важное значение имеет определение оптимальных вариантов конструкций машин и аппаратов, параметров схем, ре­ жимов работы технологического оборудования и т. д. Появление и быстрое развитие электронной вычисли­ тельной техники сделало практически возможным авто­ матизированное оптимальное проектирование.

Примерами задач оптимального проектирования яв­ ляются: определение конструктивных параметров элек­ трических двигателей, оптимальных по критерию мини­ мальной стоимости; расчет элементов конструкций само-, лета максимальной грузоподъемности при заданной мощности двигателя и др.’ К рассматриваемому вопросу могут быть сведены многие задачи по синтезу опти­ мальных функций для систем управления (передаточных функций, нелинейных функций управления). В этом слу­ чае искомая функция аппроксимируется некоторой ана­ литической зависимостью (посредством рядов, дробно­ рациональных функций и т. п.), коэффициенты которой определяются из условия оптимальности системы.

Задача поиска оптимальных значений параметров управления возникает во многих случаях применения управляющих вычислительных устройств для автомати­ ческой оптимизации технологических процессов. В по­ добных системах поиск оптимума осложняется дейст­ вием помех, вносящих погрешность в измерения пара­ метров производственного процесса.

Исходными данными при проектировании изделия являются указанные в техническом задании на разра-

ботку значения его номинальных параметров, требова­ ния стандартов и технологии изготовления к определен­ ным характеристикам изделия.

Например, при, проектировании электрического двигателя исходные данные включают номинальные зна­ чения мощности, питающего напряжения, частоты вра­ щения, допустимое значение перегрева обмоток, требо­ вание к перегрузочной способности и коэффициенту мощности двигателя и некоторые другие данные.

Взависимости от назначения проектируемого изде­ лия может быть указан критерий качества (или эффек­ тивности) для разрабатываемой машины, схемы или процесса. Естественным является стремление в процессе проектирования получить наилучшее значение этого критерия. Поэтому такой критерий будем называть

критерием оптимальности проектируемого объекта.

Вкачестве критерия оптимальности в зависимости от характера и назначения проектируемого объекта может быть принята его стоимость, масса, потребляемая мощ­ ность, КПД или другая, более сложная характеристика.

Уменьшение (или увеличение) значения критерия оптимальности стеснено необходимостью выполнения требований стандартов, технических условий и техно­ логии изготовления, ограничивающих значения опреде­ ленных параметров и характеристик проектируемою из­ делия. Например, при проектировании электрического двигателя стремлению к экономии обмоточного провода ставит предел заданное техническими условиями огра­ ничение по перегреву обмотки двигателя.

При оптимальном проектировании необходимо опре­ делить и обосновать критерий оптимальности проекти­ руемого изделия и четко выделить показатели и ха­ рактеристики Ri, R2, Rm, принимаемые в качестве ограничений.

Для проведения расчетов проектируемого объекта выделяют некоторую совокупность независимых кон­ структивных параметров (независимых переменных)

Х2, . . ., Хп,

значения которых однозначно определяют все остальные параметры и характеристики изделия, в том числе зна­ чения критерия оптимальности, а также показателей, принятых в качестве ограничений.

Переменные хи х2, .., хп представляют собой, на­ пример, геометрические размеры изделия или значения

других конструктивных параметров, параметры элемен­ тов схем, настройки регуляторов и т. п.

Критерий оптимальности является функцией незави­ симых конструктивных параметров:

F = F (x u х2, ..., хп).

Показатели и характеристики, на значения которых наложены ограничения, являются также функциями не­ зависимых конструктивных параметров:

/?!= /?! (хь х2, ., х„);

R2—R2(xu ...........хп);

Rm ^= Rm(,X|, Х2, . . ., Х п ).

Функции Ru R2, • • Rm будем в дальнейшем назы­ вать функциями ограничений.

Вреальных задачах проектирования функция кри­ терия оптимальности и функции ограничений (или, по крайней мере, часть функций ограничений) зависят не­ линейно от независимых конструктивных параметров. Нелинейность критерия оптимальности и функций огра­ ничений является важнейшей особенностью рассматри­ ваемой проблемы.

Вформализованном виде задача оптимального про­ ектирования в общей постановке заключается в опреде­ лении значений независимых переменных (независимых конструктивных параметров)'

и выполняются ограничения, заданные в форме нера­ венств, для некоторых, в общем случае нелинейных, функций этих переменных (функций ограничений)

Ограничения, заданные в форме уравнений, можно использовать для исключения переменных и, таким об­ разом, получить задачу с одним типом ограничений в ви-

.„де неравенств.

путем умножения левой части неравенства на минус еди­ ницу приводятся к форме (1-3).

зованием координат эти ограничения могут быть при­ ведены к виду (1.-2) и (1-3).

Совокупность формул, позволяющих для заданного набора значений конструктивных параметров .Vi, х2,

., хп рассчитать изделие и определить все его харак­ теристики,-в том числе значения функций ограничений и критерия оптимальности, называется математической моделью проектируемого изделия.

Математическая модель изделия разрабатывается на основе теории процессов функционирования изделия, методик его расчета. Уточнение модели может произ­ водиться путем сравнения результатов расчетов с ха­ рактеристиками, полученными экспериментальным пу­ тем.

Математическая модель отличается от других способов описания объекта проектирования строгостью, компактностью. Использованиематематической модели позволяет во многих случаях, заменить продолжительное и дорогостоящее экспериментирование с макетами про­ ектируемых изделий серией расчетов с применением

ЭВМ.

В математическом отношении оптимальное проекти­ рование сводится к задачам нелинейного программиро­ вания. Этот класс задач значительно сложнее широко используемого в экономических оптимизационных рас­ четах линейного программирования, в котором -предпо­ лагается, что критерий оптимальности и ограниченияявляются линейными функциями независимых перемен­

ных.

Прибегнем к геометрической интёрпретацин задачи нелинейного программирования.

В л-мерном пространстве переменных (конструктив­

начала координат в точку хг на координатные оси про­ странства Xi, Xi, ...-, хп.

Функция F в каждой точке пространства имеет опре­ деленное значение, и, следовательно, л-мерное простран­ ство является скалярным полем критерия оптимально­ сти F. В рассматриваемом пространстве может быть по­ строено семейство эквипотенциальных гиперповерхно­ стей или гиперповерхностей постоянного уровня, соответ­ ствующих определенным значениям функции F.

Пространство переменных Х\, х2, ..., хп является также скалярным полем функций ограничений R u и в нем могут быть построены гиперповерхности уровня функций Ru Функциям ограничения соответствуют гра­

выделяющие в л-мерном пространстве первый простран­ ственный квадрант.

Если условия (ограничения) заданы.в виде уравне­ ний, то переменные х\, х2, ..., хп могут выбираться лишь среди координат точек, лежащих на пересечении гипер­ поверхностей всех ограничений одновременно. В этом случае задача .сводится к отысканию относительных минимумов (максимумов) и может (по крайней мере, принципиально) решаться методом множителей Лагран­ жа. На практике имеем дело с более общим и сложным случаем задания ограничений в форме неравенств, при­ чем нелинейных.

Гиперповерхности, соответствующие нелинейным не­ равенствам ограничений, образуют в л-мерном про­ странстве сферический многогранник, выделяющий в первом квадранте область допустимых значений пере­ менных (конструктивных параметров).

Сказанное выше иллюстрируется на рис. 1-1 для слу­ чая двух переменных. В плоскости Х[0х2 нанесены линии

выделяют область допустимых значений переменных - область OABCD.

Рис. 1-1. Задача нелинейного программирования (случай двух пе­ ременных).

В рассматриваемом примере наименьшее возможное значениефункция F(xь х2) принимает на границе об­ ласти / допустимых значений переменных в точке Е.

Встречаются-задачи, в которых некоторые перемен­ ные могут принимать лишь определенные дискретные значения (например, диаметр обмоточного провода, вы­ бираемый из определенного сортамента) либо только целочисленные значения (например, число проводов

впазу электрической машины).

Вобщем случае задачи нелинейного программирова­

ния ничего нельзя сказать заранее о расположении точ­ ки, в которой функция F имеет минимально (макси­ мально) возможное значение. Эта точка может нахо-

Ю