книги / Методы оптимального проектирования
..pdf
Ход поиска с помощью изложенного алгоритма пред ставлен на рис. 6-4. Минимизируется функция
F = x * 3-f-4xi1x \ — 4х\х3— Sx2t+ 8х\ -|- 4х3
при ограничениях
Rl — xi —(xt — 1)* > 0; Rt= Qx2t — 2 + jc , > |
0; |
||
R, = 6x\ -f-2 — 3 *. |
0. |
|
|
Принятые значения параметров: |
po=0,5; |
ео=ОД' |
|
emjn=0,02; Д /=10% , /= 1 , 2........k. В |
кружках показано- |
||
число вычислений функций F, Ru Rt, R3 |
с начала поиска. |
||
Пунктиром обозначены границы Гм локальных моделей.
Алгоритм линейного локального моделирования по зволяет более полно использовать информацию, полу ченную в ходе поиска. Благодаря локализации, т. е, определению положения точки поиска по отношению- к границе допустимой области, и введению е-области,. поиск не выходит за пределы допустимой области послекаждой итерации.
Выбор на линейной модели наилучшего возможногонаправления движения среди проекций градиента кри терия оптимальности на граничные поверхности выго ден в тех практических задачах, где сравнительно вели ко время вычисления критерия оптимальности и функ ций ограничений.
Большая экономия затрат на-поиск в рассмотренном, алгоритме достигается благодаря адаптации. В частно сти, градиенты критерия оптимальности и функций огра ничений пересчитываются при переходе от одной локаль ной модели к другой лишь при достаточно большом рассогласовании прогноза и результатов эксперимента: с помощью адаптации корректируется и величина р, ха рактеризующая размер локальной модели. Это дает за метные преимущества в тех случаях, когда невелика кривизна ограничивающих поверхностей и поверхностей: уровня критерия оптимальности.
6-6. ПРИМЕР. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДИСКА ТУРБИНЫ
Рассмотрим постановку задачи проектирования диска паровой; турбины, имеющего минимальную массу [64]. Для ее решения используется модификация проекционно-градиентного метода, позво ляющая в ряде случаев при выходе на границу допустимой области находить новую начальную точку поиска внутри области, не ухуд шая значения критерия оптимальности.
Математическая модель объекта. Диск турбины можно рассмат ривать как вращающийся круглый диск переменной толщины (рис. 6-5). Масса такого диска выражается с помощью формулы
ат |
|
W (г) = j 2щгН (г) dr, |
(6-35) |
ai
где ai и ат — внутренний и внешний радиусы соответственно; р — плотность; Л (г) — толщина диска на расстоянии г от оси вращения.
Минимум достигается подбором функции h(r). Однако эту функцию нельзя изменять произвольно, так как должны быть вы-
Рис. 6-5. Поперечное сечение диска паровой турбины (а) и его ку сочно-линейная аппроксимация (б).
полнены требования к прочности диска при воздействии сил, |
воз |
|
никающих во время его вращения. |
|
вид: |
Уравнение равновесия сил для вращающегося диска имеет |
||
•jjr (Л®г) + - J - (®Г — °о) + fb>~rh = 0, |
(6-36) |
|
где ог и од — радиальное и тангенциальное давления соответственно,
а <о— частота вращения диска. Это уравнение справедливо в пред положении радиальной симметрии сил в плоскости, ортогональной к оси вращения.
Силы могут быть выражены через величину радиального смеще ния и{г) о помощью следующих соотношений:
Е |
Е |
(6-37) |
«г = |
(er + V<?„); e9 = j _ v*- (ver + е9); |
ft, при а ,< < г ^ л 2>
ft (г) |
/ 6/ - * / - Л |
|
<r ~ aJ -J "Р" а / - . < г < > / . |
|
^ - t + L . -д ,- , |
/ |
|||
|
«/-1 |
/ = 3, |
/я— 1; |
|
|
Ьщ при CCm—i ^ Г^ |
|
^от* |
|
Подставляя формулу (6-45) в критерий оптимальности получаем следующее выражение:
т —2
(6-45)
(6-35),
W— -g- яр | Ьг (—За2, + а22 + яаз + Æ2^3) + J J pj (д/+1 —
|
|
/= з |
--0 /-l) (û/+l + |
+ aj - l) 4 “ bfn (3aaw |
Д2Щ- 1 |
— Л“ш-2 — ат- 1ат-й) |
(6-46) |
|
Таким образом, критерий оптимальности представляется как не линейная функция конечного числа переменных, определяющих гео метрию диска.
Задание разбиения диска фиксированными точками ai, аз, а*, ..., ат и переменной а2 дает возможность перейти к следующей
постановке задачи оптимального проектирования диска. |
|
|
Предположим, что значения bi— b2 и |
bm= b m- l фиксированы. |
|
’Тогда остальные проектируемые параметры |
составляют вектор * = |
|
= (Ь3, Ь\....... 6 т - 2, а2) и размерности т —3. |
|
(6-42) |
Ограничения на геометрию диска являются следствием |
||
и записываются в виде |
|
|
bj>Bu /= 3 , ...» т —2; a i+ e 3< a 2< a 3—е2, |
(6-47) |
|
где В], 62, ез —заданные величины. В векторной форме эти ограни чения могут быть представлены неравенством
|
|
(6-48) |
где /г = (еь ...» Bi, ai+ e 3) и aT,= |
(oo, |
оо, а3—е2). |
Чтобы представить ограничение |
(6-39) |
в соответствии с приня |
тым разбиением, запишем его отдельно для каждого участка. При этом будем предполагать разбиение таким, что изменением h(г) внутри каждого участка можно пренебречь.
Уравнение (6-39) |
для каждого участка разбиения принимает |
||||
более простую форму: |
|
|
|
||
d2a |
1 |
du |
и |
pcû2(l — V3) |
|
dr2 + |
г |
dr |
г* + |
Е |
г = 0» |
что позволяет получить общее решение в виде |
|
||||
|
= |
с,г + |
с, |
ра>*(1— У8] |
|
|
— |
81 |
|
||