книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Э. И. ГРИГОЛЮК, П. П. ЧУЛКОВ

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК

М о с к в а ( М а ш и н о с т р о е н и е *

1 9 7 3

Г82

УДК Д 629.13.011.12 : 534.833

Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., «Машиностроение», 1973, стр. 172.

В книге изложены методы расчета трехслойных конст­ рукций.

Теории оболочек предпосылается общая теория прямых трехслойных стержней. Здесь разбираются те основные зада­ чи, которые в настоящее время разработаны для случая одно­ родных стержней.

Излагается разработанная авторами теория пологих обо­ лочек конечного прогиба, являющаяся обобщением классичес­ кой теории пологих оболочек. Уравнения этой теории исполь­ зованы для определения критических нагрузок и частот соб­ ственных колебаний цилиндрических, сферических, коничес­ ких и торообразных оболочек при различных внешних воздей­ ствиях.

Развивается теория так называемых полубезмоментных цилиндрически* трехслойных оболочек. Приведена теория трехслойных непологих оболочек общего вида при конечных прогибах.

Книга предназначена для инженеров-проектировшиков. Она может быть полезна научным работникам и аспирантам, спе­ циализирующимся в области расчета трехслойных конструкций.

Табл. 1. Ил. 43. Список лит. 30 назв.

Р е ц е н з е н т д-р техн. наук В. В. Васильев

3186 183

183-73

038(01)-73

© Издательство «Машиностроение», 1973 г.

П Р Е Д И С Л О В И Е

Трехслойные конструкции давно нашли применение в инже­ нерном деле. Однако лишь к сороковым — пятидесятым годам относится начало их интенсивного использования в авиации, в строительном деле, в судостроении. Начиная с этого времени бы­ ли поставлены многочисленные эксперименты для выяснения со­ противления трехслойных конструкций различного типа внешним воздействиям, а также разрабатывались эмпирические и анали­ тические методы-расчета конструкций этого рода.

Вполне естественно, что принципиальную роль в разработке теории трехслойных оболочек сыграли исследования по теории и расчету однородных оболочек, попытка использования уравнений трехмерной теории сплошных сред не принесла успеха. Трехслойность конструкции не только вызывает неоднородность структу­ ры оболочки по толщине, но и требует учета работы слоя запол­ нителя при поперечном сдвиге и поперечном сжатии, а также приводит к необходимости в том или ином виде проводить сопря­ жение слоев. Если исключить случай местной потери устойчи­ вости внешних слоев, то оказывается, что, вводя гипотезу о ли­ нейном распределении касательных перемещений по высоте пакета и условие несжимаемости пакета, можно построить раци­ ональную теорию трехслойных тонкостенных конструкций. В от­ личие от гипотезы Кирхгоффа — Лява при этом нормаль к исход­ ной поверхности не остается нормалью к деформированной по­ верхности, а за счет поперечного сдвига заполнителя поворачи­ вается на некоторый угол.

Таким путем удалось построить теорию пологих трехслойных оболочек конечного прогиба, которая, являясь обобщением клас­ сической теории однородных пологих оболочек, позволяет для однородных оболочек ставить естественные граничные условия и получить разрешающую систему уравнений. Следующий шаг состоял в выделении из полученной системы дифференциальных уравнений уравнения второго порядка, которым потом можно пренебрегать при решении конкретных задач. Тем самым пони­ жался порядок системы, подлежащей исследованию. Проведен­ ные в настоящей книге исследования базируются на укороченной системе дифференциальных уравнений. Обоснование возможнос­ ти использования укороченной системы уравнений здесь не пред­ ставлено, но в опубликованных в печати работах оно получено

3

Г л а в а 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

1. ГИПОТЕЗЫ

Всякая теория расчета по необходимости компромиссна, так как, с одной стороны, требуется, чтобы эта теория с нужной пол­ нотой учитывала все существенные стороны работы конструкции, а с другой стороны, приводила ж достаточно простым расчет­ ным схемам и формулам. Построение рациональной теории до­ стигается введением ряда упрощающих гипотез, в некоторых случаях обоснованных анализом уточненных решений и экспери­ ментом, а иногда и путем качественного исследования задачи.

Одним из многочисленных примеров удачной реализации обо­ их требований является теория тонкого однородного стержня, основанная на гипотезе плоских сечений, введенной Якобом Бер­ нулли в 1705 г. Поскольку этот пример представляет для нас осо­ бый интерес, ибо работа трехслойного стержня во многих отно­ шениях подобна работе однородного, остановимся на нем под­ робнее.

Гипотеза Бернулли предполагает, что при изгибе стержня его плоские поперечные сечения, перпендикулярные к центральной оси, в процессе деформации поворачиваются как жесткое целое, оставаясь перпендикулярными к изогнутой центральной оси. Эта гипотеза кинематическая: она позволяет исключить из уравнений поперечную координату, так как с помощью этой гипотезы уста­ навливается закон распределения перемещений по толщине стержня, и поэтому эта гипотеза совершенно не связана со свой­ ствами материала стержня. Интересно отметить, что тот же ре­ зультат мы получим, основываясь на соответствующих предпо­ ложениях относительно свойств материала стержня. Действи­ тельно, представим себе, что материал стержня ортотропен, причем несжимаем в поперечном направлении E z= o o , и явля­ ется абсолютно жестким на сдвиг в плоскости поперечного се­ чения G = oo.

Согласно обобщенному закону Гука для плоского состояния имеем

(1Л)

Здесь е* и sz — относительные деформации в направлении х и “ ах, ог — нормальные напряжения; т — касательное напряжение Ех и Е г— модули Юнга для ортотропного материала; vi и vj — коэффициенты Пуассона; G — модуль сдвига материала; а — угол сдвига.

Устремляя E z и G к бесконечности и полагая V2= 0, найдем,

стержня (прогиб), а иг — продольное перемещение, то два послед­ них равенства дадут зависимости этих перемещений от коорди­ наты г. Из уравнения

~dz

вытекает, что нормальные перемещения не зависят от координа­ ты z

Второе равенство приводит к соотношению между uz и да:

дг dx

разрешая которое относительно иг, получим (и — продольное пе­ ремещение точки центральной оси):

d x

Теперь видно, что полученные выражения для иг и да в точнос­ ти соответствуют картине перемещений согласно гипотезе Бернул­ ли. Этот результат интересен со следующих точек зрения. Он позволяет получать из уравнений, построенных на основе неко­ торой системы гипотез, уравнения, вытекающие из менее общей системы гипотез, и тем самым осуществить проверку новых урав­ нений и оценить погрешность, допускаемую более «грубыми» приближениями. Кроме того, на этом пути* мы формально избав­ ляемся от противоречий между используемыми предположения­ ми и интуитивным представлением о работе конструкции. Из­ вестно, что для получения равенств (1. 2), (1.4), (1.6) гипоте­ зы плоских сечений недостаточно, следует ввести дополнительно предположение о ненадавливаемости продольных волокон. Ма­ тематически оно выглядит так:

В случае поперечного изгиба это равенство неверно и для обос­ нования его допустимости приходится приводить громоздкие

6

рассуждения, основанные на дополнительных допущениях, тре­ бующих, в свою очередь, обоснования. Конечно, предположения относительно свойств материала по существу не устраняют ука­ занные трудности, но зато для принятой модели материала поз­ воляют построить полностью адэкватные уравнения. В этом, по-видимому, заключаются определенные преимущества, и при построении теории трехслойных конструкций будем вводить со­ ответствующие модели материалов.

К идее трехслойного стержня мы приходим следующим об­ разом. Как видно из (1.6), для стержня, изогнутого поперечной нагрузки (ц = 0), нормальное напряжение а х по поперечному сечению распределено линейно с нулевой точкой на центральной оси. Следовательно, при изгибе в полную меру работают толь­ ко крайние волокна сечения и чем ближе к центральной линии расположено волокно, тем меньше его участие в работе. Поэто­ му рациональная конструкция стержня с точки зрения его ра­ боты на изгиб будет такой, когда основная масса жесткого ма­ териала в виде двух слоев (несущих слоев) разнесена на неко­ торое расстояние с помощью тонкой стенки того же материала или когда пространство между жесткими слоями заполнено бо­ лее легким, а следовательно, менее жестким материалом (за­ полнителем), удерживающим слои на этом расстоянии и осу­ ществляющим их совместную работу. Легко понять, что за ис­ ключением случая чистого изгиба совместная работа несущих слоев зависит от способности заполнителя сопротивляться их отчосительному сдвигу.

Действительно, если несущие слои скреплены друг с другом бесконечно жесткими стерженьками, шарнирно прикрепленны­ ми к их внутренним линиям (рис. 1 ), то при изгибе несущие слои работают совершенно самостоятельно, так как ничто не пре­ пятствует свободному повороту их поперечных сечений, поэто­ му каждый из слоев имеет свою нейтральную ось, следователь- ю, такое разнесение не дает требуемого эффекта. Условия заботы несущих слоев коренным образом меняются, когда стер- •кеньки прикрепляются к ним жестко (рис. 2 ), несущие слои шчинают работать совместно, так как с поворотом поперечного сечения слоя поворачивается на тот же угол жестко скреплен- 'ый с ним стержень, в результате для обоих слоев образуется збщая нейтральная линия, расположенная между ними, один лой помимо изгиба растягивается, другой сжимается, на изгиб >аботает сечение в целом! Этот случай реализуется в прокате ;двутавры, швеллеры). Если стерженьки прикреплены к слоям ‘ помощью упруго вращающихся шарниров, то в зависимости >т жесткости шарниров получаем тот или иной промежуточный случай по отношению к разобранным выше. Совокупность скрепсяющих стерженьков представляет собой простейшую дискрет- (ую модель сплошного упругого заполнителя с конечной жестсостью на сдвиг, бесконечно большой жесткостью на попереч-

7

ное сжатие и нулевой жесткостью на продольное растяжение. Заполнители, не воспринимающие продольных напряжений, по традиции, установившейся в литературе, называются легкими заполнителями. Для легкого заполнителя рассматриваемая мо­ дель вытекает и из уравнений равновесия сплошной среды.

Действительно, так как в данном случае о у— (УХу= Оуг= 0 , урав­ нения равновесия имеют вид (рмс. 3)

В случае легкого заполнителя

Охх= 0 ,

поэтому в силу первого уравнения напряжение ахг не зависит от поперечной координаты, а следовательно, и деформация попе­ речного сдвига

пропорциональная вхг, также не зависит от координаты г. Интег­ рируя уравнение (1.9) по z с учетом несжимаемости заполни­ теля в поперечном направлении, получим выражение для про­ дольного перемещения точки заполнителя (рис. 4, 5)

Из этой формулы следует, что для несжимаемого в поперечном направлении легкого заполнителя поперечные сечения, перпен­ дикулярные к центральной оси, в процессе деформации повора­ чиваются как жесткое целое, что и доказывает высказанное ра­ нее предположение.

8

Помимо наглядности для объяснения явлений, происходя­ щих при изгибе составного стержня, рассматриваемая модель подсказывает простейшую кинематическую гипотезу для жест­ кого, т. е. воспринимающего продольные напряжения, заполни­

р а ч и в а ю т с я к а к ж е ­ с т к о е ц е л о е на н е к о т о р ы й у г о л ф. Здесь, в отличие

от гипотезы плоских сечений, мы не требуем, чтобы поперечные сечения в процессе деформации оставались перпендикулярными к изогнутой оси стержня, но, вообще говоря, и не исключаем этого. Это более общая гипотеза, нежели гипотеза Бернулли, но она переходит в последнюю, если жесткость заполнителя на сдвиг неограниченно велика. Только что сформулированную гипотезу в отличие от гипотезы плоских сечений будем называть гипоте-

dw

зой прямых сечений, она позволит учесть поперечный сдвиг, но по-прежнему не позволит учесть упругие свойства заполнителя в поперечном направлении. Влияние последнего фактора сущест­ венно только для определенного круга задач, связанных с мест­ ной потерей устойчивости Несущих слоев, поэтому на этом на­ чальном этапе мы исключим его из рассмотрения. В следующих

9