книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Пусть оболочка свободна оперта по торцам. Определим час­ тоту свободных колебаний вариационным методом. Для этого зададим функции ю, %, F в форме

щей конуса; п — число волн по окружности; а>о, %о, Е0— постоян­ ные; х — новая координата, связанная с г равенством

ЯГ 1

Вариационные уравнения в форме Бубнова таковы:

1

Проводя интегрирование, приходим к следующей форме для определения частот собственных колебаний конической трех­ слойной оболочки:

( 8 . 3 8)

151

Здесь

вой частоте соответствует одна полуволна в направлении обра­ зующей (т = 1).

Г л а в а 9

УСТОЙЧИВОСТЬ И ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

1. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

Система линеаризированных уравнений устойчивости сфери­ ческой трехслойной оболочки, нагруженной внешним гидроста­ тическим давлением интенсивности q, имеет вид

152

где R — радиус срединной поверхности сферы; V 2— оператор Лапласа в сферической или полярной системе координат; пос­ ледняя вводится при рассмотрении пологого сферического сег­ мента.

Покажем, что значение критического давления не зависит от краевых условий для функции тангенциальных усилий F.

Действительно, выполняя операцию Лапласа над уравнени­ ем (9.2) и используя уравнение (9.1), получим уравнение толь­

Введя произвольную гармоническую функцию Д запишем урав­ нение (9.3) в виде системы двух уравнений

Если для функций % можно сформулировать три независимых от F краевых условия, а это так в подавляющем большинстве случаев, то функцию / можно считать тождественно равной ну­ лю. Для доказательства достаточно сформулировать эти крае­ вые условия относительно хь тогда вследствие единственности

153

Найдем критическое давление для полной сферической обо­ лочки. Пусть

Из (9 .8) находим выражение интенсивности (внешнего давления q в зависимости от параметра Я2

перепишем (9. '10) в форме, полностью совпадающей с выраже­ нием для параметра осевой силы цилиндрической оболочки ра­ диуса R

1 + km-i

Повторяя рассуждения разд. 2 гл. 3, получим следующие зна­ чения параметра критического давления:

при условиях конечности решения в полюсах сферической сис­ темы координат, вследствие чего формулы (9.13) — (9.14) будут давать несколько заниженные значения критического давления. Уравнение (9. 15) будет иметь нетривиальное решение при зна­ чениях mi, удовлетворяющих следующему условию:

из этого уравнения может быть определен параметр волнообра­ зования т ( т — целое положительное число).

1 5 4

Задача устойчивости пологого сферического сегмента с радиу­ сом основания а, свободно опертого по контуру, решается ана­ логично, так как краевые условия для х приближенно можно принять в форме

где J n(x) — функция Бесселя первого рода п-го порядка; п — число волн по окружности основания сегмента, образовавшихся в результате потери устойчивости. Числа Ха и п определяются так, чтобы параметр X2 был (в зависимости от характеристик оболочки) как можно ближе к одной из величин

нию сегмента. Приведенное решение, однако, может быть ис­

уравнение с учетом действительных условий закрепления.

2. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА

Полагая в (9.2) <7=0 и добавляя поперечную инерционную силу, приходим к уравнениям малых поперечных колебаний трехслойной сферической оболочки;

(9-20)

(9.21)

Полагая, что функции F и % являются гармоническими функци­ ями времени

F = F 0 cos u>t;

(9.22)

X =X ocos<

155

получим систему уравнений для определения собственных час­ тот

(9.23)

И здесь легко доказывается, что собственная частота не за­ висит от вида краевых условий для Fo и определяется только из уравнения

Однако на первую собственную частоту вид краевых усло­ вий функции хо влияет более существенно, чем на величину кри­ тического давления, так как ей соответствует наименьший ко­ рень характеристического уравнения.

Действительно, пусть

из уравнения (9. 25) получим

(9.27)

отсюда следует, что наименьшему значению со соответствует наименьшее значение к.

Положим

(9.28)

после подстановки (9. 28) в уравнение (9. 25) приходим к куби­ ческому уравнению для параметра z

Здесь

(9.30)

Используя теорему Виета, имеем соотношения

(9.31)

156

Здесь z u z?, гА— корни уравнения (9.29). Пусть z x действитель­ ный отрицательный корень

Остается выразить z2 и z3 через К2, они являютод корнями квад­ ратного уравнения

Если изгибной жесткостью несущих слоев можно пренебречь (у<С 1), а при определении низших частот это допустимо в по­ давляющем большинстве случаев, то следует положить т)=оо.

Теперь для Хо в случае замкнутого в вершине сегмента имеем общее решение

Здесь /„ (х), /„ (х) — соответственно функция Бесселя и моди­ фицированная функция Бесселя первого рода порядка п; г — полярная координата (0< г < а ) ; п — число волн по окружности.

Если приближенно принять для свободно опертого сегмента краевые условия в виде

157

а — радиус основания сегмента.

При этом частота свободных колебаний определяется по фор муле

Используя общее решение (9.37), получаем характеристическое уравнение

158

Г л а в а 10

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ

1.ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Пусть а — радиус поперечного сечения оболочки, R — радиус большого круга. Вводя безразмерный параметр

1cos 0 — Т)

Вдокритическом безмоментном состоянии в оболочке возник­ нут тангенциальные усилия Nt и N2, удовлетворяющие уравне­ ниям

(q — интенсивность гидростатического давления).

159

Используя условие периодичности, из этих уравнений можем получить значения докритических тангенциальных усилий

2 / 1 —-,2

( 10. 6)

т ^ О + ^ т ^ ) :

Обозначая гю (<р, 0) — прогиб оболочки в момент потери устой­ чивости, находим выражения для изменения кривизн

Здесь V s2— оператор следующей структуры:

9 ) = F (0) cos «у

160