книги / Моделирование систем управления
..pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Т.С. Леготкина, С.А. Данилова
МОДЕЛИРОВАНИЕ
СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
Рецензенты:
президент Пермского регионального общественного отделения «Западно-Уральская академия информациологии» общественной организации «Международная академия информатизации»
академик В.В. Белоусое; канд. техн. наук, доцент Ю.Н. Хижняков
(Пермский государственный технический университет)
|
Леготкнна, Т.С. |
ЛЗЗ |
Моделирование систем управления: учеб, пособие / Т.С. Ле- |
|
готкина, С.А. Данилова. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, |
|
2008.-155 с. |
|
ISBN 978-5-88151-672-7 |
|
Представлен материал основных тем дисциплины «Моделирование сис |
|
тем управления». Рассмотрены основные понятия теории моделирования, вклю |
|
чающей теорию подобия, построение и анализ моделей линейных и нелиней |
|
ных систем, а также процессов, описываемых обыкновенными дифференциаль |
|
ными уравнениями. Рассмотрены вопросы имитационного моделирования сис |
|
тем. Для облегчения восприятия материала в каждом разделе учебного пособия |
|
приведены примеры. |
|
Предназначено для студентов специальности 210100 «Управление и ин |
|
форматика в технических системах», а также студентов других специальностей, |
|
изучающих аналогичные вопросы. |
|
УДК 519.24 |
|
©ГОУВПО |
|
«Пермский государственный |
ISBN 978-5-88151-672-7 |
технический университет», 2008 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................... |
6 |
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ |
|
МОДЕЛИРОВАНИЯ............................................................................................... |
8 |
2. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ............................................ |
11 |
2.1. Условное моделирование............................................................................ |
11 |
2.2. Аналогичное моделирование..................................................................... |
15 |
2.3. Использование метода аналогий при решении технических задач..... |
19 |
2.3.1. Исследование устойчивости систем автоматического |
|
регулирования методом аналогии............................................................. |
19 |
2.3.2. Использование метода аналогий для определения суммы |
|
бесконечного ряда......................................................................................... |
20 |
3. ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ................................................ |
23 |
3.1. Виды подобия................................................................................................ |
24 |
3.2. Основные положения теории подобия...................................................... |
25 |
3.3. Первая теорема подобия.............................................................................. |
28 |
3.3.1. Определение критериев подобия по уравнениям исследуемых |
|
процессов........................................................................................................ |
29 |
3.3.2. Определение критериев подобия процессов, описываемых |
|
уравнениями, которые содержат только однородные функции........... |
29 |
3.3.3. Определение критериев подобия процессов, описываемых |
|
уравнениями, которые содержат неоднородные функции.................... |
33 |
3.3.4. Преобразование критериев подобия и критериальное описание |
|
подобных процессов..................................................................................... |
34 |
3.3.5. Методика определения критериев подобия способом |
|
интегральных аналогов......................................................................... |
34 |
3.4. Вторая теорема подобия.............................................................................. |
35 |
3.4.1. Методика определения критериев подобия на основе анализа |
|
размерностей.................................................................................................. |
35 |
3.4.2. Метод Релея......................................................................................... |
42 |
3.4.3. Определение критериев подобия применением системы |
|
относительных единиц................................................................................. |
43 |
3.5. Третья теорема подобия................................................................................ |
45 |
3.5.1. Обоснование третьей теоремы......................................................... |
46 |
3.5.2. Автомодельность................................................................................ |
50 |
3.6. Дополнительные положения о подобии и их применение при |
|
установлении условий подобия.......................................................................... |
51 |
3.6.1. Первое дополнительное положение................................................ |
51 |
3.6.2. Второе дополнительное положение................................................. |
53 |
3.6.3. Третье дополнительное положение о подобии анизотропных |
|
или неоднородных систем................................................................ |
57 |
3.6.4. Четвертое дополнительное положение о подобии....................... |
58 |
3.6.5. Пятое дополнительное положение о подобии при |
|
вероятностном характере процессов.......................................................... |
58 |
3.7. Достоверность моделирования................................................................... |
59 |
3.7.1. Точность воспроизведения критериев подобия............................. |
60 |
3.7.2. Погрешности воспроизведения отдельных параметров, |
|
входящих в критерии подобия.................................................................... |
62 |
3.7.3. Точность математического моделирования................................... |
62 |
3.7.4. Приближенное соответствие............................................................ |
63 |
3.8. Примеры решения задач.............................................................................. |
65 |
3.9. Задачи для самостоятельного решения...................................................... |
75 |
4. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ |
|
МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ............................................................................................. |
78 |
4.1. Линейные регрессионные модели для одной переменной управления |
79 |
4.1.1. Линейная регрессионная модель..................................................... |
79 |
4.1.2. Преобразование линейной регрессионной модели путем |
|
привязки к средним значениям................................................................... |
80 |
4.1.3. Достоверность регрессионных моделей......................................... |
80 |
4.2. Модели множественной линейной регрессии.......................................... |
82 |
4.3. Модели множественной регрессии более высокого порядка................ |
82 |
4.4. Гармонический анализ................................................................................. |
84 |
4.5. Нелинейные модели..................................................................................... |
87 |
4.5.1. Обзор методов нелинейного оценивания....................................... |
88 |
4.5.2. Метод прямого поиска...................................................................... |
89 |
4.5.3. Симплексный метод........................................................................... |
90 |
4.5.4. Методы с производными. Метод Гаусса-Зайделя........................ |
92 |
4.5.5. Метод линеаризации целевой функции.......................................... |
99 |
4.6. Оценивание процессов, представленных обыкновенными |
|
дифференциальными уравнениями.................................................................. |
100 |
4.6.1. Ненаблюдаемая ошибка, добавляемая к производным................ |
101 |
4.6.2. Оценивание методом наименьших квадратов............................... |
102 |
4.6.3. Повторное интегрирование экспериментальных данных........... |
103 |
4.6.4. Оценивание методом максимального правдоподобия................. |
103 |
4.6.5. Применение методов оценивания................................................... |
106 |
4.6.6. Выводы и сравнение методов.......................................................... |
107 |
5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.............. |
108 |
5.1. Основные соотношения и теоремы........................................................... |
109 |
5.1.1. Неравенство Чебышева.................................................................... |
109 |
5.1.2. Обобщённая теорема Чебышева...................................................... |
110 |
5.1.3. Центральная предельная теорема.................................................... |
110 |
5.2. Формирование случайных чисел............................................................... |
110 |
5.2.1. Основные свойства равномерного распределения....................... |
111 |
5.2.2. Генераторы случайных чисел.......................................................... |
112 |
5.2.3. Псевдослучайные числа.................................................................... |
112 |
5.2.4. Метод сравнений (метод вычетов).................................................. |
114 |
5.2.5. Контроль качества последовательности случайных чисел.......... |
114 |
5.3. Преобразование случайных величин........................................................ |
116. |
5.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины..................... |
116 |
5.3.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины...................... |
117 |
5.3.3. Метод Неймана для разыгрывания непрерывной случайной |
|
величины......................................................................................................... |
119 |
5.3.4. Приближённые методы получения случайных чисел |
|
с заданным законом распределения.......................................................... |
120 |
5.3.5. Моделирование приближённого способа преобразования |
|
случайных чисел на основе кусочной аппроксимации законов |
|
распределения............................................................................................... |
121 |
5.4. Имитационное моделирование................................................................... |
125 |
5.4.1. Сущность имитационного моделирования.................................... |
125 |
5.4.2. Цифровое моделирование больших систем.................................. |
125 |
5.4.3. Примеры имитационных моделей................................................... |
127 |
5.4.4. Условия использования имитационных моделей......................... |
132 |
5.4.5. Недостатки имитационных моделей............................................... |
133 |
5.4.6. Технологические этапы создания и использования |
|
имитационных моделей............................................................................... |
133 |
5.5. Оценка количества реализаций» необходимого для обеспечения |
|
заданной точности............................................................................................... |
134 |
5.5.1. Оценка абсолютной точности решения задачи............................. |
134 |
5.5.2. Оценка относительной точности решения задачи........................ |
138 |
5.5.3. Моделирование эргодических процессов...................................... |
139 |
6.ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ. СОВРЕМЕННЫЕ СРЕДСТВА
МОДЕЛИРОВАНИЯ............................................................................................... |
142 |
6.1. Принципы и правила моделирования....................................................... |
142 |
6.1.1. Основные принципы.......................................................................... |
142 |
6.1.2. Основные правила..................................................................... |
143 |
6.2. Последовательное упрощение и последовательное усложнение |
|
моделей................................................................................................................... |
144 |
6.2.1. Существенные и несущественные различия между моделями... |
145 |
6.2,1.0 целесообразной степени усложнения модели на каждом |
|
шаге моделирования..................................................................................... |
146 |
6.3. Современные средства моделирования..................................................... |
146 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... |
153 |
ВВЕДЕНИЕ
Одна из проблем современной науки - разработать и внедрить в прак тику методы исследования динамики функционирования систем управления. При проектировании и создании сложных систем управления, их испытаниях
иэксплуатации возникают задачи, требующие определения количественных
икачественных закономерностей, свойственных рассматриваемым системам.
Эксперимент, становящийся все более сложным, требует специальных приемов постановки и обобщения результатов. Отсюда появляется необхо димость в создании модели и проведении моделирования как основы интер претации полученных фактов. При решении практических задач под модели рованием понимается изучение моделируемого объекта (оригинала), вклю чающее в себя построение модели, изучение ее и перенос полученных сведе ний на оригинал. Теория подобия и моделирования физических, экономиче ских и других явлений показывает, как в каждом явлении найти наиболее общие черты, как планировать и ставить эксперименты и как обрабатывать данные, полученные в ходе любого эксперимента.
В последнее время интенсивно развиваются методы исследования сложных систем, связанные с теорией специальных видов случайных процес сов, алгоритмическим описанием процессов функционирования систем управления и т.д. Такой подход позволяет во многих случаях получить урав нения характеристик системы и провести исследование. Наряду с аналитиче скими методами широкое распространение получают разнообразные виды моделирования, в том числе метод статистического (имитационного) моде лирования.
Сущность статистического моделирования сводится к синтезу некото рого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение элементов систе мы с учетом случайных возмущающих факторов. Значительную роль метод статистического моделирования играет при решении задач, связанных с ав томатизацией управления. Методом статистического моделирования может быть оценена эффективность различных принципов управления, вариантов построения управляющих систем и т.д.
Однако метод статистического моделирования, как любой численный метод, обладает существенным недостатком: решение всегда носит частный характер, поэтому для анализа системы, определения точностных характери стик приходится многократно моделировать процесс ее функционирования, варьируя исходные данные задачи.
Всоответствии с изложенным и построено настоящее учебное пособие.
Впособии можно выделить шесть разделов.
Впервом и втором разделах рассмотрены основные понятия и опреде ления теории моделирования, дана классификация моделей, определены цели
изадачи исследования математических моделей.
Втретьем разделе рассмотрены основные теоремы теории подобия, ал горитмы решения задач по определению критериев подобия для различных
систем и процессов, проведен анализ точности воспроизведения критериев подобия.
Вчетвертом разделе приведены методы моделирования систем управ ления. Рассмотрены методы оценивания параметров и точностных характе ристик, линейных и нелинейных процессов, процессов, описываемых систе мами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пятый раздел посвящен методам имитационного моделирования, мето дам моделирования различных законов распределения, рассмотрены способы оценки точности и достоверности результатов моделирования.
Вшестом разделе проведен обзор современных методов и средств моде лирования.
Чтобы облегчить усвоение достаточно сложного материала, в учебном пособии приводятся примеры задач с решениями.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Любые два объекта 0\ и 0 2, являющиеся предметами человеческой деятельности, всегда в чем-то сходны и в чем-то различны. При переходе от одного объекта к другому может иметь место существенное сходство и не существенное различие или, наоборот, существенное различие и несущест венное сходство.
Замещение объекта 0\ объектом 0 2 для изучения или фиксации важ нейших свойств 0\ с помощью Ог называется моделированием объекта 0\ объектом Оь
Замещаемый объект (0\) называется оригиналом (натурой), замещаю щий - моделью {02), позволяющей судить или фиксировать некоторые свой ства оригинала.
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объ ект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя неко торые важные для данного исследования типичные его черты (например, мо ре и картина-море, здание из кубиков и настоящее здание и т.п.).
С незапамятных времен при изучении сложных процессов, систем и т.п. человек применяет модели. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследователя, нежели реальный объект. Более того, некото рые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: не допустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принципиально не осуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы и т.п.
Другое важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта, поскольку сама модель отражает лишь некоторые основ ные характеристики объекта.
Модель позволяет также научиться правильно управлять объектом, ис пользуя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспери менты в этих целях на объекте зачастую вредны или вообще невозможны в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т.п.).
Если объект исследования обладает динамическими (зависящими от времени) характеристиками, особое значение приобретает задача прогнози рования динамики состояния такого объекта под действием различных фак торов. При ее решении использование модели также может' оказать неоцени мую помощь.
Таким образом, можно сказать, что модель нужна для того, чтобы по лучить следующие возможности:
-понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основ ные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;
-научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
- прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации задан ных способов и форм воздействия на объект.
Хорошо построенная модель, как правило, обладает замечательным свойством: ее изучение дает некоторые новые знания об оригинале.
Процесс построения модели называется моделированием. Примеры мо делирования можно объединить в две большие группы: материальное (пред метное) и идеальное моделирование. К материальным относятся такие спосо бы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта.
Основными разновидностями материального моделирования являются
физическое и аналогичное (аналоговое).
Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, до пускающая исследование (как правило, в лабораторных условиях). В после
дующем свойства изучаемых процессов переносятся |
с модели на объект |
|
на основе теории подобия. |
|
|
Примеры физических |
моделей: в астрономии - |
планетарий, в архи |
тектуре - макеты зданий, в |
самолетостроении - модели летательных аппа |
|
ратов и т.п. |
|
|
Аналогичное моделирование основано на аналогии процессов и явле ний, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т.п.). Простой пример - изучение механических колебаний с по мощью электрической схемы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями.
В материальном моделировании обоих типов модели являлись матери альным отражением исходного объекта и были связаны с ними своими гео метрическими, физическими и другими характеристиками, а процесс иссле
дования был |
связан с материальным воздействием на модель, т.е. состоял |
в натурном |
эксперименте. Таким образом, предметное моделирование |
по своей природе является экспериментальным методом.
Идеальное моделирование принципиально отличается от предметного моделирования и основано на аналогии идеальной, мыслимой. Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеально го моделирования: интуитивное и знаковое.
Под интуитивным понимают моделирование, основанное на интуи тивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формали зации. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться интуитивной моделью окружающего мира.
Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моде лей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, формулы и т,д., а также включающее совокупность законов, по которым можно опери ровать с выбранными знаковыми образами и их элементами.
Важнейший вид знакового моделирования - математическое модели рование, при котором исследование объекта осуществляется на языке мате матики с использованием тех или иных математических методов.
После построения модели ее следует проверить. В действительности адекватность модели до некоторой степени проверяется в ходе постановки задачи. Уравнения или другие математические соотношения, сформулиро ванные в модели, постоянно сопоставляются с исходной ситуацией. Возьмем, к примеру, движение маятника, образованного тяжелым грузом, подвешен ным на конце нити. Математическое уравнение движения маятника можно проверить, сравнивая физические размерности величин, входящих в это уравнение.
Таким образом, решение даже одной и той же задачи зависит от крите риев, выдвинутых автором модели, в такой же степени, как и от установления физических или любых других характеристик исходной ситуации.
Математическая модель представляет собой упрощение реальной си туации. Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные осо бенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Напри мер, проводится сравнение порядка различных величин, фигурирующих в модели.
Допустим, процесс описывается уравнением
d2x |
,dx |
Л |
а— ^-+ Ь— +сх =0 |
||
dt2 |
dt |
|
и замечено, что член сх значительно меньше члена Ъ— . dt
В таком случае можно упростить решение (отбросив с х \ и оно будет правильно отражать ситуацию.
Важнейшее решение, которое часто принимается в самом начале про цесса моделирования, касается природы рассматриваемых математических переменных.
Они делятся на два класса. В один входят известные характеристики, т.е. величины, поддающиеся (по крайней мере, теоретически) точному изме рению и управлению; они называются детерминированными переменными. В другой класс входят неизвестные характеристики, т.е. величины, которые никогда не могут быть измерены точно и имеют случайный характер; они на зываются стохастическими переменными. Модель, содержащая стохастиче ские переменные, должна описываться математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики; детерминированные пере менные часто, но не всегда, требуют привлечения обычного математиче ского анализа.
Таким образом, модель начинается с самого простого и развивается, принимая более сложные очертания по мере того, как достигается более глу бокое понимание явления.