книги / Моделирование систем управления

Эйлер испытал свой метод и на других примерах. Ему удалось от­ крыть своим методом сумму важного ряда, принадлежащего Лейбницу:

Оно имеет корни —,---- ,— ,------,.... Каждый из этих корней является двои-

2 2 2 2

ным корнем (кривая у = sin* не пересекает при этих абсциссах прямую у = 1, а касается ее (рис. 2.5). Производная левой части при этих значениях X обра­

щается в нуль).

Учитывая, что корни вспомога­ тельного уравнения двойные, разло­ жить это уравнение на линейные мно­ жители и воспользоваться соотноше­ нием, связывающим левую и правую части при одной и той же степени х.

Доказать, что сумма ряда Лейбница равна я/4.

3. ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Понятие подобия первоначально заимствовано из геометрии. Но в дальнейшем оно получило более широкий смысл и стало определяться как взаимно однозначное соответствие между объектами.

При практическом инженерном применении предполагается, что функ­ ции перехода от параметров, характеризующих (в том или ином смысле) один из объектов, к параметрам, характеризующим другой объект, известны. Математические описания, если они имеются, могут быть сделаны тождест­ венными.

Содержание понятия геометрического подобия в простейшем случае состоит в следующем: треугольники (а также многоугольники с одинаковым числом сторон) подобны, если у них соответственные углы равны и сходст­ венные стороны пропорциональны:

Подобие, таким образом, означает существование определенных мас­ штабных соотношений для параметров сходственных элементов. Масштаб­ ные коэффициенты могут быть также названы коэффициентами подобия.

Геометрическое подобие может существовать не только в двухмерном пространстве, но и в пространствах большей размерности. Геометрическое подобие означает, что все пространственные координаты первого объекта пропорциональны пространственным координатам второго объекта, т.е. должны выполняться соотношения:

тельных объектов.

Дальнейшим развитием геометрического подобия является понятие аффинного подобия, при котором допускается неравенство масштабов по от­ дельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры как бы деформируются: круг превращается в эллипс, параллелепипед с неравными ребрами - в куб и т.д. (тх ФтуФ т2).

При этом возникает необходимость введения специальных преобра­ зующих (обычно нелинейных) функций, устанавливающих закономерности аффинного преобразования на плоскости или в пространстве.

Понятие подобия физических процессов (объектов) является развитием

рактеризуемый сходственными с (р0 параметрами.

Если при этом все сходственные параметры пропорциональны, т.е.

если

то процессы фо и фо подобны.

Однако не все масштабные коэффициенты физического процесса могут принимать независимые значения вследствие того, что взаимозависимы оп­ ределенные значения параметров, характеризующие конкретный физический процесс.

Обобщенные характеристики, являющиеся функциями групп зависи­ мых и независимых параметров, называются критериями подобия. Критерии подобия принимают одинаковые значения для всех подобных процессов в сходственных точках пространства параметров.

Пропорциональность параметров - частный случай подобия физиче­ ских процессов. Соответствие между сходственными величинами может ус­ танавливаться и при переменных масштабах (например, зависящих от какоголибо параметра процесса) - это будут особые виды подобия: нелинейное, функциональное и т.д.

3.1. Виды подобия

Дифференциация видов подобия осуществляется, главным образом, по двум признакам:

1.По степени соответствия параметров оригинала и модели.

2.По адекватности физической природы.

По степени соответствия параметров различают абсолютное подобие

и практическое (неабсолютное) подобие.

По адекватности физической природы различают математическое по­ добие и физическое подобие (механическое, тепловое, электрическое).

Абсолютное подобие характеризуется тем, что в сходственные момен­ ты времени в сходственных точках пространства параметры Pj процессов в одной системе находятся в определенном соответствии со сходственными параметрами Rj в другой системе:

Л—

Абсолютное подобие - абстрактное понятие.

Практическое (неабсолютное) подобие может быть полным, неполным и приближенным.

Полное подобие - это подобие протекания во времени и в пространстве только тех процессов, которые существенны для данного исследования и с достаточной полнотой характеризуют изучаемое явление. Например, мо­ гут быть подобны электромеханические процессы и неподобны тепловые процессы, т.к. они не влияют на подобие исследуемых электромеханических явлений.

ходят интересующие явления. Каждое явление состоит из множества процес­ сов. Однако в изучаемом явлении всегда можно выделить практически неза­ висимые процессы.

Исходным при описании физического процесса является дифференци­ альное уравнение, отражающее главные информационные свойства объекта. Успех составления таких уравнений, правильное и достаточно простое отра­ жение в них главных свойств реального процесса почти полностью зависят от знаний и способностей исследователя.

Параметры процесса и системы, входящие в состав уравнений, могут принимать различные значения, каждое из которых отвечает какому-то еди­ ничному процессу. Отсюда следует, что отдельное дифференциальное урав­ нение (система) является математической моделью класса процессов. Под классом понимается вся совокупность процессов, характеризуемых их оди­ наковым внутренним механизмом.

Переход от класса явлений к единичному явлению осуществляется присоединением к дифференциальному уравнению условий однозначности (используются граничные условия).

Основные положения теории подобия (теоремы подобия и дополни­ тельные положения к ним) определяют свойства подобных объектов и указы­ вают требования, при удовлетворении которых один из объектов может рас­ сматриваться как модель (или оригинал) по отношению к остальным.

Основной характеристикой подобных объектов являются критерии по­ добия, с помощью которых устанавливаются закономерности соответствия модели и оригинала.

Для примера рассмотрим процессы, протекающие в ЛС-цепи, включен­ ной на постоянное напряжение Е. Для ЛС-цепи составим уравнение:

(

Все члены любого уравнения, описывающего какой-либо физический процесс, всегда имеют одинаковую размерность (правило Фурье), и поэтому уравнение (3.1) можно привести к безразмерному виду:

RCdUç

п\ +1 - п'2 = 0.

При рассмотрении двух подобных процессов Ulc(t) и U2C(t) пропор­

циональность между параметрами должна быть справедлива и для «точеч­ ных» значений параметров, и для их изменений:

Выражения для п\ и n'2, имеющие вид безразмерных степенных ком­ плексов параметров, называются критериями подобия. Критерии подобия численно одинаковы для сходственных точек подобных процессов и имеют вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих процесс.

Способ определения критериев подобия по известному математиче­ скому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду назы­ вается правилом интегральных аналогов (при этом символы дифференциро­ вания и интегрирования в математическом описании опускаются).

Существуют две системы критериев подобия, полученных из диффе­ ренциального уравнения (3.1) и из решения дифференциального уравнения (3.2), но они идентичны, т.е. имеют одинаковый физический смысл.

Критерии подобия можно получить и в том случае, когда неизвестно математическое описание процесса. Это положение доказано для частного и общего случаев.

Пусть имеется зависимость, полученная из эксперимента или расчета,

Тогда зависимость в общем случае можно представить как

....*„-*) = О,

где 7С|, 7С2, ...» я т_* - критерии подобия.

Для определения критериев подобия в данном случае применяется ме­ тод анализа размерностей физических величин PJt определяющих характер процесса.

Возможность определения критериев подобия в случае, когда матема­ тическое описание процесса неизвестно, дает предпосылки для представле­ ния данных эксперимента в обобщенной форме и распространения результа­ тов опыта на группу или класс подобных процессов.

Таким образом, для обеспечения эффективности экспериментальных исследований эти исследования нужно организовать так, чтобы можно было определить критерии подобия. Это позволит, проведя ограниченное число

экспериментов, дать оценку хода процесса при разнообразных сочетаниях параметров.

Рассмотренные положения относятся к случаю заведомо подобных процессов. В связи с этим возникает вопрос, как определить подобие или специально обеспечить его, т.е. вопрос об условиях не только необходимых, но и достаточных для существования подобия.

Необходимые и достаточные условия систематизируются в виде пер­ вой, второй и третьей теорем о подобии.

Первая теорема о подобии, или теорема Ньютона-Бертрана. Явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, матема­ тически и т.д.), имеют определенные сочетания параметров для подобных явлений.

Вторая теорема о подобии, или я-теорема (теорема Букингема). Вся­ кое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено функционально полной зависимо­ стью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Вторая теорема устанавливает возможность представления интеграла дифференциального уравнения не как функции параметров процесса и сис­ темы, а как функции соответствующим образом построенных безразмерных величин - критериев подобия.

Третья теорема подобия. Теорема Кирпичева-Гукмана. Необходимы­ ми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорцио­ нальность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений.

Дополнительные положения теории подобия. Эти положения распро­ страняют основные теоремы подобия на системы сложные, системы с нели­ нейными или переменными параметрами, анизотропные системы (с различ­ ными свойствами по различным координатам) и системы, заданные вероят­ ностно-статистическими характеристиками.

Этими же положениями охватываются геометрически неподобные сис­ темы, а также системы, для которых подобие интерпретируется шире, чем постоянство масштабов в сходственных точках пространства параметров в сходственные моменты времени.

3.3. Первая теорема подобия

Теорема утверждает, что для явлений (объектов, процессов), подобных в том или ином смысле, существуют одинаковые критерии подобия - иден­ тичные по форме алгебраической записи и численно равные безразмерные степенные комплексы определенных групп физических факторов, характери­ зующих эти явления.