книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

ИНСТИТУТ М ЕХАН И КИ СПЛОШ НЫ Х СРЕД

Ю.В.СОКОЛКИН, А.А.ТАШКИНОВ

Механика

деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

Ответственный редактор

член-корреспондент АН СССР

А. А. ПОЗДЕЕВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

МОСКВА 1984

Исследуются особенности поведения структурно неоднородных материалов и конструкций из них при действии статических нагрузок. Построены модели и рассмотрены постановки и ме­ тоды решения стохастических краевых задач механики дефор­ мирования и разрушения. Получены новые результаты по прогнозированию макросвойств и расчету микронапряжений и микродеформаций для сред со случайной и регулярной струк­ турой, изучению связи процессов микро- и макроразрушения. Приведены экспериментальные данные.

Для научных и инженерно-технических работников в обла­ сти механики. Ил. 42. Табл. 4. Библиогр. 164 назв.

Рецензенты:

В. Н. ИВАНОВ, Н. Н. ЯКЕНЕНКО

Предисловие

На протяжении всей истории развития механики деформируе­ мого твердого тела одной из основных гипотез, составляющих ба­ зис этой науки, являлась гипотеза об однородности сплошной сре­ ды. Феноменологический подход к изучению деформирования и разрушения материалов и конструкций, с одной стороны, позво­ ляет применить математические методы теории упругости, пластич­ ности, термовязкоупругости, а с другой стороны, во многом удовлетворяет потребности практической конструкторской деятель­ ности. Обобщение большого объема накопленных эксперименталь­ ных данных, связанных с испытанием традиционных материалов при различных условиях нагружения, а также развитие механики разрушения привели к уточнению известных и построению новых феноменологических критериев прочности, используемых при проектировании сложных и ответственных конструкций во всех отраслях техники.

Однако хорошо известно, что реальные материалы можно рас­ сматривать как однородные лишь условно, с различной степенью идеализации. Металлы и их сплавы, древесина и стекло, полимеры и керамика имеют неоднородную структуру. Элементами струк­ туры могут быть зерна в поликристаллах, волокна в древесине,

влекают композиционные материалы, составленные из различных компонентов, существенно отличающихся по своим свойствам. Причем именно композиты считаются наиболее характерными и перспективными представителями класса структурно неоднород­ ных (или микронеоднородных) материалов.

Для того чтобы создавать материалы с заранее заданным ком­ плексом свойств и рассчитывать конструкции из таких материалов, необходимо развивать соответствующие теоретические знания, опирающиеся на механику однородных тел и позволяющие явным образом учитывать структурную неоднородность.

В данной работе проведено теоретическое исследование процес­ сов деформирования и разрушения структурно неоднородных тел при статических нагрузках в рамках структурно-феноменологи­ ческого подхода. Особенность этого подхода заключается в том, что физико-механические свойства элементов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических урав­ нений и критериев, а макроскопические деформационные (упру­ гие, термоупругие, упругопластические) и прочностные свойства вычисляются путем осреднения по элементарному макрообъему. Привлечение вероятностных представлений и аппарата теории

3

Г Л А В А 1

Структурно неоднородная среда.

Модели и ограничения

1.1.Современное состояние вопросов исследования

Первые работы в области механики структурно неоднородных сред относятся к концу двадцатых годов нашего столетия, когда Фойгт [161] и Рейсс [155] предложили вычислять соответственно эффективные модули упругости и податливости микронеоднородных материалов по правилу механического смешивания. В 1946 г. И. М. Лифшиц и Л. Н. Розенцвейг [57] предложили метод расчета макросвойств поликристаллов на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости. Впоследствии этот метод получил развитие в работах В. А. Ломакина, Т. Д. Шермергора, С. Д. Вол­ кова, Л. П. Хорошуна и их сотрудников, а также в работах М. Берана, Е. Кренера,. Дж. Сендецки и др. Полученные здесь результаты по прогнозированию эффективных свойств среды с разупорядоченной структурой обобщены в монографиях [23, 49, 60, 64, 122, 127]. Кроме того, исследование деформирования поликри­ сталлов и композиционных материалов со случайной структурой

3. Хашина, С. Штрикмана, Б. Розена [118, 138— 140], Р. Хилла [119, 120], а впоследствии С. Айзиковича и М. Арона [125], Р. Йеха [164] и других разрабатывается подход, связанный с применением вариационных методов для вычисления границ эффективных мо­ дулей гранулированных и волокнистых композитов. Для уточне­ ния этих границ широкое распространение получили различные упрощенные модели структурно неоднородных сред [49, 119, 128, 158], не учитывающие в полной мере взаимодействия между эле­ ментами структуры, но позволяющие получить достаточно простые аналитические выражения для макромодулей. Более перспектив­ ным в этом направлении может оказаться применение метода самосогласования [43, 140]. Интересно, что вилки Хашина—Штрик­ мана для эффективных модулей и решение, соответствующее мето­ ду самосогласования, можно получить с помощью обобщенного сингулярного приближения теории случайных функций [122, 134, 149].

Задачи механики структурно неоднородных сред часто сопря­ жены с проблемой взаимодействия многих тел. Изучению взаимо-

5

действия элементов структуры при деформировании среды посвя­ щены работы [16, 18, 55, 129, 130, 162].

Один из главных недостатков вариационных методов и теории случайных функций механики структурно неоднородных сред за­ ключается в том, что в рамках этих подходов, как правило, не удает­ ся рассматривать такие эффекты, как геометрическая форма эле­ ментов структуры и неоднородность полей деформирования в каж­ дом из структурных элементов. Поэтому актуальными остаются работы, в которых объектом исследования являются среды с ре­ гулярной структурой. В 1975 г. Н. С. Бахвалов предложил метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирую­ щими коэффициентами [6], который оказался очень эффективным в механике композитов. Этот метод успешно развивается в работах Б. Е. Победри и его учеников [26, 82, 83 и др.] для решения крае­ вых задач теории упругости и вязкоупругости композиционных ма­ териалов с регулярной структурой, а также в работах автора метода для периодических сред со сложными свойствами [7, 8]. Применение метода для осреднения случайных операторов рас­ смотрено в работе [47].

При решении периодических задач теории упругости неодно­ родных сред широкое распространение получили и методы, осно­ ванные на комплексном представлении компонент вектора пере­ мещений и тензора напряжений (например, [28, 114]). Известны и другие методы решения таких задач [29, 143, 160].

Достигнутые в линейной теории упругости результаты по прог­ нозированию эффективных свойств и сопутствующие им резуль­ таты по определению полей микронапряжений и микродеформаций стали хорошей базой для исследования упругопластических [30, 132] и вязкоупругих [124, 136, 154, 159] свойств микронеоднородных материалов и для расчета напряженно-деформированно­ го состояния конструкций из композитов [4, 13, 126]. Однако, на­ пример, конечные деформации в структурной механике неодно­ родных сред остаются мало изученной областью [31, 153].

Теоретическому описанию и моделированию процессов разру­ шения, протекающих одновременно в различного порядка малости объемах структурно неоднородных материалов, посвящено боль­ шое число работ [45, 50, 51, 62, 88, 92, 110,117]. При этом суще­ ствует много различных исходных предпосылок и методов оценки прочности с позиций структурной механики. Важные результаты, касающиеся проблемы разрушения композитов, получены В. В. Болотиным, В. П. Тамужем, С. Т. Милейко, Ю. В. Суворо­ вой, В. Р. Регелем и другими. Многие ученые указывают на связь между процессами накопления повреждений в микронеоднородных средах и макроразрушением [61, 65, 87, 96, 108, 135, 157], причем наиболее общим при моделировании этих процессов яв­ ляется статистический подход [10, 11, 109, 137, 163].

Тем не менее, как это следует из обзорных работ [21, 24, 90, 91, 111], всесторонние исследования, предшествующие построе­

6

нию комплексных моделей деформирования и разрушения реаль­ ных материалов при сложном напряженном состоянии и нелиней­ ных свойствах элементов структуры, требуют дальнейшего раз­ вития.

1.2.Структурно-феноменологическая модель

При математическом моделировании процессов деформирования и разрушения структурно неоднородных тел актуальным является развитие исследований, в которых конструкционный материал рас­ сматривается как микронеоднородная среда [9, 13, 122]. Это поз­ воляет учитывать существование отчетливых границ между, как правило, однородными элементами структуры с различными ме­ ханическими свойствами.

Пусть область V с границей Г содержит в себе множество непересекающихся областей cofr, ограниченных поверхностями 1\. Часть 71 = 2(0*. области 7 заполнена однородным ма­ териалом со свойствами Li (первая фаза), а оставшаяся часть

ность, причем внешняя нормаль на Т12 направлена из первой фазы во вторую. Часть граничной поверхности Гх проходит через пер­ вую фазу, а другая часть Г2 — через вторую (Г = Гх + Г2). Структура области 7 и заданные на структуре свойства фаз (струк­ турных элементов) являются математической моделью структурно неоднородной, в данном случае двухкомпонентной, среды, за­ нимающей область 7. Геометрия области 7 и модель среды, зани­ мающей эту область, являются математической моделью структур­ но неоднородного тела.

Примем следующие основные допущения:

1.Характерный размер областей со*. много больше молекуляр­ но-кинетических размеров.

2.Характерный размер областей со*. много меньше расстояний, на которых существенно меняются осредненные или макроскопи­ ческие параметры.

Эти допущения представляют возможность, с одной стороны, выделить исследования поведения единичных включений или не­ однородностей и процессов около них (для материала в целом это микропроцессы), проводя их независимо с помощью методов и уравнений, ставших уже классическими в механике деформируе­ мого твердого тела. С другой стороны, указанные допущения поз­ воляют описывать макроскопические процессы (деформирование и разрушение конструкций из микронеоднородных материалов), как и в однородной среде в рамках представлений сплошной среды. Результаты исследования микропроцессов при этом будут исполь­ зованы в континуальных уравнениях с помощью некоторых осредненных параметров, отражающих, в частности, взаимодейст­ вие элементов структуры [73].

Будем считать, что структурные элементы однородны и проч-

7

но соединены по границе раздела, так что структурные свойства являются к у с о ч н о -п о с т о я н н ы м и функциями пространственной координаты. Геометрия и взаимное расположение элементов струк­ туры предполагаются заданными и неизменяющимися в процессе деформирования и разрушения среды, а сама среда обладает свой­ ством макроскопической однородности (поля структурных физико­ механических свойств есть случайные однородные или детермини­ рованные периодические поля).

Исходя из первого основного допущения, предположим, что на уровне структурных элементов остаются справедливыми фено­ менологические уравнения и соотношения механики, т. е. элемен­ тарным микрообъемам dv, составляющим элементы структуры и имеющим размер, во много раз меньший, чем размер областей оц., приписываются свойства, экспериментально определяемые на стан­ дартных ооразцах.

Тогда структурные напряжения удовлетворяют в отсутствие

а тензор структурных деформаций связан с вектором структурных перемещений соотношениями Коши

Если /рд — тензор-оператор связи между напряжениями и дефор­ мациями, то для произвольного г-го элемента структуры имеем

Gpq = = fpq (йк1 > &kl)i

где — коэффициенты оператора, являющиеся структурными

параметрами деформирования, i = 1, п; п — число элементов структуры с различными физико-механическими свойствами.

Введем индикаторные функции [9]

представлены как уравнения с быстро осциллирующими коэф­ фициентами. Через коэффициенты (г) задается исходная инфор­ мация о структуре среды. В соответствии со структурой эти коэф­ фициенты являются либо детерминированными периодическими, либо случайными однородными функциями. При этом наиболее

8

общий случай представляет собой модель среды, когда в выраже­

нии (1.2.3) Лм есть случайные величины, а (г) — случайные однородные функции [63]. Для случайных функций ai3 (г) должны быть известны одноточечные и многоточечные плотности вероятно­ стей или моментные функции произвольного порядка. Следует от­ метить, что в зависимости от физического прототипа рассматри­ ваемой модели целесообразно бывает или непосредственно находить статистические характеристики коэффициентов а^, или первона­ чально находить такие характеристики для величин и функцийА входящих в формулу (1.2.3).

Будем считать, что существует тензор-оператор (p*j, аналогич­ ный тензор-оператору fi3 физических уравнений (1.2.4) и связываю­ щий реальные напряжения, действующие в элементах структуры,

когезионного разрушения; ск\— прочностные характеристики эле­ ментов структуры.

Конкретный вид оператора ср^- обусловливается режимом на­ гружения и выбирается, как правило, из традиционных в меха­ нике однородных тел критериев прочности и условий разруше­ ния. Случайные или периодические функции bi3 (г) и ci3 (г) имеют

принимаются равными напряжениям на поверхности раздела эле­ ментов структуры.

В дальнейшем, под структурно-феноменологической моделью микронеоднородной среды будем понимать систему физических величин, объединенных уравнениями (1.2.1), (1.2.2), (1.2.4)— (1.2.6), а под структурным уровнем исследования деформирования и разрушения — исследование этих процессов в рамках структур­ но-феноменологической модели.

Отметим здесь также одно важное обстоятельство, касающееся структуры неоднородной среды. Среды как со случайной, так и с регулярной структурой бывают двух типов: матричные и стати­ стические смеси (оис. 1.1). В матричных смесях хотя бы одна или

9

несколько фаз дискретным образом распределены в другой, непре­ рывной фазе, называемой матрицей или связующим. К матричным смесям относятся гранулированные и волокнистые композиты, ма­ териалы с микропорами и т. д. В статистических смесях все фазы распределены дискретно и непрерывная фаза отсутствует. При­ мерами материалов с такой структурой являются поликристаллы, порошковые композиты и др. Если для сред с регулярной струк­ турой условие связанности элементов структуры учитывается не­ посредственно индикаторными функциями x(i)(r) или видом ячейки

Рис. 1.1.

Структура двухкомпонентной разупорядоченной микронеоднородной среды

а — статистическая смесь, б — матричная смесь

периодичности, то для сред со случайной структурой необхо­ димо рассматривать моментные функции высших порядков функ­ ций xW(f), которые почти всегда неизвестны.

Так как макроскопические свойства статистических и матрич­ ных смесей при одних и тех же физико-механических свойствах и объемных долях элементов структуры различны, то необходимо иметь в виду, для какого именно типа микронеоднородной среды справедлив тот или другой результат.

1.3.Макроскопическая модель

Непосредственно получить решение краевых задач для системы уравнений (1.2.1), (1.2.2), (1.2.4)—(1.2.6) обычно не удается, по­ скольку эти решения, как и коэффициенты уравнений, быстро ос­ циллируют. Поэтому широкое распространение получил подход, связанный с определением осредненных плавных составляющих структурных полей деформирования [1, 27, 73, 74, 133]. Для этого системе уравнений структурно-феноменологической модели ста­ вится в соответствие система уравнений для осредненных напря­ жений, деформаций и перемещений, которые называют макроско­ пическими. На физическом уровне строгости от структурных пере­ менных деформирования к макроскопическим можно перейти, используя понятие элементарного макрообъема [9, 49, 122].

Размеры элементарного макрообъема v находятся в таком же отношении к размерам тела F, как размеры элементарного микро­ объема к размеру элемента структуры. Понятие макроскопической однородности среды означает, что элементарные макрообъемы, вы­ деленные вокруг любой пары точек, имеют одинаковые свойства [39].

Напряженное состояние макрообъемов характеризуют тензором

^«|с

макронапряжений оц, а деформированное состояние — тензором

10