книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

ГЛАВА 6

Оценка работоспособности конструкций

из композиционных материалов

на основе структурных критериев разрушения

Рассмотренная в предыдущей главе постановка краевой задачи механики структурно неоднородных тел вызвана желанием описы­ вать единый процесс деформирования и разрушения с учетом со­ провождающих этот процесс структурных изменений. Тензор микро­ повреждаемости должен быть задан через скалярные величины, являющиеся функциями инвариантов тензоров структурных на­ пряжений или деформаций. Скалярные величины, определяющие тензор макроповреждаемости, должны быть найдены из решения нелинейной в статистическом и физическом смысле краевой зада­ чи. В данной главе предлагается приближенный подход, согласно которому статистические характеристики скалярных величин тен­ зора макроповреждаемости вычисляются путем осреднения по элементарному макрообъему соответствующих величин тензора микроповреждаемости.

6.1. Математическое моделирование процессов микро- и макроразрушения

Пусть элементарный макрообъем v представляет собой со­ вокупность микрообъемов dv, для каждого из которых возможны лишь два состояния: либо микрообъем разрушен, либо нет. Вве­ дем скалярную величину со11, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю в разрушенных. Тогда

Предположим, что случайная функция со11 (f, t) по пространст­ венной координате удовлетворяет условиям эргодичности. Из со­ отношения (6.1.1) следует

<(0П (г, *)> = рИ (г, t),

т. е. математическое ожидание функции микроповреждаемости, введенной с помощью (6.1.1), совпадает с вероятностью разруше­ ния микрообъемов dv.

Если со11 связана с состоянием микрообъемов, то состояние макрообъема в целом будем характеризовать случайной скаляр­ ной функцией о)*(£). ’Производя суммирование по всем элементам dv при dv 0 и меняя местами операторы математического ожида ния и суммирования, получим среднее значение разрушенных

91

где со* (£) есть отношение суммарного объема разрушенных эле­ ментов dv в макрообъеме v к величине объема v [10, 11].

Для определения дисперсии D&* величины со* воспользуемся известной формулой [20]

Слагаемое <со*)2 в (6.1.3) находится из выражения (6.1.2), а слагаемое <(со*)2> будем вычислять,исходя из представления

где суммирование проводится по всем элементам dv ЕЕ v.

С учетом (6.1.4), меняя местами операторы суммирования и

Из (6.1.6) вытекает, что моменты первого и второго порядков величины со* совпадают в случае независимых событий разруше­ ния элементов dv. При этом предположении на основе (6.1.4) можно вычислить и моменты высших порядков.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда не накладывает­ ся условие независимости разрушения микрообъемов. Формула (6.1.2) для математического ожидания со* (t) остается справедли­ вой, так как при ее выводе не используется условие независимости. При выводе формулы для определения дисперсии микроповре­ ждений в деформируемом объеме и обнаруживается, что знание вероятности микроразрушения р11 (f, t) в произвольной фик­ сированной точке М (г) оказывается недостаточным. Для построе­ ния адекватной числовой характеристики процесса накопления

микроповреждений в твердом теле введем вероятности pi1 (М ),

Р? (М и М 2), pi1 (М ъ М 2, М 3), . . ., Р? (М и М 2, . . М к), ко-

торые интерпретируются как вероятности одновременного разру­ шения двух, трех и г. д. элементов микроструктуры с центрами

в точках M t (г), i — 1, к. Отметим, что вероятности р}1, представ­ ляющие собой локальные числовые характеристики сред с по­ вреждаемой микроструктурой, могут быть найдены, если: а) из­ вестна плотность распределения структурных напряжений; б) за­

92

Произведение (coFco*1) можно трактовать как вероятность сов­ местного разрушения двух элементов с центрами в точках М* и M j. Тогда имеем

VV

Вчастном случае независимых событий разрушения микрообъ­

со* (£}. Начальный момент к-то порядка распределения микроповреж^ений в элементарном макрообъеме v вычисляется по форму­ ле [104]

По математическому ожиданию (6.1.2) и начальным моментам (6.1.9) можно восстановить функцию плотности распределения микроповреждений (разрушенных микрообъемов) / (со*, i?, t), где Z? совокупность параметров распределения, определяемых со­ отношениями (6.1.2), (6.1.8), (6.1.9). Макроскопическое разруше­ ние объема v произойдет, когда макроповреждаемость со* (£) достигнет критического значения со?р, причем со*р является прочностной константой для каждого конкретного материала

93

[94]. Вероятность макроразрушения равна

и поскольку считается, что потеря работоспособности любого эле­ ментарного макрообъема означает разрушение конструкций то выражение (6.1.11) следует применять для оценки работоспособ­ ности конструкций из рассматриваемых материалов.

Для практического использования формулы (6.1.11) необходи­

мо знать вероятности разрушения pj1 (f, f 1, . . . , r le, t ) и крити­ ческое значение макроповреждаемости со£р. Ниже приводятся методы отыскания этих величин.

6.2.Обобщенный структурный

критерий разрушения композиционных материалов

Как было отмечено, для определения вероятностных характе­ ристик микроразрушения используется локальный структурный критерий прочности композиционного материала. Для однород­ ных полимеров в 1966 г. А. К. Малмейстер предложил общий критерий прочности в виде полинома, содержащего тензоры проч­ ности второго, четвертого, шестого и более высоких рангов, выра­ жаемых через макроконстанты материала [62]:

где Htjmni . . . — тензоры макропрочности различных ран­ гов, не зависящие от компонент макронапряжений а*-.

Для анизотропных материалов другой вид записи критерия макропрочности предложен И. И. Гольденблатом и В. А. Копновым [25]:

где а, Ь, с, . . . — безразмерные коэффициенты.

В последнее время выдвинут ряд новых критериев прочности, основанных на концепции накопления повреждений. За меру разрущения в этих критериях обычно принимают параметр повре­ ждаемости со, который при отсутствии повреждений со = 0, а в

94

Основной недостаток указанных выше критериев прочности при использовании их в механике композитов состоит в том, что критерии (6.2.1)—(6.2.3) явным образом не учитывают микро­ структуру композита. Использование этих критериев на струк­ турном уровне в рамках структурно-феноменологической модели композитов позволяет явным образом учитывать структуру ма­ териала. Для конкретности рассмотрим критерий (6.2.1), так как обобщение критериев прочности (6.2.2) и (6.2.3) на микронеоднородные среды производится аналогично. Тогда обобщенный кри­ терий А. К. Малмейстера для композитных сред запишется

й [<Ту (?), Т у (?), Т Цят (г), . . . ] = Т у (г)Оу (?) +

ные тензорные поля (вырожденные, локально-эргодические, ква- зилокально-эргодические [63]), заданные на структуре.

Для двухкомпонентных композитов типа армированных пла­ стиков, прочностные свойства структурных элементов которых отличаются незначительно (не более чем на один порядок), тен­ зоры прочности могут быть описаны на структуре линейной моделью

Для эластомерных композитов, упругие и прочностные свойст­ ва которых отличаются на три — пять порядков и более, зависи­ мость тензоров модулей упругости и прочности является нелиней­ ной от объемной концентрации включений [103]. Принимая гипо­ тезу о том, что закон изменения тензоров прочности эластомерного композита подобен изменению тензоров модулей упругости [103], получим

(6.2.5)

где Т[)\ Tymn — тензоры прочности связующего

Тогда вероятность разрушения элемента структуры запишется в виде

95

Аналогичным образом вероятность совместного разрушения двух произвольных элементов определяется как

р2П (Г, гг) = Р [Й (г) > 1, Q (Гх) > 1]

И т. д.

Рассмотрим теперь расчет вероятности микроразрушения эле­ мента конструкции при более простом критерии разрушения. Ус­ ловие разрушения микроструктуры изотропного материала, обла­ дающего различным сопоотивлением растяжению и сжатию, при­ мем в виде обобщенного критерия П. П. Баландина, вытекающего из (6.2.4):

— соответственно интенсивность случайных структурных напряже­

ний и средние структурные напряжения; — параметры, оп­ ределяемые из экспериментов на растяжение и сжатие однородных образцов.

Вычислим теперь вероятность микроразрушения ри (г)- Оче­ видно, что й (г) — случайная функция детерминированного ра­ диуса-вектора, зависящего в каждой точке от действующих струк­ турных напряжений, прочностных свойств микронеоднородной среды и концентрации наполнителя. Зная вид функции (6.2.8), можно вычислить одноточечные центральные моменты случайной функции <(й)п>, а по ним, используя алгоритм восстановления плотности распределения по ряду Эджворта [52], получить плот­ ности распределения по / (й) величины й. Вероятность, с кото­

точке конструкции по известным структурным напряжениям и прочностным свойствам среды.

6.3. О величине критической макроповреждаемости

Деформирование композитов порождает процесс накопления структурных повреждений. Для композиционных материалов ти­ па стеклопластиков и наполненных полимеров структурные по­ вреждения (микродефекты в связующем) появляются при нагруз-

96

ках 0,15—0,20ав- Появление структурных повреждений обуслов­ ливает изменение упругих и прочностных характеристик. Для моделирования упругих характеристик композиционных материа­ лов с учетом повреждений структуры можно предложить два подхода. Первая модель будет учитывать только суммарную поврежденность структуры и основана на соотношении

где Сijmn (?), Сijmn (^) — компоненты случайных тензоров моду­

лей упругости соответственно поврежденного и неповрежденного композита; со (г) — случайный параметр поврежденности компо­ зита.

В формуле (6.3.1) С° (г) и со (г) определяются следующим обра­ зом:

т

где С<п>— случайный тензор модулей упругости тг-го компонента композита; со(п) — случайный параметр поврежденности тг-го ком­ понента; х (г) — случайная индикаторная функция; т — число компонентов.

Во второй модели используются те же величины, но ее представ­ ление будет иметь вид

т

71=1

Использование моделей (6.3.1) и (6.3.4) проиллюстрируем на конкретном примере — статическом растяжении однонаправ­ ленных органо-и стеклопластиков, реализуемом расчетным методом и прямым экспериментом. Эксперимент проводился путем растя­ жения плоских образцов с записью диаграммы «напряжения— деформации» [94]. В законе Гука для структурно неоднородных сред

С (г) определяется по (6.3.1) или (6.3.4).

Нагружение при численном и прямом эксперименте осущест­ вляется по режиму постоянных детерминированных перемещений. В этом случае, согласно [23], удается получить равновесную диа­ грамму растяжения. Для определения переменных значений струк­ турных модулей упругости композита и параметра накопленных повреждений решается статистическая краевая задача теории упругости (гл. 2).

97

Рис. 6.1. Диаграмма растяжения одноосно армированного органопластика» (сплошные линии, а — экспериментальные данные) и стеклопластика (штри­ ховые линии, • — экспериментальные данные)

1 — по модели (6.3.1), 2 — по модели (6.3.4)

Рис. 6.2. Кривые изменения деформационных свойств одноосно армирован­ ного стеклопластика в зависимости от уровня накопленных повреждений

На рис. 6.1 представлены равновесные диаграммы деформиро­ вания одноосно армированного органопластика (сплошные кри­ вые) и стеклопластика (штриховые кривые). Как следует из гра­ фиков, результаты расчетов по модели (6.3.1) дают существенно заниженные результаты (кривая 7). Использование модели (6.3.4) дает более точное описание процесса деформирования (кривая 2).

Максимальная ошибка определения расчетным путем а* от экс­ периментальных значений не превышает 10,3%.

Практический интерес представляет исследование зависимости технических упругих постоянных композитов от уровня накоплен­ ных структурных повреждений. Для одноосно армированного стек­ лопластика на рис. 6.2 представлены кривые изменения модуля нормальной упругости в направлении армирования (кривая 7), модуля сдвига в плоскости армирования (кривая 2), коэффициен­ тов Пуассона v* ± (кривая 3) и v* р (кривая 4) в зависимости от уровня накопленных повреждений.

Как следует из моделей (6.3.1) и (6.3.4), происходит некоторое уменьшение величины переменных модулей упругости, за исключе­ нием коэффициента Пуассона v*y. Увеличение v*y (кривая 4) обусловлено тем, что объемное разбухание композита за счет структурных повреждений приводит к увеличению поперечных деформаций.

На рис. 6.3 представлены кривые накопления суммарных струк­ турных повреждений в зависимости от средних значений напряже­ ний а*. Точке В перегиба кривых соответствует критическое зна­

98

чение макроповреждаемости сокр* При неравновесном способе нагружения достижение накопленных структурных повреждений величины о)*р приводит к макроскопическому разрушению об­ разца.

Для оценки величины со*р используется формула

Я*ие*

где а* и е* — предел прочности и соответствующая ему дефор­ мация образца; Ё\ — макроскопический модуль упругости по направлению растяжения.

Выражение (6.3.6) получено из (6.3.5) для момента разрушения

а* = <т* путем статистического осреднения уравнений в предпо­ ложении статистической независимости со от -С и 8.

В табл. 6.1 приведены значения со*р для различных классов материалов, полученные по формуле (6.3.6) и по методике, изло­ женной в [72]. Таким образом, критическое значение накопленных

Рис. 6.3.

Зависимость средних значений структурных повреждений от лиакронапряжений в композите

---------------- органопластик (расчет),

.............— стеклопластик (расчет), а — органопластик (опыт),

• — стеклопластик (опыт)З

структурных повреждений (о*р можно находить расчетным или экспериментальным способом и использовать для оценки разру­ шения композиционных материалов и конструкций.

Установим связь между вероятностями макроскопического и структурного разрушения при одноосном нагружении элементар­ ного макрообъема v. Как показано в работах В. В. Болотина [10, 11] и В. А. Пальмова [78], наиболее подходящая с физической точки зрения функция распределения повреждаемости со* в об­ ласти малых значений микроповреждений имеет вид

99