книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfконструкций обычно делается предположение о линейном рас пределении по толщине касательных перемещений и одинако вом для всех слоев нормальном перемещении. В этом случае из деформационных соотношений следует, что деформации попе речного сдвига уЛ.,, -у,., остаются постоянными по толщине. Ис пользование соотношения
х1*1 = С ^у (&= 1, 2, ..., п) |
(2.76) |
|
в том случае, когда модули сдвига 6 $ , |
и (или) углы укладки |
|
ортотропных слоев меняются скачком при переходе от слоя к слою, приводит к разрывности касательных напряжений т, что противоречит силовым условиям сопряжения слоев по касатель ным напряжениям (рис. 2.34). Это противоречие можно устра нить интегрально по толщине введением гипотез о независимой аппроксимации касательных напряжений т^, х}. и деформаций сдвига Уд.., у,..
Следует отметить, что допущение о том, что нормальный про гиб н> не зависит от координаты 7., позволяет предположить, что характер распределения напряжений сдвигах,., тг. не должен ока зывать существенное влияние на основное напряженно-дефор мированное состояние тонкостенной многослойной конструкции. Существенными являются лишь равнодействующие этих напря
жений, т. е. поперечные силы |
|
|
0д. = | хХ1 йт;, |
Оу = I тк <11. |
(2.77) |
/| |
/■ |
|
2А |
|
|
Рис. 2.34. Сопряжение слоев по напряжениям поперечных сдвигов
Для удовлетворения (2.77), учитывая непрерывность касатель ных напряжений по толщине оболочки, можно предложить ап проксимацию распределения тд_, т,.. в наиболее простом виде:
2,/Л; |
= т к = 0 ,./л , |
где Л — суммарная толщина многослойного пакета, или
= |
(2.78) |
= [хя . < „ ] т; |
о - [ й . е , ] т |
Таким образом, для поперечных деформаций у = [уд._, угг]т имеется двоякое представление. С одной стороны, через аппрок симации перемещений было получено, что
7 = 7(*, У),
с другой стороны, из аппроксимации напряжений (2.78) и соот ношения (2.76) следует
где коэффициенты матрицы С в общем случае для многослойно го пакета зависят от I.
Это противоречие можно устранить интегрально, ортогонализацией невязки деформаций сдвигов к возможным касатель ным напряжениям вида (2.78), т. е. 8т = Щ/И. Тогда запишем
18тт (С-1т - у Ц = |
^ |
= 0. |
Отсюда следует, что |
|
|
= уА, |
|
|
й л |
|
|
= ту, |
|
(2.79) |
=й!(1 |
а1‘]сйГ |
(2.80) |
|
Таким образом устанавливается связь между внутренними силовыми факторами и деформациями:
/V, ■ |
■*п |
Аз |
Аз |
I А. |
Са |
|
с,з; |
о |
0 |
' |
|
Му |
В ,2 |
в22 |
В уз 1С\2 |
Сгг |
|
Аз |
• |
0 |
0 |
е>- |
|
|
Аз |
Аз _Аз_! Аз_ |
Аз |
|
Аз |
! |
0 |
0 |
У,у |
||
Мх |
Си |
Са |
Аз ! А 1 |
"а Г |
Аз"! |
0 |
"о |
х х |
|||
Му |
А ’ |
с„ |
Аз 1Аз |
Аз |
|
Аз - |
0 |
0 |
х у |
||
|
Са |
|
см ! Аз |
Аз |
|
А з! |
о |
0 |
%Х}' |
||
о х |
0 |
0 |
0 | 0 |
|
|
|
! 11 А |
Т я |
|||
|
0 |
0 |
о |
о |
|
|
|
! А |
А . |
||
|
|
|
> Г |
В |
С |
0 |
е |
|
|
|
|
|
|
|
М |
= С |
И |
0 |
аг |
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
0 |
0 |
т |
.V. |
|
|
|
|
либо в матричном виде
Эе.
Далее приводится алгоритм подпрограммы вычисления мат рицы 3>.
Вкачестве исходных данных заданы:
•п — число слоев;
• (?!']; 6 $ ; <?]']; — коэффициенты упругос ти каждого слоя, заданные в осях упругой симметрии слоя;
•А, — толщины слоев;
•<Р, — углы укладки слоев;
•е — расстояние от координатной плоскости до нижней по
верхности.
Результат:
В |
С |
О |
|
С |
Р |
о |
(2.82) |
о о т
Алгоритм |
|
В = 0; С = 0; Б = 0; Т = |
к = |
Цикл по слоям / = 1, п. |
|
И = И + А,; |
|
Вычислить коэффициенты упругости /-го слоя
» ^2 у И21^1» ^12» ^13> ^23-
Сформировать:
•Е', С' — матрицы коэффициентов упругости /-го слоя в его
осях;
•РЕ> Ру — матрицы преобразования компонент деформаций при повороте системы координат на угол укладки <р,.
Вычислить:
Е= р1Е'ре;
6 = р*С'ру; |
С"1; |
'з = (4 -*13)/2; |
'з=(4 - 4 ) / з; |
В = В + Е^; С = С + Ег2; Б = Б + Е/3; Т = Т + С_,/1;
Конец цикла по слоям
Т = Т - ‘А2.
Заполнить матрицу $ (2.82).
Если при расчете конструкции требуется учитывать темпера турные и начальные деформации, то соотношения упругости будут иметь вид
(2.83)
где для случая, когда распределение начальных деформаций можно представить в виде
начальные составляющие погонных усилий и моментов будут определяться следующими соотношениями:
N0 —ВСд + Сае0; Мд —Сбд + Цжд. |
(2.84) |
Если начальные деформации присутствуют только в какой-то группе слоев, то в (2.84) матрицы В, С, Ь соответствуют этой группе слоев.
Пример 2.3
> Цилиндрическая часть баллона давления выполнена в виде восьмислойной оболочки с углами укладки слоев: [907607—60°/ 0°/07—60760790°]. Воспользовавшись нитяной моделью ОКМ, определить средние напряжения в направлении армирования для каждого слоя. Дать оценку допускаемого давления р , если извест ны: К — радиус цилиндрической части; И — общая толщина стенки; Е, — приведенный модуль ОКМ вдоль армирования; [а] — допускаемое напряжение а, для слоя ОКМ.
Решение. Для замкнутой цилиндрической оболочки, нагружен ной внутренним давлением, погонные усилия будут (рис. 2.35, а)
Их = рК/2; Ыу = рЯ\ Иху = 0. |
(2.85) |
Погонные моменты (относительно срединной поверхности) Мх, Му, Мху. равны нулю.
Для решения задачи воспользуемся соотношениями упругос ти (см. (2.73)):
Мх - Вцех. + Впгу,
Ну = Вп ех + В22гу, |
(2.86) |
|
где Ви, В12, В22— коэффициенты мембранных жесткостей (см. (2.62)). Вычислим эти коэффициенты с использованием нитяной моде ли слоя ОКМ (см. (2.51)) для заданного многослойного пакета (рис. 2.35, б)
ВП * Ё З Д я п 4 ф*; |
(2.87) |
|
12 ~ X |
8* |
|
где для рассматриваемого пакета число слоев п = 8.
б
Рис. 2.35. К определению напряженно-деформированного состо яния многослойной цилиндрической оболочки:
а — внутренние погонные усилия; б— структура многослой ного пакета; в — упрошенная схема многослойного пакета для вычисления мембранной жесткости
Вычисление коэффициентов мембранных жесткостей (2.87) удается упростить, так как можно предварительно суммировать толщины слоев с одинаковыми углами укладки (см. рис. 2.35, б, в). Тогда получим:
в" - Ч И ^ И 4
- Е ХН- |
=Е{к - |
Определим деформации е*, е,. из соотношений упругости (2.86):
°П°12 ~ °\2 |
|
|
|
|
|
(2.89) |
|
_ КуВп - У хв п |
|
Д11 |
ЛГ |
Ехк |
|||
|
|
||||||
впв1г- в \г |
|
|
в |
х |
в |
|
|
где В = Вп Вп - В^_. |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (2.85), (2.88) из (2.89) получим |
|
|
|||||
1 |
17-322 |
3 ‘322 |
|_ |
р/г 11. |
|||
2 |
32-9 |
16 |
32 |
- 9 -16 ^1 |
Ехк |
9 1 |
|
' |
9-322 |
1 |
3 |
-322 |
]I |
рК 15 |
|
32-9-16 |
2 |
32 |
- 9 -16]1 |
Ехк |
9 ' |
||
мое давление р будет определяться тем значением, при котором
а 1(*=*>•) = Н > т-е.
Эпюра напряжений по слоям многослойного пакета показана на рис. 2.36.
Как видно из эпюры, распределение напряжений по слоям неравномерное. Наиболее нагруженными оказались слои с коль цевой укладкой <р = 90"; слои, уложенные вдоль образующей, ока зались наименее нагруженными. ■
Пример 2.4
►Для многослойного пакета, имеющего структуру [0°/±(р] (т. е. первая половина пакета набрана слоями с углами укладки 0°, а вторая — слоями с укладкой ±ф (рис. 2.37)), определить приве денные жесткостные характеристики, воспользовавшись упрощен ной нитяной моделью ОКМ.
Выбрав координатную поверхность г = 0 на нижней лицевой поверхности м н о г о с л о й н о г о пакета, получим при использовании нитяной модели ОКМ следующие выражения для приведенных жесткостей (см. (2.51) и (2.62)—(2.64)):
мембранные жесткости
(2.92)
Ы1
Рис. 2.37. Структура Ы2 двухслойного пакета
смешанные жесткости
А | |
1 А=1 |
С054 ф* ( « * - « ! - ! ) . |
|
|
|
||
С 22 = | Е А 5 Ш 4 ф * (4- « * _ ] ) , |
|||
|
1 А -1 |
|
|
12 |
= А з |
= 4 |
Е А 5 |п 2 Ф а С 052 Ф * ( 4 ~ 4 Л |
|
|
* |
А = 1 |
I? = ^ Ё |
А |
С 053 Фа 5'п Фа (** “ 4-[)у |
|
|
2 А = 1 |
|
|
С23 = I Е |
А |
5|п3 Фа с05(Ра (г* |
|
|
1 А -1 |
|
|
11 = Т Е |
Е1С054 Ф* Ы " г*-1)' |
||
|
■2 А = 1 |
|
|
Аз = т Е ^ |Я п 4ф*(г|-г*-1). |
|||
|
■> А -1 |
|
|
А з = А з |
= Т Е А 55п2 Фа- с° з2 Фа (4 ~4-\)> |
||
|
|
■2 А = 1 |
|
А з |
= \ Е |
А |
со83 Фа 5»п Фа (4 ~4-\)> |
А з |
= | Е |
А |
5‘п3 Ф а С 0 8 Ф а (4 ~ 4-\)> |
-> А«1
(2.93)
(2.94)
где п — число слоев; ф А. — угол укладки к-го слоя; гк — нор мальные координаты нижней и верхней поверхности к-то слоя соответственно.
Для рассматриваемого примера имеем п = 2; Л, = к2 — И/2; ?о = 0; г\ = й/2; = Л, тогда получим:
мембранные жесткости
А| = ^ ( 1 +со54 <р); Ли = ~ 2~$1
В12 = В23 = Д р з т 2 фсо52 ф ; 5 , з = |
= 0 ; |
смешанные жесткости
|
Си = ^ - ( 1 + Зсоз4 <р); |
С2, = ^ - ы п 4 ср; |
|||
|
|
ЗЕ.И2 . |
2 |
2 |
С,з = Св = 0; |
|
|
____!__сит4 й)РП8 |
т: |
||
|
|
51П2 срсох2 <р; |
|||
изгибные жесткости |
|
|
|
||
|
А | = - ^ - ( 1 + 7с°з4 ф); |
Аз = ^ ^ " 5‘п4 4)5 |
|||
|
Аа = Аз = ^ 4 ~51 |
|
|
Аз = Аз “ |
|
Минимальное значение изгибной жесткости |
|||||
О |
- о |
-С Ъ -Е И * - |
1 + 7со54 ф |
3(1 + Зсо54Ф)~ |
|
0 |
x |
1 А, " 1 2 |
2 |
|
8(1 + с054 ф) |
при смешении координатной поверхности вверх от нижней ли цевой поверхности на расстояние Д = С, ,//?„, т. е.
Д = А- 1 + Зсо54ф 4(1 + с 0 5 4 ф )
Минимальные значения изгибных жесткостей
= _ С,2 Екг . 4
Аг ~ Аз = Аз - Аз - Аз 96
при Д = ЗА/4, т. е. при совмещении координатной поверхности со срединной поверхностью верхней половины пакета, имеющей армирование с углами укладки ±ф. ■