книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

[Из выражения (А) следует (3.33), так как

Тонкостенные трубчатые круговые стержни проверяют на местную потерю устойчивости, пользуясь соотношениями, полу­ ченными для критических нагрузок сжатых многослойных ци­ линдрических оболочек. Критические силы, соответствующие осесимметричной форме потери устойчивости вычисляют следу­ ющим образом:

Р % = 4 * Ш пВ ,+ С а

В, = В„ - В У В „ ; С,, - С» - СцВ12/В „ ;

/>,, — минимальная изгибная жесткость стенки в осевом направ­ лении.

Для местной потери устойчивости, соответствующей неосе­ симметричной форме, будем иметь

Для обеспечения устойчивости трубчатого стержня необ­ ходимо выполнение требований Р < Якр; Р < Р*; Р < Я"*00, где Я —действующая сжимающая сила (здесь считается, что при сжа­ тии Я > 0).

Для оценки критической силы, соответствующей местной потери устойчивости коробчатого профиля, поступают следую­ щим образом. Вычисляют критическую деформацию как наимень­ шую деформацию, при которой наступает потеря устойчивости одной из полок коробчатого стержня:

= т 1 п ( е ^ = Г 4 /^ ) .

Далее вычисляют сжимающую силу местной потери устойчи­ вости

где т — число полок, Ь{— ширина /-

3 .1 .4 . Примеры оценки частот колебаний

простейших стержневых конструкций

Дадим интегральную формулировку задачи о поперечных ко­ лебаниях стержня. Для этого воспользуемся принципом Даламбера: «остановим» систему и приложим объемные инерционные силы, направленные в противоположную от положительных ус­ корений сторону, и для равновесного положения согласно прин­

где V/ — нормальное ускорение стержня, V/ = Э2И^/Э/2; IV" — кри­

визна стержня, IV” = Э ^ /Э х 2; р — погонная масса, р = р/*; сим­ волом 6 отмечаются возможные значения кривизны и нормаль­ ного перемещения; для однородного материала р — удельная мас­ са; Г — площадь поперечного сечения.

Для приближенного решения выполним разделение перемен­ ных и зададим аппроксимацию формы колебаний, т. е. представим

IV (х, 0 = ^Ф(*)51пш?;

8 V ( х , /) = § [У ф ( х ) 51П со/,

где V , 8 IV — амплитудные коэффициенты; Ф(х) — функция формы, удовлетворяющая геометрическим (а желательно, и си­

ловым) граничным условиям. После подстановки (3.39) в (3.38) получим уравнение

-(о2р ф 2)4х = 0,

из которого можно определить круговую частоту колебаний

/

/ Е] Ф " 2с1х

(3-40)

| рФ2Фс

Для анализа собственных колебаний шарнирно опертого стерж­ ня (рис. 3.18), приняв Ф(х) = $ш (лях//), где п — число полуволн вдоль оси стержня, согласно (3.40) получим

Период колебаний составит Т„ —2я/ш„ и соответствующая тех­ ническая частота^, = 1/Т„ Гц.

Если искать приближенные значения собственных частот стер­ жня с учетом деформаций поперечных сдвигов, то следует вос­ пользоваться интегральной формулировкой

I

{ (Е /0 '5 0 ' + СЕ(Ж ' + 0) (5 Ж ' + 50) + цЖ5Ж)<йс = 0, (3.42)

о '

где © — угол поворота сечения стержня. Как и при оценке крити­ ческих нагрузок, можно принять для аппроксимации 0 = Ж', т. е.

Ж = ЖФ(х)зшсог;

Тогда из уравнения (3.40) получим со2©60 + к (Ж + 0) (5 Ж + 60) - со2Ж6 Ж = 0.

Далее запишем уравнение движения груза, воспользовавшись упрошенной расчетной схемой (см. рис. 3.21) М 0х +к0х = 0, где

х— смешение груза. Д ля х - А 5иш/получим

А(~М0(п2 + Ат0)$тсог = 0,

откуда определяется со = у(к^/Щ или, с учетом (3.46),

Пример 3.6

►Определение первых частот продольных и крутильных ко­ лебаний платформы, установленной на четырех стержнях (рис. 3.22).

Такая расчетная схема может применяться для приборной платы, установленной на композитных стержневых термомостах.

Будем считать, что стержни на нижних краях жестко защем­ лены, на верхних краях кинематические граничные условия на-

Рис. 3.22. Определение первых частот продольных и крутиль­ ных колебаний платформы, закрепленной на четы­ рех стойках

кладываются только на углы поворота сечений (т. е. © = 0 при х = /). Воспользовавшись решением примера 3.4, примем приве­ денную изгибную жесткость стержня

что соответствует перерезывающей силе (), даюшей смещение IV, = 1 (см. рис. 3.15).

Рассмотрим колебания платформы, связанные с продольны­ ми смещениями х (см. рис. 3.22). Приведенная изгибная жест­

Воспользовавшись упрошенной расчетной схемой с одной степенью свободы (см. рис. 3.21), получим

При расчете крутильных колебаний платформы воспользу­ емся также упрощенной расчетной схемой с одной степенью свободы ф (см. рис. 3.21). Обозначив момент инерции платфор­ мы на кручение относительно центральной оси, перпендику­

Рис. 3.23. Кинематика де­ формирования при кру­ тильных колебаниях плат­ формы

Отсюда получим для <р = А зтсо*/

Для однородной прямоугольной пластины

значение частоты крутильных колебаний

Ы г2

Щ Р М 0(а2 +Ь2)'

3 .2 . ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНИЧЕСКОГО ОТСЕКА ФЕРМЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ

3 .2 .1 . Расчет отсека

На рис. 3.24 изображена расчетная схема конического отсека ферменной конструкции.

Считается, что торцевой шпангоут 1 большего радиуса га же­ стко закреплен; стержневые элементы соединены шарнирами; стержни ферменной конструкции «работают» только на растяже-

аб

Рис. 3.24. Расчетная схема конического отсека ферменной конст­ рукции:

а — вид спереди; б— вид сбоку

ние—сжатие; к жесткому шпангоуту 2 меньшего радиуса /•прило­ жены осевая сила Р; поперечная сила (?, изгибающий момент Л/, крутящий момент Ц 1ф. Длина отсека Я; угол конусности у опре­ деляется очевидным соотношением

В составе конструкции находятся 2п стержней; на каждом шпангоуте стержни стыкуются в п узлах; угловая координата а /-го узла на шпангоуте 2 равна

Определим силы, возникающие в стержнях ферменной кон­ струкции при действии внешних нагрузок Р, <?, М, М ^. Будем считать, что в /-м узле сопряжения стержней возникают реакции

Рх , Р ^ от шпангоута 2 (рис. 3.25).

Обратные реакции Рх , ~,х). (по третьему закону Ньютона), действующие со стороны стержней на шпангоут 2, будут урав­ новешиваться внешними силами и моментами. Будем считать,

что силы Р ‘ направлены по образующей описанного конуса;

силы Рф — по касательной к окружности шпангоута. Заметим,

что для любой узловой точки / от сил Рх будем получать осевую

составляющую Рх созу и радиальную составляющую, Рх зшу