книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

А М . А р а с л а ж > в

РАСЧЕТ

ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИИ

ЗАДАННОЙ

НАДЕЖНОСТИ

ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Москва

«Машиностроение».

1987

ББК 34.41

А79 УДК 621.01+ 629.7.017

Рецензент д-р техн. наукА.А. Кузнецов

Арасланов А.М. Расчет элементов конструкций заданной А79 надежности при случайных воздействиях. —М.: Машинострое­

ние, 1987. 128 с.: ил. (В обл.) : 40 к.

Изложены методы расчета размеров элементов конструкций (стер­ жней, пластин, оболочек), обеспечивающих требуемую надежность при случайных воздействиях. Приведено решение задачи для случаев воз­ действий, имеющих различные законы распределения. -Рассмотрены статический и динамический расчеты конструкций как по теории слу­ чайных величин, так и по теории случайных функций. Рассмотрены также вопросы оптимизации при случайных нагружениях. Книга содер­ жит многочисленные примеры расчетов.

Для инженеров, занимающихся прочностными расчетами.

27020000004)32

038 (01)-87

©Издательство ’‘Машиностроение”, 1987

Рассмотрены два механизма отказа: внезапный - при превышении действующим напряжением несущей способности и постепенный - при накоплении усталостных повреждений.

Третья глава посвящена вопросам оптимального распределения на­ дежности конструкции между ее элементами.

В четвертой главе рассмотрена задача проектирования изгибаемых конструкций (балки, рамы) наименьшей массы, имеющих во всех се­ чениях надежность, равную заданной. Получены уравнения наименьшего объема конструкции и уравнения неразрывности деформаций, которые в известном смысле являются обобщениями для детерминистических ре­ шений.

ГЛАВА 1

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Под квазистатическими задачами будем понимать задачи, в которых случайные факторы описываются при помощи конечного числа случай­ ных величин. Такие задачи часто встречаются при расчете реальных конст­ рукций. Здесь важно отметить, что область применения квазистатических методов не ограничивается теми случаями, когда нагрузки изменя­ ются медленно (квазистатически). Если случайные динамические нагруз­ ки могут быть представлены в виде детерминированных функций вре­ мени, зависящих от конечного числа случайных величин, то методы ре­ шения квазистатических задач могут и здесь оказаться весьма эффек­ тивными.

Кроме этого, в некоторых случаях, о которых более подробно ска­ зано в работе [23], случайные процессы можно заменять одномерными случайными величинами, образованными из сечений случайного процес­ са. В этом случае также применимы нижеприведенные методы решения квазистатических задач.

1.1 .ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Последним этапом расчета любой конструкции на прочность, жест­ кость и устойчивость является определение ее надежности и сравнение с нормативной. Если надежность конструкции равна нормативной или при­ емлемо больше нее —расчет закончен. Если же надежность конструкции меньше нормативной, то необходимо менять размеры и делать пересчет до тех пор, пока надежность конструкции не станет допустимой. Поэ­ тому удобна такая методика расчета конструкций, по которой требуе­ мая надежность заранее закладывается в проектируемую конструкцию. В данной главе приводится методика расчета упругих конструкций зара-

4

нее заданной надежности, при этом предполагается, что внешнее воздей­ ствие может быть адекватно описано в рамках теории случайных вели­ чин.

Как известно, для упругих систем зависимость максимальных нап­ ряжений S от нагрузки q в общем виде можно записать следующим обра­ зом:

где коэффициент К зависит от размеров поперечных сечений конструк­ ции. Для ряда типовых элементов конструкций и нагружений значения К приведены в табл. 1.1. В таблице приведены также значения К*, о кото­ рых будет сказано ниже.

Здесь F —площадь поперечного сечения; / —длина стержня, балки; Wz — момент сопротивления при изгибе; Jz —осевой момент инерции сече­ ния; №к —момент сопротивления при кручении; / к —момент инерции при кручении; h —толщина оболочки, пластины; г —радиус оболочки, пластины; Е, G - модули упругости при растяжении и сдвиге соответст­ венно; a, a*, <ki, а*, а 2, а$ - коэффициенты, зависящие от условий закрепления, нагружения и коэффициента Пуассона ц.

5

Аналогичные формулы могут быть записаны и для других типов эле­ ментов конструкций и других схем нагружений.

Если не удается получить аналитическую зависимость коэффициента К от размеров поперечных сечений элемента конструкции, то эту зависи­ мость можно выразить графически следующим образом. Тем или иным численным методом, используя современные ЭВМ, решают прямую детер­ министическую задачу нахождения максимального напряжения S от действия внешней нагрузки q = 1 при заданном характерном размере поперечного сечения h. Согласно выражению (1.1) найденное значение S в этом случае будет равно коэффициенту К. Варьируя величину И, можно получить зависимость К = f ( h ) , по которой строится график. Поставим задачу: пусть на конструкцию действует случайная нагрузка q, закон рас­

Требуется определить размеры поперечного сечения конструкции из условия равенства ее надежности заданной.

Под мерой надежности будем понимать вероятность того, что макси­ мальное напряжение, возникающее под действием нагрузки, не превысит

где Н —надежность; Р —вероятность события; R —несущая способность; 5 - действующее максимальное напряжение.

Если закон распределения нагрузки известен, то, пользуясь правила­ ми нахождения закона распределения функций случайного аргумента (а вид этой функции крайне прост), можно найти закон распределения максимальных напряжений, действующих в конструкции/] (5):

ровав с учетом требуемого равенства Н = Я эд, получим выражение для определения К :

К = <р(ах, а2......а„, Яэад),

где Д], «2, ..., ап —известные заранее параметры законов распределения нагрузки и несущей способности.

Зная К, легко найти размеры поперечного сечения, пользуясь табл. 1.1.

6

Такой подход можно применить и при проектировании конструкций за­ данной надежности по жесткости. В этом случае под мерой надежности понимается вероятность того, что максимальное перемещение w не пре­ высит заданного, т.е. уравнение (1.S) примет вид

Для ряда типовых элементов конструкций и нагружений значения К* приведены в табл. 1.1.

Взяв интеграл (1.6) с учетом равенства Я = ЯзаД) получим выраже­ ние для определения К*:

К* — f(qt, o f , a l f , Яэдд),

где а,*, а%....... а* — параметры законов распределения нагрузки. Зная К*, легко найти размеры поперечного сечения по табл. 1.1.

Случайный характер других механических характеристик, например модуля упругости Е, можно учесть, используя формулу полной вероят­ ности. Пусть модуль упругости Е случаен и закон распределения его/ 5 (£) известен. Принимая значение модуля Е равным фиксированной величи­ ной Е*, определим по формуле полной вероятности f t (w ):

/ТОО" 1 r - M ^ )fs{E )d E .

Подставляя это выражение в (1.6) и интегрируя при условии Я — = Яэдд, получим выражение для К* с учетом случайного характера моду­ ля Я.

Использование такого подхода часто вызывает большие вычисли­ тельные трудности. Поэтому можно предложить следующую процедуру учета случайности модуля Е, дающую приближенный результат, но в запас надежности. Принимаем значение модуля Е равным Е-*, величина которого ищется из условия, что вероятность того, что Е > Е*}равна НЕ, причем НЕ > Язад. Тогда расчет можно производить по формулам (1.7) и ( 1.6) , но вместо Язад в уравнение ( 1.6) надо подставлять величину Я э д /% .

Аналогично решается задача при проектировании конструкций задан­ ной надежности по устойчивости. В этом случае под мерой надежности понимается вероятность того, что действующая обобщенная нагрузка q не превысит критической qKp. Таким образом, надежность по устойчи­ вости будет

7

Решая это уравнение с учетом того, что Я = Я ?„л . определим <7кр; по ?кр легко найти размеры поперечного сечения, которые обеспечат заданную надежность по устойчивости.

Геометрические параметры сортамента, из которого изготавлива­ ются элементы конструкции (толщина листа, площадь поперечного сече­ ния профиля, толщина стенок труб и тл.),такж е являются случайными величинами с законом распределения / 4 (Л). Поэтому найденный в соот­ ветствии с зависимостями (1.4), (1.6), (1.9) размер поперечного сече­ ния Арцсц представляет собой

где Аюм —искомый номинальный размер; А —допуск на изготовление, который зависит от вида закона распределения / 4 (А) и доверительной

где у - гауссовский уровень надежности для вероятности Я д; А/, — коэффициент вариации случайного размера сортамента.

В случае учета случайного разброса геометрических параметров се­ чения необходимо в расчетные формулы вместо Нмд подставлять Яадд/Яд.

1.2. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

Рассмотрим решение задачи для частного случая, когда распределе­ ния нагрузки и несущей способности подчиняются нормальному закону. Этот случай имеет широкое применение и позволяет получить простое замкнутое решение. Применение нормального закона оправдано в случае совместного действия достаточно большого числа случайных возмуще­ ний, подчиняющихся различным законам распределения; если среди них нет превалирующего, то результирующее возмущающее воздействие сог­ ласно центральной предельной теореме теории вероятностей имеет рас­ пределение, близкое к нормальному. На практике распределения многих возмущений отличны от нормального хотя бы потому, что целый ряд параметров (предел прочности, размеры и т.п.) не могут быть величи­ нами отрицательными. Но усечения законов распределения обычно неве­ лики, что позволяет игнорировать теоретическую нестрогость допущения нормального распределения.

Таким образом:

8

По правилам нахождения законов распределения функции случайного аргумента [9]

Разность R - S также будет распределена по нормальному закону [9] с математическим ожиданием

Для заданной надежности Н по таблицам этой функции можно найти соответствующее ей значение у. Тогда можно записать

Примеры.

1. На сферическую оболочку радиусом г = 1 м действует внутреннее давление q, величина которого случайна и распределена по нормальному закону. Пусть = = 5 МПа; oq = о,5 МПа; т о = 500 МПа; OD = 50 МПа Надо определить толщину оболочки А, при которой п = 0,9758. Случайный разброс толщины оболочки сле­ дует учитывать с доверите (ьной вероятностью Hf, = 0,9986, т.е. Язад/^Л = 0,9772. Для Н = 0,9772 гауссовский уровень надежности у = 2. По (1.19) находим а =

9

= 24 МПа1; 0 = 24 • 104 МПа2; £ = 50 ■102 МПа2. Затем по формуле (1.18) нахо­ дим!? = ,75 По табл 1.1 находим

А = - Й Г = 21 7 5 - = 0 ’6 6 1 0 ‘ ,М -

Предположив, что случайный размер толщины распределен по нормальному зако­ ну, коэффициент вариации Af, — 0,033, а доверительная вероятность Я/, = 0,9986 (для которой 7 = 3 ) , можем по формуле (1-12) получить

*ном = л/ d ~уМ ) = •^ з .о .о 'з з = 0,73 ‘ 10-1 м-

Таким образом, искомая толщина оболочки равна (0,73 ±0,07) - 10~2 м.

2. Прямоугольная пластина длиной 2 м, шириной 1 м нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, случайная величина которой распределена по нормаль­

ному закону (mg = 1 МПа; aq = 0,1 МПа). Концы пластины защемлены по всему контуру. У материала пластины д = 0,3; mR -- 500 МПа; aR -- 50 МПа. Надо так подобрать толщину А, чтобы надежность Я зад = 0,9758. Случайный разброс тол­ щины оболочки следует учитывать с доверительной вероятностью Яд = 0,9986, т.е. Язац/Яь = 0,9772. Для Я = 0,9772 у = 2; по (119) а = 0,96 МПа2; 0 = 24 X X 10* МПа2; £ = 103 МПа2. По формуле (1.18) находим К = 374. По данным (2] для такой пластины а , = 0,497. Тогда по табл. 1-1

Приняв условия предыдущего примера для случайного разброса толщины, для но­ минального размера имеем АноМ = 4,05 • 10 '2 м. Таким образом, искомая толщи­ на пластины равна (4,05 ± 0,41) - 10 '2 м.

Часто более удобной и наглядной является запись выражения (1.18) в частично безразмерной форме [31].

Если обозначить AR = oR/mR ; A q = aqjmq, то можно вместо (1.18) записать

________mR (1 ~У2Л%)_________

Из выражения (1.20) видно что не при всех значениях AR и A q возможно спроектировать конструкцию с заданной надежностью. В част­ ности, при AR > 1/у не существует конструкции, имеющей гауссовский уровень надежности у. Графики, показывающие зависимость относитель­ ных размеров поперечного сечения F/F* от гауссовского уровня надеж­ ности и изменчивости несущей способности AR и н агрузки ^, приведены на рис. 1 и 2. Здесь F* —площадь поперечного сечения, подсчитанная при значениях нагрузки и несущей способности, равных их математическим ожиданиям. Анализ показывает, что изменение AR сильнее влияет на F/F*, чем изменение Aq . Поэтому особо важно уменьшать величину AR . Один из возможных путей — усечение закона распределения несущей способности путем отбраковки материала конструкции. Так, усечение нормального закона распределения на уровне ±2о дает A!R — 0,9AR, а усечение на уровне ±о дает уже А ^ = 0,544д. Если значения козффици-

10