книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdfПустьЯзад = 0,99.
Запишем систему уравнений (3.10) для рассматриваемого случая
эс |
эс |
+ ХЯ,Я,Я4 = 0; |
+ АЯ,Я,Я, = 0. |
Исключим из уравнений неизвестное К выразив его из первого уравнения этой сис темы:
X.= ■■ |
ЭС |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ЭЯ, Я ,Я ,Я 4 ' |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
эС |
|
|
|
ЭС |
ас |
|
|
|
ЭС |
", |
, |
", |
о- |
эс |
||||
1я7~ |
ЭЯ, |
". |
’ |
ЭЯ, |
ЭЯ, |
", |
°* |
эя4 |
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эс |
|
|
6,14 |
ас |
|
|
5,1 |
|
|
ЭЯ, |
V ( 1 -я,)*я, |
ЭЯ, |
|
У (1 _я, )4я| |
|||||
эс |
|
2,45 |
|
эс |
155,3 У [-1п(1 -Я 4)]-« |
||||
-----, |
VUv |
-я |
, ) 3 |
эя- |
|
- |
4 |
|
|
ЭЯ, |
|
X - |
|
4 |
|
1 -Я 4 |
|
||
Таким образом, получаем следующую разрешающую систему уравнений для опре деления искомых Я ,,Я ,,Я ,,Я 4 :
5,1 |
|
6.14Я, |
|
|
||
|
|
|
|
= 0 ; |
|
|
< /(1 “ Я ,)*Я ] |
/ Я , |
(1 ~ Я ,)* Я , |
|
|
||
2,45 |
|
6.14Я, |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч /( 1 - Я ,) 3 |
УЯ , (1 - Я ,) 3 Я, |
|
|
|||
155,3 У [ —In(1 -Я 4)Г » |
_ |
6.14Я, |
|
|
||
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
1 -Я 4 |
|
|
N/Я , (1 “Я , )3 Я4 |
|
|
Я ,Я гЯ ,Я 4 = 0,99. |
|
|
|
|
||
Решив систему, получим Я , |
= |
0,99591507375; Я , = 0,99821102875; Я , |
= |
|||
= 0,99778622437; Я4 = 0,99805167000- |
|
|
||||
Зная все Я,-, легко найти размеры поперечного сечения элементов и их массу |
|
|||||
Я , = |
^ 0 |
= 519; |
С, = J l i - = 191,3 кг; |
|
|
|
|
в, 7 " Г |
|
|
* , |
|
|
Л, = £ - |
= 1,9$ • 10-> м. |
|
|
|
|
|
Л| |
|
|
|
|
|
|
кг = tfE E ZZ. = 793,6; С, = -^1- = 123,45 кг; Л, = |
= 1,26 ■W |
3 м. |
||||
|
аэЯ , |
|
|
Аа |
/Г, |
|
91
*э = |
Xg/32 a ^ \/l |
“//, |
= |
^4 |
= 99,2 кг, A3 |
/* |
J2_2-------------- — = 987,5; C, |
— |
= - i - = 1,01 • КГ* M. |
||||
|
l - “ +^ /T ^ |
|
*3 |
|
К 3 |
|
|
^8 ^зад |
|
^4* |
=856,75 кг; |
|
|
|
~ --------------- =0,0805; C4 = |
■- |
■— |
|
||
|
In(1 ~HA) |
I fflj |
|
|
||
h,= |
'Jl0,695r* |
= 3,5 ■10-? M . |
|
|
|
|
|
K*E |
|
|
|
|
|
Полученная конструкция будет, обладая нужной надежностью, иметь наименьшую
4 массу равную £ С,-= 1270,7 кг. Для сравнения найдем массу элементов конст-
/ = 1
рукции для случая, когда надежности Я,- взяты не оптимальным образом, а одина ковыми, т.е.
Ht = Н г =Н 3 ~H t = ifo $ 9 = 0,99749.
В этом случае получим: |
|
|
||
К, |
= 400;С, = 244,92 кг; |
А, = 2,5 ■10"* м; |
||
Кг |
= 887,44; |
G, = 110,39 кг; А, = 1,13 |
■К)-» м; |
|
К3 |
= 1054,85; |
G, = 92,87 кг; |
А, = 0,95 |
• 10“* м; |
К* = 0,0835; |
С4 = 846,19 кг; Л4 = 3,47 |
10*1 м. |
||
|
|
|
4 |
|
Общая масса конструкции, равная Е С/, будет 1294,4 кг, т.е. на 23,4 кг боль-
1= 1
ше массы конструкции с оптимальным распределением надежности между ее эле ментами.
ГЛАВА 4
РАСЧЕТ БАЛОК И РАМ НАИМЕНЬШЕЙ МАССЫ ПРИ СЛУЧАЙНОМ НАГРУЖЕНИИ
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решение проблемы снижения массы является частью проектирования оптимальных конструкций и заключается в следующем:
1)нахождение оптимального очертания оси конструкции;
2)определение закона распределения материала вдоль оси системы;
3)установление закона распределения материала в поперечном сече нии конструкции.
Одновременное решение всех трех задач встречает значительные труд ности и иногда практически невозможно, поэтому каждую задачу прихо дится решать отдельно, накладывая определенные ограничения.
92
Особый интерес представляют вопросы, связанные с оптимальным проектированием, когда учитывается вероятностный характер работы конструкции [13, 26, 30, 46, 47]. В этом случае одной из важнейших для проектировщика характеристик является надежность конструкции. С напряжения и деформации, возникающие в конструкции при различ ных внешних воздействиях. Но инженерный расчет на этом не заканчи вается. Результатом инженерного расчета должен быть ответ на вопрос
отом, сможет ли конструкция достаточно надежно служить в
течение срока эксплуатации. Знание значений напряжений и деформа ций необходимо в конечном итоге лишь для того, чтобы вынести сужде ние о надежности и долговечности конструкции. Поэтому возникает*за дача: так спроектировать конструкцию, чтобы во всех сечениях надеж ность была заданной, а масса конструкции при этом минимально воз можной.
В данной главе рассматривается лишь вторая сторона общей пробле мы, а имейно, нахождение закона распределения материала вдоль оси конструкции.
Объектом исследования являются конструкции типа балок и -рам, так как они представляют собой один из наиболее распространенных ви дов элементов конструкции.
По аналогии с тем, что при детерминистической постановке задачи наи выгоднейшим случаем распределения напряжений по длине считается слу чай равнонапряженности, примем, что в вероятностной постановке опти мальным случаем распределения напряжений по длине является случай равнонадежности.
Поставленная в этой главе задача будет сформулирована следующим образом.
По заданным очертанию и длинам осей стержневой системы при за-
еанной нагрузке, закон распределения плотности вероятностей которой звестен, и при известном законе распределения несущей способности
определить размеры поперечных сечений вдоль оси конструкции, удов летворяющие условию равнонадежности и соответствующие минималь ной массе конструкции.
Задачу будем решать при следующих ограничениях: нагрузка счита ется приложенной статически. Несущая способность и нагрузка являются ^Независимыми случайными величинами. Плотность материала принимаем {Одинаковой по длине, поэтому закон изменения массы можно заменить Законом изменения объема.
93
4.2. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Запишем выражение для изгибающего момента в любом сечении
М{х) = М1(х)Р, |
(4 .1) |
где Р —случайная нагрузка; М х (х) —изгибающий момент от Р = 1. Тогда напряжения в периферийных волокнах любого сечения будут
Обозначим А/, (х)/W(x) = К. |
(42) |
(4 .3) |
|
Тогда S(x) = KP. |
(4 .4) |
Далее процедуру поиска К осуществляют по методике, изложенной в предыдущих главах.
В результате решения находим значение К, при котором выполня ется условие Я (х) = Язад. Найдя К, легко определить закон изменения размеров поперечного сечения, удовлетворяющий условию Я (х) = Я 3!Щ,
WQc)= |
(4 .5 ) |
Пример.
На раму, показанную на рис. 23, действует нагрузка q, величина которой слу чайна с экспоненциальным законом распределения, параметр которого X, - = 10"4 м/Н. Найти закон изменения размеров поперечного сечения, удовлетворяю щий условию Н (х) = 0,99. Несущая способность материала рамы случайна и подчи няется гамма-распределению с параметрами а = 1; /3, = 100 МПа.
Согласно (1.48) для К имеем
К = |
ю4 ■10‘ 4/0,01' = н ,п • ю4 1/м. |
1 - t ' l r n r |
i - Vo оГ |
Для участков |
|
ЛВ Я , (х) = — ; СВ Я , (х) = 4 -х ; DC Я , (х) = 2х.
Искомые законы изменения размеров, удовлетворяющие условию
Н (х) = 0,99, имеют вид:
участок АВ: W(х) =
22,22 ■ 104
9 (4 -х )
участок СВ: W(x) = --------— м3
10*
участок DC: W(х) = — г м3.
10‘
Рис. 23. Статически определимая рама минимального объема
94
4.3. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ. УРАВНЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО ОБЪЕМА
Нахождение закона распределения материала вдоль оси конструкдни для статически неопределимых систем осложняется тем, что изги бающий момент зависит от размеров поперечных сечений. Для реше ний этой задачи воспользуемся, как и в работе [12], методом наи меньшего объема.
Запишем выражение для объема системы
V = £F(x)dx. |
(4.6) |
Выразим площадь поперечного сечения через изгибающий момент так, робы соблюдалось условие равнонадежности. Для этого запишем выра жение для напряжений, действующих в сечениях балки,
[МI (х)Р + |
£ M j(x )X j ]Z(x) |
S(x) = |
(4.7) |
г2 (x)F(x)
(де Mj (х) — изгибающий момент в основной системе от Xj = 1; X/ —
jfe лишнее неизвестное; |
Z (х) |
—расстояние от нейтральной оси до пери |
ферийного волокна; г(х) - |
радиус инерции сечения; F(pc) —площадь |
|
|оперечного сечения; п |
- число лишних неизвестных. |
|
Представим лишнее неизвестное в виде |
||
Xi = KiP' |
|
(4.8) |
йпе Kj - неизвестные нам пока неслучайные коэффициенты.
Если при решении задачи об определении наименьшей массы в дефрминистической постановке мы искали значение X/ , а значит, и F (x ), фответствующее минимуму объема системы, то в рассматриваемом слуре придется искать значения Kj, дающие минимум объема системы.
Напряжения, действующие в сечениях, могут быть записаны в виде
\МХ(х) + £ Mj{x)Kj]Z (XV» |
|
|
S(x) = |
г2 (x)F (х) |
(4.9) |
|
|
|
•ft, если обозначить |
|
|
[ М 1 (х) + £ |
МjKj\Z (х) |
|
_________/ = |
1__________ = К. |
(4.10) |
r2 (xV(x) |
|
|
*>S(x) = KP. |
|
(4.11) |
В зависимости от законов распределения нагрузки и несущей способ-
95
ности для заданного уровня надежности можем получить значение К, обеспечивающее эту надежность.
Тогда из (4.9) для F{x) имеем
П
[М1 (х)+ ^ ^Mi(x)Kj]Z{x)
F(x) = |
|
|
(4.12) |
г2 {х)К |
|
|
|
Так как площадь поперечного сечения есть величина сугубо положи- |
|||
тельная, выражение [Мх (х) + |
П |
|
|
£ Mj (х) Kj\, входящее в (4.12), надо брать |
|||
по абсолютной величине. В дальнейшем, как и в работе [12], примем |
|||
|[Af, (*)+ ; J ^ /C * ) * /] ! |
=ПМ г (*)+ . | |
(4.13) |
|
где /* = +1, если [Л/, (х) + |
£ |
М/ (х)К/] > 0; |
|
' |
п |
|
(4.14) |
/* = -1, если [Мх (х) + |
£ ^Mj (х)ЛГ/] < 0. |
|
|
Подставив выраженное таким образом F(x) в уравнение (4.6), получим
/*[ЛГ, (хг) + Е |
M j{x)K j\Z (x)dx |
|
v = £ ; ____________ / = 1 |
'_________ |
(4.15) |
г2 |
W K |
|
Пределами интегрирования в каждом интеграле, входящем в общую сумму, могут быть координаты точек опор, точек приложения нагрузки и нулевых точек выражения
[Л/,(х)+ ^M j(x)K j\.
/ = 1 Если за независимые переменные принять коэффициенты К/, то
объем будет представлять собой непрерывную функцию от этих коэф фициентов. Условием минимального объема является равенство нулю частных производные от функции объема по независимым переменным, а именно:
ЭК/ЭKj = 0,/ = 1, 2,..., п, |
(4.16) |
п —число лишних неизвестных.
Отсюда получим систему и уравнений для определения п неизвест ных коэффициентов К х, К2, .... К„. Определив по (4.16) значения этих коэффициентов и подставив их в (4.12), получим искомые значения раз меров поперечных сечений. Для иллюстрации предлагаемой методики
%
Рис. 24. Статически неопределимая балка мини |
р |
мального объема |
|
рассмотрим пример расчета дважды стати чески неопределимой системы (рис. 24).
Балка, защемленная на обоих концах, наг ружена сосредоточенной случайной силой Р. Такая схема рассмотрена в [121 и взята с целью
сравнения результатов. Зададимся
/ = 2 ,5 м ;£ = 4м ; Н - 0,999;
Z (х)/г2 (х) = const = 6/й = 100 1/м.
Разобьем балку на два участка: АС и СВ. Тогда на участке АС:
\М, (х) + Д Mf (■x)Kj] = Кгх - X ,;
на участке СВ |
|
|
[Л/,(х)+ Г |
Mj(x)K.\ Х ,х - Х , - х + /. |
|
/ = |
1 |
' |
Подставив эти выражения в уравнение (4.12), получим: участок АС
(Х ,х - К , ) • 100
F (x ,X ,,X ,) =
X
участок СВ
F(x,Ki t K t ) = < * ' * - * ' ~Х+1) 100 .
К
Подставим получившиеся значения площадей в выражение (4.6), при этом учтем уравнение (4.13) В результате получим
KV |
= - |
х, |
I |
|
х, |
- х + l)dx- |
— |
^ (Х ,х -Х ,)А г + / (Х ,х -Х ,)Л г + |
Ц К гх - К , |
||||
L |
|
|
|
|
|
|
- |
S (Х ,х - Х , |
- х + l)dx. |
|
|
(4.17) |
|
х, |
|
|
|
|
|
|
Здесьх, и х , |
- координаты нулевых точек. Они определяются из условия |
|||||
* . = * . / * |
= ( / - Х ,) /( 1 - Х ,) . |
|
|
(4.18) |
||
В результате интегрирования уравнения |
(4.17) после подстановки пределов (4.18) |
|||||
и после ряда упрощений получим |
K2L2 |
£ |
L2 |
|||
KV |
_ |
К\ |
(/-х,)1 + KXL - |
|||
|
|
|
|
|||
100 |
|
X, + |
1-К2 |
2 |
2 |
T ~ ' |
Затем, взяв частные производные от объема по коэффициентам X , и X ,, получим условия для их определения
ЭV |
1Ь. |
2(/-* ,) . |
£ = 0; |
Ткх |
*г |
1-х, |
4 Зак 35Ь
97
i !L = - J E L + У ' * ' ? |
- £ . = о |
|
ЪКг • К\ |
(1 -К2)г |
2 |
Совместное решение этих уравнений дает К, = 0,25; К г = 0,25. При этом следует обратить внимание на то, что значения К, и К г получены независимо от вида зако
нов распределения нагрузки и несущей способности. Таким образом, искомые значения F(x) будут:
участок АС |
|
|
F(x) = |
25 Сх -1 ) |
’ |
|
К |
|
участок СВ |
225 -75х |
|
F(x) = |
|
|
К |
|
|
|
|
Найдем абсциссы нулевых точек
х, = K , / K t = 1 м; х, = (/-* ,)/(! - К г ) = 3 м.
т.е. нулевые точки расположены на расстоянии 1/4 и 3/4 пропета балки. Такие же результаты получены в работе [12 ].
Сравним полученное решение с результатами решения той же задачи в детер министической постановке [12 ]:
участок i4C
F(x) = 2 5 ( x - l ) f °в
участок СВ
(225 -7 5 х)Р
F(x) =
°в
Сравнивая его с полученным решением, видим, что они совпадают, если выполня ется условие
К = ов /Р.
Таким образом, вероятностная задача может быть сведена к детерминистичес кой, если заменить в ней нагрузку Р величиной ав/К.
Зададимся законами распределения нагрузки и несущей способности. Пусть закон распределения нагрузки - закон Вейбулла с параметрами (3 = 3; -у = 0; а3 =
= 70’ кН3. Закон распределения несущей способности - закон Вейбулла с парамет рами (3= 3; 7 = 0; а , =250* МПа3.
Тогда по (1.38) для К имеем
_ р/ |
(1 - Н ) |
250 ■10‘ |
I |
1 -0,999 |
|
а , Я |
70 • 103 |
365,46 1/м3. |
|
|
|
0,999 |
||
Тогда искомые площади сечений будут: |
|
|||
на участке АС |
|
|
|
|
F(x)= |
10,068 ( х - 1 ) | м3; |
|
|
|
на участке СВ |
|
|
|
|
F (х )= |
|0,6 - 0,2х | |
м3. |
|
|
98
4.4. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
До сих пор, рассматривая вопрос проектирования конструкций из условия наименьшей массы, мы ничего не говорили об уравнениях не разрывности деформаций. Уравнения неразрывности деформаций полу чают, используя метод Мора. Так как деформация по направлению лишней неизвестной равна нулю, то условия неразрывно сто.деформаций будут иметь вид
/ |
М (x)Mj(x)dx |
= 0, / = 1, 2, |
|
п. |
(4.19) |
||
йТГГ) |
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно (4.9) М (х) представляет собой |
|
||||||
М (х) = [Mt (х) + |
. | |
i KjMj (х)]Р. |
|
(4.20) |
|||
Из условия равнонадежносто, используя уравнение (4.12), |
для J(x) |
||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\М , (дс) + |
Г |
Mj (x)Kj\ Z(x) r1 (х) |
|
J(x) = F(x)r2(x) = |
_________ / |
= |
1___________________ |
|
|||
|
|
|
|
|
г2 (х)К |
|
|
[Af , <jf) + £ |
M j(x)K .)Z (x) |
|
|
|
|||
= _________ / = 1 |
|
|
|
|
(4-21) |
||
|
К |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Подставив (4.21) в (4.19) и учитывая (4.13), получим |
|
||||||
|
W , (х) + |
£ |
Mj (х )Kj 1PMj (х)К |
|
|||
2 J -------------- ------------------------------- dx = 0,/' = 1,2,...,и. |
(4.22) |
||||||
|
(*) + |
|
Z ^Mj{x)Kj\Z(x) |
|
|||
После сокращения, принимая Z (x) = const (т.е. высота сечения постоян на) , получим
2 J j*Mj {x)dx = 0, / = 1,2...... |
п. |
(4.23) |
Условие минимального объема (4.16), полученное выше, можно записать
, ГУМ, (х) + г Mj(x)Kj\Z(x)dx
=2 J-----------------p i ------------------------= o
bKj |
ъкj |
r2 (x)K |
/= 1 ,2 ,..., n. |
(4.24) |
|
99
Так как |
|
|
щ |
[Л/, (*) + . 1 1Mj ( х Щ \ = M, (x ), |
(4.25) |
то, принимая также Z(x) = const, получим |
|
|
■ щ |
= Z!rMj(x)dx = 0. |
(4.26) |
Таким образом, видим, что уравнения минимального объема и уравне ния неразрывности деформаций полностью совпадают. Следовательно, коэффициенты Kj, найденные из уравнений наименьшего объема (4.16), будут удовлетворять и условиям неразрывности деформаций.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Приведем некоторые сведения из теории вероятностей, которые мо гут быть полезными при рассмотрении вероятностных задач прочности конструкций и были использованы в предыдущих главах [9, 19, 22, 24, 39,40,43,44].
Случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Вероятностью события называется численная мера степени объектив ной возможности этого события. Вероятность события А обозначают/1^ ). Выполняя опыты, частоту или статистическую вероятность события мож но определить по формуле
Р*(А) = т/п,
где п - общее число выполненных опытов; т —число опытов, в кото рых событие произошло.
-С увеличением числа опытов величина Р*(А), которая при ограни ченном объеме испытаний носит нестабильный, случайный характер, приближается к средней постоянной величинеР(А).
Событие А называется достоверным, если Р(А) = 1. Событие А назы вается невозможным, если Р(А) = 0. Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей
0 < /» (4 )< 1.
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появле нии хотя бы одного из событий А и В. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В. Два события считаются несовместными, если они заведомо
100