книги / Методы самосогласования механики композитов

3

ВВЕДЕНИЕ

Большую группу методов для решения стохастических краевых задач и вычисления эффективных физико-механических свойств структурно-неоднородных сред составляют методы, основанные на принципесамосогласования[7, 14, 15, 17, 19, 66, 68–81, 83, 84, 86, 87].

Впервые такая схема была разработана А. Хершеем [76] и Кронером [80] применительно к описанию поведения поликристаллических материалов. Такие материалы однофазны, но благодаря случайной ориентации анизотропных кристаллитов в них существуют скачкообразные изменения свойств при переходе через границы структурных элементов. Кристаллит рассматривают как сферическое или эллипсоидальное включение, внедренное в бесконечную среду с неизвестными изотропными (при отсутствии преимущественных направлений ориентации) упругими свойствами. На бесконечности или большом удалении от включения задают однородные напряжения, ориентационно среднее напряжение во включении полагают равным соответственно значению приложенного напряжения. В результате получают уравнения, из которых можно определить эффективные свойства.

Развитие расчетной схемы по методу самосогласования для композитов было дано Р. Хиллом [77] и Б. Будянским [70]. Каждую фазу композита поочередно рассматривают как единичное сферическое или эллипсоидальное включение в бесконечной матрице с неизвестными эффективными свойствами. Использование условий однородности для полей напряжений и деформаций на бесконечности позволяет определить соответствующие осредненные поля во включении. После того как это выполнено для всех фаз, осредненные по фазам композита поля выражаются через свойства этих фаз и эффективные свойства. Таким образом, можно построить систему уравнений для определения эффективных констант упругости через свойства фаз и ихобъемные доли.

Безусловно, эта расчетная схема чрезмерно произвольна в отношении геометрических характеристик модели композита. При вычислении средних по фазам полей каждую фазу рассматривают как

4

включение, даже если в действительности в композите она полностью непрерывна.

Рассмотренная группа самосогласованных схем расчета (в рамках модели «включение в эффективной среде») соответствует полидисперсным кластерным структурам, в которых допускается значительная вариация размеров включений, их контакт и объединение в кластеры.

Е. Кернером [79] и К. Ван-дер-Полем [86] была предложена расчетная схема по методу самосогласования, известная из монографии [19] как «трехфазная модель» композита и отчасти свободная от недостатков предыдущей расчетной схемы. Для двухфазного композита случайной структуры со сферическими или цилиндрическими включениями в матрице бесконечная область содержит единичное составное сферическое или цилиндрическое включение, причем геометрия составного включения определяется объемным содержанием фаз. В случае однородных условий для напряжений (деформаций) на бесконечности такая модель композита эквивалентна однородной среде с эффективными свойствами при условии, что энергия деформирования обеих систем одинакова при равенстве осредненных напряжений (деформаций). Самосогласованные решения по трехфазной модели соответствуют полидисперсным матричным структурам, в которых допускается значительная вариация размеров включений и максимально возможное удаление их центров друг от друга.

Методы самосогласования широко используют аналитическое решение Дж. Эшелби [67] для задачи об одиночном эллипсоидальном включении в неограниченной однородной среде [1, 64, 65, 82]. Например, в работе [15] это решение использовано для вычисления эффективных упругих свойств композита с малым содержанием шаровых, дискообразных или игольчатых включений. Случай средних и больших степеней наполнения с использованием решения Дж. Эшелби исследован методами на основе принципа самосогласования, например методом эффективного поля [3, 4] или методом самосогласованного поля [11, 12]. Условия нагружения на бесконечности среды с одиночным эллипсоидальным включением определялись из решения стохастической краевой задачи в корреляционном приближении

5

с использованием тензорной функции Грина неограниченной однородной среды с упругими свойствами матрицы композита [3, 4].

Вглаве 1 приведен широкий спектр исследуемых в монографии вероятностных моделей нерегулярных структур композитов со статистическими разбросами значений размеров, формы и упругих свойств фаз включений.

Вглаве 2 представлен новый метод статистической механики композитов – обобщенный метод самосогласования: постановки, схемы решения краевых задач, численные алгоритмы и приложения

красчету эффективных упругих свойств композитов со случайными структурами [27–45, 47, 48]. Метод позволил свести задачу вычисления статистических моментов деформационных полей в элементах структуры композита от необходимости решения стохастической краевой задачи для микронеоднородной области к решению одной или, в общем, последовательности более простых локальноосредненных краевых задач об одиночных включениях с переходными слоями в однородной среде с искомыми эффективными упругими свойствами. Размер переходного слоя соизмерим с радиусом корреляции случайной структуры композита и примерно равен двум радиусам одиночного включения. Упругие свойства переходных слоев учитывают параметры случайной структуры композита через специальные приведенные поля вероятностей взаимного распределения включений в объеме композита. Решения (или приведенные поля де-

формирования) этих вспомогательных краевых задач являются, по сути, искомыми локальными моментными функциями действительных деформационных полей композита. Различные приближения этого метода приводят к известным в механике композитов расчетным схемам, например: одиночное включение в матрице или одиночное включение в эффективной среде с наличием переходного слоя матрицы или без него, а также самосогласованные схемы метода локального приближения. Оригинальность и достоинство предложенного подхода состоит в том, что удалось дать математическое обоснование зависимости неоднородных упругих свойств переходного слоя от взаимного расположения включений, вариаций их размеров и геометрической формы межфазных границ. В отличие

6

от известных традиционных схем самосогласования, в которых композиционный материал на большом удалении от рассматриваемого включения также заменялся эффективной средой, а переходный слой между ними априорно приравнивался либо к нулю (что соответствует кластерной смеси), либо наделялся свойствами матрицы (матричная смесь). Эти известные решения образовывают для многих реальных структур композитов достаточно широкую вилку, что ограничивало область их практического использования.

Обоснованы преимущества обобщенного метода самосогласования перед известным методом самосогласованного поля [14], которые состоят не только в более наглядной расчетной схеме, но также

внепосредственном и более полном учете в ней многочастичных взаимодействий включений коэффициентами разложений (через «поля самосогласования») искомых деформационных и электрических полей во включениях. Эти коэффициенты учитывают многие структурные параметры композита и определяются в ходе решения задачи как параметры самосогласования, а не приравниваются к значениям коэффициентов для одиночного включения в матрице (как

водночастичном приближении метода самосогласованного поля [14]).

Вглаве 3 представлены новые постановки и схемы решения локально-осредненных краевых задач обобщенного метода самосогласования для расчета полей дисперсий напряжений и деформаций

вфазах составных или полых включений, обусловленных случайным взаимным расположением и вариациями размеров включений в представительном объеме композита, через заданные поля однородной макродеформации и безусловные одноточечные моменты деформаций композита [26, 46, 49–51]. Сделан переход от постановки краевой задачи для условных двухточечных моментов полей деформирования композита со случайной структурой к постановкам более простых краевых задач для соответствующих полей условных одноточечных моментов. Математически обосновано, что для расчета дисперсий величин объемной и сдвиговой деформаций во включениях макроизотропного композита достаточно решить соответствующую локально-осредненную краевую задачу, расчетная схема которой – одиночное включение с переходным слоем в однородной среде. Упру-

7

Глава 1

МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУР КОМПОЗИТОВ

1.1. МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ

Пусть в некоторой области V c границей Г задана представительная реализация некоторой случайной структуры композита, обладающей свойствами статистической однородности и эргодичности [6, 20–23, 25, 60, 66]. Считаем, что включения геометрически подобны и состоят из F однородных фаз; включения имеют случайные размеры и, например, одинаковую геометрическую форму и ориентацию в однородной матрице представительной области композита V. Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях.

Глобальная r и локальная для k-го включения ξ(k ) координаты

произвольной точки r из представительной области композита V связаны соотношением

где r(k ) – радиус-вектор центра k-го включения в глобальной системе координат; α(k ) – коэффициент подобия k-го включения, k =1, N .

Введем в рассмотрение типовое нормированное включение υ: объем υ( f ) произвольной f-й фазы этого включения равен среднему

9

где показатель степени β равен 1, 2 или 3 соответственно для

слоистого, однонаправленного волокнистого или гранулированного композитов.

Все включения геометрически подобны, поэтому чтобы задать относительное расположение фаз, внутри них достаточно задать это расположение в нормированном включении υ через совокупность индикаторных функций фаз:

в локальной системе координат ξ , центр которой поместим в центр области этого включения:

где υ( f ) – область f-й фазы F-фазного включения υ.

10