книги / Методы самосогласования механики композитов
..pdfс известными численными решениями (p) для модуля Юнга E1* и коэффициента Пуассона ν12* перфорированных пластин с периоди-
ческим расположением в узлах правильной гексагональной решетки круглых отверстий [8]. Минимальные гарантированные прослойки матрицы для структур II1 и II2 соответственно равны 10 и 20 % от радиуса пор. Графики для модуля Юнга E3* и коэффициента Пуассо-
на ν13* для различных структур имеют малые отличия и на рис. 2.9
обозначены соответствующими едиными прямыми линиями. Решения 1 и 2 на рис. 2.9 получены обобщенным методом самосогласования на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций приведенного поля вероятностей ω1 (ξ) = ω(ξ) (1.50) и (1.51) и тождественны решениям известных методов самосогласования [15, 19].
2.2. КОМПОЗИТЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ СВОЙСТВАМИ ФАЗ ВКЛЮЧЕНИЙ
2.2.1. Особенности постановок и схемы решения стохастических краевых задач
Пусть представительная реализация C(r) cтатистически одно-
родного эргодического поля упругих свойств композита в представительной области V задана в виде разложений (1.13)–(1.16).
Осредним оператором объемного осреднения < ... > (1.9) по представительной области композита V уравнения обобщенного закона Гука для композита:
σij (r) = Cijmn (r)εmn (r) ,
ив результате получим
σ*ij ≡< σij (r) >=< Cijmn (r)εmn (r) >=
81
F |
+ (1 − vo )CijmnM |
|
= ∑ v f Cijmno[ f ] < χεmn (r) > f |
< εmn (r) >M , |
|
f =1 |
|
|
где σ* – однородные макронапряжения композита, относительное объемное содержание f-й фазы включений v f и относительное объемное содержание включений в композите vo (1.11).
Таким образом, макронапряжения композита σ* можно представить в виде разложения
|
F |
|
|
σ* = ∑v f σ( f ) +(1 −vo ) σM , |
(2.57) |
||
|
f =1 |
|
|
где |
|
|
|
|
σij( f ) ≡< σij >f = |
|
|
= Cijmno[ f ] |
< χεmn |
>f = Cijpqo[ f ] N pqmn( f ,1) ε*mn , |
(2.58) |
|
σijM |
≡< σij >M = |
|
= CijmnM |
< εmn |
>M = CijpqM N pqmnM ε*mn |
(2.59) |
есть осредненные соответственно по f-й фазе включений и матрице
композита значения напряжений, где тензоры N( f ,1) и N M |
введены |
|
через разложения |
|
|
< χεij |
>f = Nijmn( f ,1) ε*mn , |
(2.60) |
< εij |
>M = NijmnM ε*mn . |
(2.61) |
По аналогии с зависимостями (2.57)–(2.59) тензор однородной макродеформации композита ε* может быть представлен в виде
82
|
|
F |
|
|
|
|
ε* = ∑v f ε( f ) +(1 −vo ) εM , |
|
(2.62) |
|
|
f =1 |
|
|
где |
|
|
|
|
εij( f ) ≡< εij |
>f = Nijmn( f ,0) ε*mn , εijM ≡< εij >M = NijmnM ε*mn , |
(2.63) |
||
здесь N( f ,0) и |
N M |
– тензоры концентраций, осредненных соответс- |
||
твенно по f-й фазе включений ε( f ) и матрице εM |
деформаций. |
|
||
Разложение (2.57) может быть преобразовано к виду |
|
|||
|
|
F |
|
|
|
σ*ij |
= ∑v f aijmn[ f ,0]ε(mnf ) +(1 −vo ) CijmnM εmnM = |
|
|
|
|
f =1 |
|
|
|
F |
|
|
|
= |
∑v f aijpq[ f ,0] N pqmn( f ,0) +(1 −vo ) CijpqM N pqmnM |
ε*mn ; |
(2.64) |
|
|
f =1 |
|
|
|
таким образом, приходим к обобщенному закону Гука для макроуровня композита:
σ*ij = Cijmn* ε*mn , |
(2.65) |
где расчет тензора эффективных упругих свойств композита по формуле
F |
|
|
|
|
Cijmn* = ∑v f aijpq[ f ,0] N pqmn( f ,0) +(1 −vo ) CijpqM |
N pqmnM |
(2.66) |
||
f =1 |
|
|
|
|
сводится к определению тензоров N( f,0) , N M |
из разложений (2.61), |
|||
(2.63) и, дополнительно, тензоров a[ f,0] для f = |
|
, |
которые |
|
1, F1 |
||||
вводятся через разложение вида |
|
|
|
|
σij( f ) = aijmn[ f ,0]ε(mnf ) . |
|
|
|
(2.67) |
Для фаз f = F1 +1, F с детерминированными упругими свойствами выполняются равенства
83
a[ f ,0] = Co[ f ] .
Формула (2.66) для расчета тензора эффективных упругих свойств композита C* может быть преобразована к виду
|
|
F |
|
|
|
|
* |
M |
[ f ,0] |
M |
( f ,0) |
, |
(2.68) |
Cijmn |
= Cijmn |
+ ∑v f (aijpq |
−Cijpq |
)N pqmn |
f =1
так как после подстановки разложений (2.61), (2.63) в (2.62) имеем вспомогательную зависимость
F
∑ ( f ,0)
v f Nijmn
f =1
или
F
∑v f N( f ,0) f =1
+ (1 −vo |
)NijmnM |
|
ε*mn |
= ε*ij |
|
||||
|
|
|
|
|
+(1 −vo |
) NM = I . |
(2.69) |
||
Рассмотрим, более подробно, расчет тензоров a[ f ,0] при |
f = |
1, F1 |
|
|||
в формуле (2.67). Иззависимостей(2.58), (2.63) имеем |
|
|
|
|||
σij( f ) = Cijpqo[ f ] N pqmn( f ,1) ε*mn , |
(2.70) |
|||||
εij( f ) = Nijmn( f ,0) ε*mn , |
(2.71) |
|||||
cледовательно |
|
|
|
|
|
|
σij( f ) = Cijpqo[ f ] N pqdb( f ,1) Ndbmn( f ,0)−1εmn( f ) |
(2.72) |
|||||
или, с учетом разложения (2.67), получим формулу вида |
|
|
|
|||
a[ f ,0] |
= C o[ f |
] N ( f ,1) |
N ( f ,0)−1 , |
(2.73) |
||
ijmn |
ijpq |
pqdb |
dbmn |
|
|
|
где N( f,0)–1 – тензор, обратный тензору N( f ,0) .
Таким образом, для расчета тензора эффективных упругих свойств композита C* (2.68) необходимо определить тензоры N( f ,0)
при f =1, F и N( f ,1) при f =1, F1 в (2.70)–(2.73).
84
Осредненные по f-й фазе включений композита значения деформаций ε( f ) ≡< ε >f , например, в (2.71), могут быть рассчитаны по формулам (2.46):
ε( f ) = |
1 |
∫ ε(0) (ξ)dξ, |
(2.74) |
|
υ |
|
|||
|
( f ) υ( f ) |
|
||
|
|
|
||
где осредненное поле деформаций ε(0) (ξ) введено разложением вида
|
1 |
N |
|
|
|
ε(0) (ξ) = |
∑αβ( k ) ε(r( k ) |
+ α( k ) ξ) , |
(2.75) |
||
N |
|||||
|
∑αβ( k ) |
k =1 |
|
|
k =1
где использованы соотношения (1.1), (2.28). С учетом равенства (1.5) формула (2.75) преобразуется к виду
|
1 |
N |
|
|
|
ε(0) (ξ) = |
∑αβ( k ) ε(r( k ) |
+ α( k ) ξ) . |
(2.76) |
||
|
|||||
|
N k =1 |
|
|
||
Можно показать, что привлечение к расчету тензоров a[ f ,0] при
f =1, F1 гипотез Фойгта или Рейсса об однородности по всей облас-
ти V соответственно деформаций или напряжений приводит к соответствующим решениям:
a[[ Ff ,]0] = ζ(1)Co[ f ] , |
(2.77) |
|||
a[ f ,0] |
= |
1 |
Co[ f ] , |
(2.78) |
|
||||
[ R ] |
|
ζ( −1) |
|
|
где использованы обозначения
|
|
1 |
|
N |
1 |
|
|
||
ζ( −1) |
= |
|
∑ |
αβ( k ) , |
(2.79) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
N k =1 |
χ( k ) |
|
||||
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
ζ(1) |
= |
|
∑ χ( k ) αβ( k ) . |
(2.80) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|||
85
Например, из гипотезы Фойгта |
|
ε(r) = const |
(2.81) |
следует, что (2.71) |
|
εij( f ) ≡ Nijmn( f ,0) ε*mn |
= ε*ij |
или |
|
N( f ,0) = I ; |
(2.82) |
аналогично из (2.60) имеем
< χεij >f ≡ Nijmn( f ,1) ε*mn =< χ >f ε*ij
или
N( f ,1) = I < χ >f = Iζ(1) , |
(2.83) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
ζ(1) |
=< χ >f |
= |
∑χ( k ) αβ( k ) . |
(2.84) |
||
|
||||||
|
|
|
N k =1 |
|
||
Из формулы (2.73) с учетом полученных на основе гипотезы Фойгта решений (2.82)–(2.84) приходим к соответствующему решению для тензора a[[ Ff ,0]] в (2.77).
Аналогично, из гипотезы Рейсса
|
|
|
|
σ(r) = const |
|
|
|
|
|
(2.85) |
||||
следует, что (2.71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εij( f ) =< εij > f = |
|
|
|
|
|
|||||
=< χ−1Cijmno[ f ]−1σmn |
>f = Cijmno[ f ]−1 |
< χ−1σmn |
>f |
= |
|
|
||||||||
= Co[ f ]−1 |
< χ−1 |
> |
f |
σ* |
= Co[ f ]−1ζ |
(−1) |
σ* |
= N |
( f ,0) |
ε* |
, |
(2.86) |
||
ijmn |
|
|
mn |
ijmn |
|
mn |
ijmn |
mn |
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ( −1) |
=< χ−1 >f = |
∑χ(−k1) αβ( k ) . |
|
|
|
(2.87) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|
|
|
||
86
Из зависимости (2.60) получим
< χ εij >f =< χ χ−1Cijmno[ f ]−1σmn >f = |
|
= Cijmno[ f ]−1 < σmn >f = Cijmno[ f ]−1σ*mn = Nijmn( f ,1) ε*mn . |
(2.88) |
В результате из равенств (2.86), (2.88) вида |
|
Cijmno[ f ]−1ζ( −1) σ*mn = Nijmn( f ,0) ε*mn , |
|
Cijmno[ f ]−1σ*mn = Nijmn( f ,1) ε*mn |
|
с учетом (2.65) следуют зависимости |
|
Nijmn( f ,1) = Cijpqo[ f ]−1C *pqmn , |
(2.89) |
Nijmn( f ,0) = ζ( −1)Cijpqo[ f ]−1C *pqmn = ζ( −1) Nijmn( f ,1) . |
(2.90) |
Из формулы (2.73) на основе полученных решений (2.89) и (2.90) приходим к соответствующему решению для тензора a[[ Rf ],0] в (2.78).
Постановка локально-осредненных задач. По аналогии с (2.76)
введем в рассмотрение осредненные поля
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g ) (ξ) ≡ |
1 |
|
∑αβ( k−)1χ(gk ) (U(r( k ) |
+ α( k ) ξ) − U(r( k ) )) |
(2.91) |
|||||||||||||
|
|
|
U |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при g = 0, 1, 2… Если предположить, что поля |
|
( g ) (ξ) |
известны, |
|||||||||||||||||||
U |
||||||||||||||||||||||
тогда искомый тензор эффективных упругих свойств C* |
композита |
|||||||||||||||||||||
может быть рассчитан по формуле (2.68), где тензоры |
N( f,0) |
при |
||||||||||||||||||||
f = |
|
и |
|
N( f ,1) |
|
при |
|
f = |
|
|
|
могут быть определены |
через |
|||||||||
1, F |
|
|
|
1, F1 |
||||||||||||||||||
осреднение при g = 0 и 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Nijmn( f , g ) |
≡ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ U |
i()(gmn) |
),( j (ξ)dξ, |
(2.92) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ |
( f ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ( f ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
по области |
|
υ( f ) |
f-й |
|
фазы |
нормированного |
включения, индексы |
|||||||||||||||
в круглых |
скобках |
в |
(2.92) |
обозначают |
операцию |
выделения |
||||||||||||||||
87
симметричных составляющих из поля U ( g ) (ξ) по соответствующим
парам индексов.
При заданном значении однородной макродеформации композита ε* от осредненного поля U ( g ) (ξ) можно по аналогии с (2.90), (2.83) перейти к соответствующим полям осредненных перемещений
|
|
i( g ) (ξ) = |
|
imn( g ) (ξ)ε*mn , |
(2.93) |
|||||
|
|
U |
||||||||
u |
||||||||||
осредненных деформаций |
|
|
||||||||
εij( g ) (ξ) ≡ |
|
((ig, j)) (ξ) = |
|
i()gmn) |
,( j (ξ)ε*mn |
(2.94) |
||||
|
U |
|||||||||
u |
||||||||||
иосредненных напряжений
σij( g ) (ξ) = aijmn( g ) (ξ)εmn( g ) (ξ) =
= aijmn( g ) (ξ) |
|
m( g,n) (ξ) = aijmn( g ) (ξ) |
|
mpq( g ) ,n (ξ)ε*pq , |
(2.95) |
|
U |
||||
u |
где a( g ) (ξ) – пока неизвестные поля осредненных упругих свойств,
которые связывают осредненные поля напряжений σ( g ) (ξ) и деформа-
ций ε( g ) (ξ) ; будем использовать дополнительные обозначения (2.67)
a[ f ,0] ≡ a(0) (ξ) ξ υ( f ) .
Cвязь осредненных полей u ( g ) (ξ) , ε( g ) ствующими действительными полями u(r) , вительной области композита V по аналогии
(ξ) и σ( g ) (ξ) с соответ- ε(r) и σ(r) в предста- с (2.91) имеет вид
|
|
|
|
N |
|
|
|
||||
|
|
( g ) (ξ) ≡ |
1 |
∑αβ( k−)1χ(gk ) (u(r( k ) + α( k ) ξ) −u(r( k ) )), |
(2.96) |
||||||
u |
|||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
ε( g ) (ξ) ≡ |
|
∑αβ( k ) χ(gk ) ε(r( k ) |
+ α( k ) ξ) , |
(2.97) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
||
|
|
σ( g ) (ξ) ≡ |
|
∑αβ( k ) χ(gk ) σ(r( k ) |
+ α( k ) ξ) . |
(2.98) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|||
88
Осредненные поля напряжений σ( g ) (ξ) и деформаций ε( g ) (ξ)
введены через суперпозиции соответствующих действительных полей σ(r) и ε(r) в (2.97) и (2.98), следовательно, поля σ( g ) (ξ) и ε( g ) (ξ)
будут удовлетворять соответственно уравнениям равновесия
σij( g, j) (ξ) = 0 |
(2.99) |
|
и уравнениям совместности деформаций; при |
ξ → ∞ выполняются |
|
равенства |
|
|
σ( g ) |
= ζ( g )σ* , |
(2.100) |
ε( g ) |
= ζ( g ) ε* , |
(2.101) |
где ζ( g ) определен равенством (1.19) с учетом (1.20).
Таким образом, осредненные поля U (g) (ξ) , по аналогии с (2.39), есть решения соответствующих краевых задач
|
∂ |
|
|
( g ) |
|
∂ |
|
|
( g ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ) |
|
|
|
|
= 0 |
(2.102) |
|||||
|
|
aijmn |
Umpq |
(ξ) |
||||||||||
|
∂ξj |
|
|
|
|
∂ξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
при выполнении равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
imn( g ) = ζ( g ) Iipmn ξp |
|
|
(2.103) |
||||||
|
|
|
U |
|
|
|||||||||
на удалении от начала координат при ξ → ∞ . Аналогично (2.37) осредненные поля перемещений u ( g ) (ξ) при заданном значении однородной макродеформации композита ε* есть решения локальноосредненных краевых задач:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
( g ) |
∂ |
|
|
( g ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
aijmn (ξ) |
|
um |
(ξ) |
|
= 0 , |
(2.104) |
|||||
|
|
∂ξn |
|||||||||||
|
∂ξj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
когда при ξ → ∞ выполняются равенства |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
i( g ) = ζ( g ) ε*ij ξj . |
|
|
(2.105) |
|||||
|
|
|
u |
|
|
||||||||
89
Рассмотрим определение полей осредненных упругих свойств
a( g ) (ξ) в локально-осредненных |
|
|
краевых задачах |
(2.102)–(2.105). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Например, при ξ υ имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a[ f ,g ] |
≡ a( g ) (ξ) |
|
ξ υ( f ) . |
|
(2.106) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из формулы (2.95) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
σij( g ) (ξ) |
|
ξ υ( f ) |
= aijmn[ f ,g ]εmn( g ) (ξ) |
|
ξ υ( f ) , |
|
(2.107) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где с учетом (2.97), (2.98) при |
|
|
f = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1, F1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σij( g ) (ξ) |
|
ξ υ( f ) |
= |
|
|
∑αβ( k )χ(gk )σij (r( k ) +α( k )ξ) |
|
ξ υ( f ) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
∑αβ( k )χ(gk )Cijmno[ f ]χ( k )εmn (r( k ) +α( k )ξ) |
|
ξ υ( f |
) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
o[ f ] 1 |
|
|
N |
|
|
β |
|
|
|
g +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= Cijmn |
|
|
∑α( k )χ( k ) |
εmn (r( k ) +α( k )ξ) |
|
ξ υ( f ) |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= Cijmno[ f ]εmn( g +1) (ξ) |
|
ξ υ( f ) |
|
|
= Cijpqo[ f ] N pqmn( f ,g +1)ε•mn (ξ) |
|
ξ υ( f ) |
, |
(2.108) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где использовано предположение о возможности разложения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
εij( g +1) (ξ) |
|
ξ υ( f ) = Nijmn( f ,g +1)ε•mn (ξ) |
|
ξ υ( f ) , |
|
(2.109) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в которых тензоры N( f ,g +1) |
(2.92) имеют вид |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Nijmn( f ,g +1) |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫Ui() mng +1,() j (ξ)dξ |
|
(2.110) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f |
) υ( f ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Nijmn( f , g +1)ε*mn |
= |
|
|
|
1 |
|
∫ εij( g +1) (ξ)dξ, |
|
(2.111) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
υ |
(f ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ(f ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
где ε• (ξ) – пока неизвестные поля, которые введены через разложение
(2.109).
90