книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

видах нагружения. Она объединяет области знаний, известные как сопротивление материалов и механика деформируемых твердых тел, и рассматривает механическое состояние твердых деформируемых тел: валов, осей, стержней, балок, брусьев, стоек, пластин, а также конструкций из этих элементов. Предмет исследования – определение напряжений, деформаций, перемещений и изменений формы, вызванных приложенными нагрузками.

В механике материалов, как и в механике сплошной среды, для описания механического поведения конструкции широко применяется математический аппарат, который нельзя использовать для решения практических задач без установления специфических механических свойств материалов. Эти свойства, как правило, становятся известны в результате экспериментов, проведенных в специализированных лабораториях.

Окружающие тела представляют собой совокупности разного сорта молекул и атомов. Иногда тела могут быть ионизированными, то есть состоящими из электронов, ионов (атомов и молекул с лишним или недостающим числом электронов) и нейтральных частиц. Объемы пространства, занимаемые телами, существенно превышают объемы, в которых сосредоточено само вещество (атомы и молекулы). Иначе говоря, материальные тела, по существу, состоят из больших объемов пустоты и малых объемов пространства, занятого огромным числом элементарных частиц.

Для описания свойств реальных тел необходимо учитывать различные структурные особенности тел, которые могут быть газообразными, жидкими, твердыми (кристаллическими) с включениями различных фаз. При изменении температуры возникают переходные состояния, превращения одних состояний в другие состояния (твердое тело – жидкость – газ – плазма и обратно). В некоторых случаях вещество можно рассматривать одновременно как газ и жидкость, жидкость и твердое тело.

Одна точка зрения состоит в том, что механику материалов следует развивать на базе представления о материальном теле как совокупности большого числа элементарных частиц. Однако невозможно следить за движением каждой элементарной частицы из-за их

31

значительного числа и неизвестности в каждый момент времени сил взаимодействия между ними.

На практике, как правило, отсутствует необходимость знать движение каждой элементарной частицы, составляющей рассматриваемое тело, поскольку требуются только некоторые средние, суммарные, или глобальные, механические характеристики.

Одним из общих методов подхода к исследованию поведения материальных сред является развиваемый в физике статистический метод. В нем применяется вероятностный подход к изучаемым явлениям и вводятся средние по большому ансамблю частиц характеристики. Статистические методы нуждаются во введении дополнительных упрощающих гипотез о свойствах частиц и характере их взаимодействия. Однако во многих случаях не существует даже методов и способов экспериментального определения данных, необходимых для построения таких моделей. Даже если такие модели удается построить, они оказываются малоэффективными в силу чрезмерной сложности получаемых соотношений.

Другим значительно более эффективным подходом к исследованию механического движения материальных тел является построение феноменологической макроскопической теории, основанной на общих закономерностях и гипотезах, полученных в ходе экспериментов. Макроскопические теории являются эффективным средством решения практически важных прикладных инженерных задач, и полученные с их помощью сведения удовлетворительно согласуются с опытом.

В дальнейшем рассматривается именно феноменологическая макроскопическая теория материальной среды – фундаментальная основа механики материалов. Для построения теории движения жидкостей, газов и деформируемых тел вводятся три основопола-

гающие гипотезы о сплошности, пространстве и времени.

2.2.1. Гипотеза сплошности

Все тела состоят из отдельных частиц; поскольку их много в любом объеме, тело приближенно рассматривается как среда, заполняющая пространство сплошным образом (непрерывно, или конти-

32

нуально). Непрерывным континуумом можно считать не только материальные тела, но и различные поля, например гравитационное, электромагнитное или температурное поле. Эта идеализация необходима потому, что при исследовании движения деформируемых тел активно используется математический аппарат дифференциаль-

ного и интегрального исчисления.

Вводится понятие физически бесконечно малого объема dV и гипотеза о сплошности среды: предполагается, что в объеме V заключена среда массой М. Тогда можно определить среднюю плотность среды как ρср = M V . При уменьшении объема V среды, стя-

гиваемого в точку, в силу ее неоднородности плотность ρср сначала будет заметно зависеть от объема V. Такая зависимость ρср от объема справедлива лишь до тех пор, пока в объеме V достаточно много молекул вещества. При дальнейшем уменьшении объема зависимость плотности от объема начнет резко осциллировать, поскольку расстояния между молекулами будут сравнимы с размерами объема, в результате чего плотность будет резко возрастать или резко падать.

Когда среда в малом объеме станет практически однородной, плотность перестанет изменяться. Объем dV, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером рассматриваемого объекта, так что его средние характеристики можно считать постоянными, но, с другой стороны, содержит в себе настолько много молекул, что эти характеристики будут устойчивы по отношению к изменению объема, называется физически бесконечно малым объе-

мом. В дальнейшем фраза «объем стягивается в точку» и запись V → 0 будутозначать переход кфизическибесконечно маломуобъему.

Если отвлечься от молекулярного строения, среду можно представить как непрерывно распределенное («размазанное») по пространству вещество, обладающее физическими свойствами реального твердого тела, жидкости или газа. Такая среда является приближенной моделью реальной среды, которая дает достаточную точность при ее практическом изучении. Для такой среды можно строго стягивать объем в точку и делать предельный переход в обычном смысле аппарата математического анализа. Предположе-

33

ние о справедливости модели сплошной среды равносильно предположению о существовании физически бесконечно малого объема.

В дальнейшем будет использоваться также понятие бесконечно малой материальной частицы среды – физически бесконечно малого объема среды, движение которой в силу малости объема может рассматриваться как движение материальной точки, характеризуемой конечным числом параметров.

2.2.2. Гипотеза непрерывности пространства

Пространство – это совокупность точек, задаваемых с помощью чисел, которые называются координатами. Рассматриваются непрерывные пространства, в которых определена метрика13, то есть расстояние между любыми двумя точками этого пространства. Примером метрического пространства может служить обычное трехмерное евклидово14 пространство, расстояние l между двумя

Очевидно, что на плоскости всегда можно ввести единую для всей плоскости декартову15 систему двух координат. На поверхности сферы (криволинейные поверхности относятся к римановым16 пространствам), кривизна которой не равна нулю, этого сделать

13Соответствующие пространства называются метрическими.

14Евклид – древнегреческий математик, научная деятельность которого протекала в Александрии в III в. до н. э., автор первого из трактатов по математике, работ по астрономии, оптике, музыке и др.

15Декарт Рене (31.03.1596–11.02.1650) – французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики.

16Риман Георг Фридрих Бернхард (17.09.1826–20.07.1866) – немецкий математик, механик и физик, член Берлинской и Парижской академий наук, Лондонского королевского общества. Внес большой вклад в развитие арифметики, математического и комплексного анализа, дифференциальной геометрии, математической физики, топологии.

34

нельзя, то есть нельзя на сфере ввести систему двух координат так, чтобы расстояния между двумя любыми точками на ней определялись формулой вида (2.1). На сфере декартову систему координат можно ввести условно и только в малой окрестности каждой точки.

В дальнейшем будут рассматриваться евклидовы пространства, в каждом из которых можно ввести единую для всех точек пространства декартову систему координат.

2.2.3. Гипотеза абсолютного времени

Считается, что время течет одинаково для всех наблюдателей: в поезде, самолете, аудитории, на земле, на море, в воздухе, космосе и т.д. Иначе говоря, используется абсолютное время – идеализация, которая пригодна для правильного описания реальности в тех случаях, когда не учитываются пространственно-временные эффекты теории относительности А. Эйнштейна17.

17 Эйнштейн Альберт (14.03.1879–18.04.1955) – физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике, общественный деятель-гуманист, почетный доктор 20 ведущих университетов мира, член многих академий наук, иностранный почетный член АН СССР.

35

3. СИЛОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

3.1. Напряжение растяжения и сжатия

Призматический стержень (рис. 3.1, а) представляет собой изделие с постоянным по всей длине поперечным сечением и прямолинейной осью. Предполагается, что стержень закреплен неподвижно одним концом и нагружен приложенным на другом конце осевым усилием Р, которое вызывает равномерное растяжение стержня.

m P

σ

б

Рис. 3.1. Растяжение призматического стержня. Напряжение

Проведя мысленно сечение стержня плоскостью mm, перпендикулярной его оси, можно выделить часть стержня, расположенную справа от этого сечения, и рассматривать ее как свободное тело (см. рис. 3.1, а). К правому концу этого тела приложена растягивающая сила Р, а к левому – силы, представляющие собой действие на него отброшенной части стержня. Эти силы будут непрерывно распределены по всему поперечному сечению стержня аналогично непрерывному распределению гидростатического давления по поверхности тела, погруженного в жидкость. Интенсивность силы, то есть сила, отнесенная к единице площади поперечного сечения, называется механическим напряжением и обычно обозначается греческой буквой σ18.

18 Греческая буква «сигма».

36

Предполагая, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению образца, то есть в рассматриваемом сечении

σ= const, можно заметить, что

σdS = σF,

то есть их равнодействующая равна интенсивности напряжения σ, умноженной на площадь F поперечного сечения стержня. Кроме того, из условия равновесия тела, изображенного на рис. 3.1, б, следует, что эта равнодействующая должна быть равна по величине силе Р и противоположна ей по направлению. Отсюда следует соотношение

Эта формула для равномерного напряжения в призматическом стержне показывает, что напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь, то есть Н/м2, или Па. Когда стержень растягивается силами Р, как это показано на рисунке, возникает растягивающее напряжение; если силы имеют противоположные направления и вызывают сжатиестержня, тонапряжениеназываетсясжимающим.

Необходимым условием справедливости формулы (3.1) является то, что напряжение σ должно быть постоянным по всему поперечному сечению стержня. Это условие будет реализовано, если осевая сила Р будет приложена к центру тяжести поперечного сечения, что следует из уравнения равновесия стержня. Если нагрузка Р приложена не к центру тяжести, то в результате возникает изгиб стержня, при этом необходим более сложный анализ. В дальнейшем предполагается, что все продольные силы приложены к центру тяжести поперечного сечения. Кроме того, если не оговаривается особо, считается, что весом самого рассматриваемого элемента можно пренебречь.

3.2. Напряжение при чистом изгибе

Эксперименты [28] показывают, что при изгибе балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 3.2) вертикальные линии mm и рр остаются прямыми и поворачиваются так, что остаются нормальными к продольным волокнам балки (см. рис. 3.2, а).

37

Рис. 3.2. Схема [28] деформирования продольного (а) и поперечного (б) сечений балки, распределение напряжения (в) при чистом изгибе

Теория изгиба балок (в том числе с произвольной формой поперечного сечения), основанная на предположении, что все поперечные сечения балки, первоначально плоские, остаются и после изгиба плоскими и нормальными к продольным волокнам балки, дает очень точные результаты как для прогиба балок, так и для деформации продольных волокон. При этом продольные волокна на выпуклой стороне балки испытывают растяжение, а на вогнутой стороне – сжатие.

Кроме того, опыты показывают, что продольное растяжение волокон на выпуклой стороне балки сопровождается поперечным сжатием, продольное сжатие на вогнутой стороне – поперечным расширением. В результате этого изменяется форма поперечного сечения, вертикальные стороны прямоугольного поперечного сечения становятся наклонными друг к другу (см. рис. 3.2, б).

Теоретическое исследование показывает, что при сделанных допущениях напряжение по сечению балки распределяется линейно

(см. рис. 3.2, в):

r – радиус кривизны изогнутой балки; y – расстояние до рассматриваемой материальной частицы (указано на рис. 3.2, в).

19 Греческая буква «каппа».

38

3.3.Напряжение сдвига

Вкачестве примера возникновения сдвигающего напряжения рассматривается соединение (рис. 3.3, а), состоящее из проушины А, серьги С и болта В, который проходит через отверстия в проушине и серьге [28]. При действии нагрузки Р проушина и серьга давят на болт, в котором будут развиваться контактные напряжения в сече-

ниях mn и pq (рис. 3.3, б), перерезающие болт.

Рис. 3.3. Пример [28] напряжения сдвига (пояснения даны в тексте)

На рис. 3.3, в приведена схема сил, действующих на часть болта, выделенную сечениями mn и pq, как на незакрепленное тело. Понятно, что перерезывающие (сдвигающие) силы Q должны действовать вдоль поверхностей сечений. Эти сдвигающие силы вызывают

напряжение сдвига τ20, или касательное напряжение. Касательное напряжение распределено по поперечному сечению болта и определяется отношением силы Q к площади F поперечного сечения, в котором эта сила действует:

τ= Q / F.

3.4.Напряжение кручения

Рассматривается стержень кругового поперечного сечения, на концах которого приложены крутящие моменты Т (рис. 3.4, а), находящийся в состоянии чистого кручения [28].

20 Греческая буква «тау».

39

Рис. 3.4. Напряжения кручения при нагружении стержня крутящим моментом Т

Эксперименты показывают, что при небольших углах закручивания ϕ поперечные сечения стержня поворачиваются относительно продольной оси как жесткие тела и при этом сохраняют форму кругов; его радиусы остаются прямолинейными и не изменяются, как и длина стержня.

Напряжение сдвига τ, или касательное напряжение, возникающее в стержне при кручении, имеет направление, показанное на рис. 3.4; его значение зависит от расстояния до оси стержня и определяется соотношением

τ = Tr / J ,

где r – расстояние от центральной оси до рассматриваемой частицы материала; J – полярный момент инерции поперечного сечения

стержня, J = πr4 / 2 .

3.5. Напряженное состояние при произвольном нагружении

Винженерной практике, как правило, встречаются случаи, когда на исследуемый объект действует целая система растягивающих и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов (рис. 3.5).

Врезультате условно выделяемые в теле малые элементы будут испытывать растягивающие (сжимающие) напряжения от усилия растяжения (сжатия) и изгибающего момента, а также касательные напряжения от перерезывающей нагрузки и крутящего момента.

Вслучае неоднородного распределения действующих нагрузок в отдельных местах конструкции нормальное растягивающее (сжимающее) напряжение от растягивающего (сжимающего) усилия

40