Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Таким образом, в резистивном элементе с сопротивлением R электромагнитная энергия преобразуется в тепловую при мощности преобразования Pср = I 2 R. Резистивные элементы вводят в схему так-

же и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.

3.2.2. Гармонический ток в индуктивности

Индуктивность – идеализированный		iL	L
двухполюсный пассивный элемент цепи, который
учитывает энергию магнитного поля W =	LiL2		uL
	.
магн	2		eL

При увеличении (уменьшении) тока энергия маг-			Рис. 3.5
			Рис. 3.5

нитного поля увеличивается (уменьшается). Следовательно, индуктивные элементы можно рассматривать как аккумуляторы (накопители магнитной энергии).

Если цепь обладает только индуктивностью и по ней протекает синусоидальный ток, то потокосцепление цепи ψ = LiL .

Изменение потокосцепления вызывает появление ЭДС самоиндукции eL. По закону Ленца eL препятствует изменению тока. Поэтому при традиционном выборе одинаковых положительных направ-

лений для тока iL и ЭДС eL, как показано на рис. 3.5, знаки eL и						diL
						dt
						dt
противоположны и eL	= −	dψ	= −L	diL	. Чтобы через индуктивность
противоположны и eL	= −	dt	= −L		. Чтобы через индуктивность
		dt		dt

проходил переменный ток, к ее выводам надо приложить напряжение uL, равное по величине и противоположное по направлению ЭДС eL:

u	L = −	e		=	L	diL	=		(3.15)
			L					L
								L i′ ,

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью. Единица измерения индуктивности – генри (Гн).

Поскольку электрическому току всегда сопутствует магнитное поле, любой обтекаемый током участок цепи, представляющий электротехническое устройство, должен характеризоваться индуктивно-

стью.

Если iL = Im sin(ω

t + ψ i ),

тогда

cos (

)

Li′

sin

+ ψ

+ ψ i + 2

(3.16)

ψ u

= U m sin (ω

u ) .

t + ψ

Закон

Ома

для

цепи

индуктивным

элементом

U m

= ω L = X L .

ω L = X L

– реактивное индуктивное сопротивление, имеющее

размерность сопротивления. Полное сопротивление Z также равно XL.

Начальная

фаза

напряжения

ψ u

= ψ

i +

сдвиг

фаз

ϕ = ψ

u − ψ

i =

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на индуктивности связаны законом Ома.

2. Напряжение uL

опережает по фазе ток iL на

Мгновенная мощность

p(t) = uL (t)iL (t) = Um Im sin

t +

sin ω

t =

(3.17)

Um Im cos ω t +

− ω t

− cos

t +

+ ω

	1				π		1
= −		Um Im cos 2ω t		+		=		Um Im sin 2ω t = UI sin 2ω t =
	2				2		2

= ω	LI 2 sin 2ω		t = X L I 2 sin 2ω				t.

Из выражения (3.17) следует, что средняя мощность за период, а следовательно, и активная мощность равны нулю. Индуктивность – реактивный элемент.

Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 3.6). Если p(t) > 0, индуктивность заряжается энергией в виде энергии магнитного поля; если p(t) < 0, индуктивность возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период Pср = 0 (мгновенная мощность колеблется относительно нуля).

p, u, i	p(t)

iL(t)

uL(t)

Рис. 3.6

Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на индуктивном элементе представлены на рис. 3.6.

Реактивная индуктивная проводимость – величина, обратная реактивному индуктивному сопротивлению

BL =	Im	=	I	=	1	=	1	.	(3.18)
	U m		U		ω L		X L

iC C

Рис.. 3.7

3.2.3. Гармонический ток в емкости

Емкостный элемент цепи с емкостью С – идеализированный двухполюсный пассивный элемент, учитывающий запасание энергии электрического поля

Wэл = CuC2 .

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах (обкладках конденсатора), и при указанном положительном направлении тока (рис. 3.7) знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда q.

i = dq = C duC dt dt

Единица измерения емкости – Пусть uC (t ) = U m sin(ω t + ψ u ),

= Cu′ .

фарада (Ф).

тогда

C =

mω

+ ψ

)

+ ψ

Cu′

cos ( t

sin

Отсюда Im = U mω C .

Реактивное емкостное сопротивление

(3.19)


		π
	+	π	. (3.20)
u	+	2	. (3.20)
		2
ψ
ψ	i

X C

U m

I U mω C

ω C

Полное сопротивление Z также равно XC .

Фаза тока ψ i = ψ

u +

, а сдвиг фаз ϕ

= ψ u − ψ i

= −

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на емкости связаны законом Ома.

2. Напряжение uC отстает по фазе от тока iC					на	π	.
2. Напряжение uC отстает по фазе от тока iC					на		.
					2
Мгновенная мощность
			π				2
p(t) = uC iC = U m Im sin ω t sin	ω	t +		= UI sin 2ω t = ω CU				sin 2ω t .
p(t) = uC iC = U m Im sin ω t sin	ω	t +	2	= UI sin 2ω t = ω CU				sin 2ω t .
			2

Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 3.8). Если p(t) > 0, емкость заряжается энергией электрического поля; если p(t) < 0, емкость возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период Pср = 0, активная мощность равна нулю, т.е. происходит обмен энергией без потерь и емкость – реактивный элемент.

p, u, i

uC(t) p(t)

t iC(t)

Рис. 3.8

Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на емкостном элементе представлены на рис. 3.8.

Реактивная емкостная проводимость

BC	=	Im	=	I	= ω С =	1	.	(3.21)

	U m		U			X C

3.2.4. Последовательное соединение R, L, C

Для мгновенных значений токов и напряжений выполняются I и II законы Кирхгофа.

		При прохождении синусоидального тока i = Im sin (ω t + ψ								i )	че-
a		R	L	C		рез электрическую цепь, состоя-
					b	щую	из	последовательно		соеди-

	i					ненных		элементов	R,	L,	C
		uR	uL	uC		(рис. 3.9),		на выводах a – b этой
	iL
			Рис. 3.9			цепи	создается синусоидальное

			Рис. 3.9			напряжение, равное			по II закону

Кирхгофа алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах:

uab (t) = uR + uL + uC ,

uR = iR,

uC =

∫idt,

uL = Li′,

uab = Im R sin (ω

i )+ Im X L

t + ψ

sin ω

t + ψ i

= Im R sin (ω

i )+ Im X L cos (ω t + ψ

i )−

+ Im X C

sin ω

t + ψ

−

+ ψ

− Im X C cos (ω

t + ψ

i ) = Im

(R sin (ω t + ψ

i )+

(X L − X C )cos (ω

t + ψ

i )).

Из тригонометрии известно, что

m sin α

+ n cos α =

+ n

sin α + arctg

Применим формулу (3.23) к выражению (3.22):

uab = Im

X L − X C

+ (X L − X C ) sin ω t + ψ i

+ arctg

t + ψ

X L − X C

u ).

= Im Z sin

i + arctg

= U m sin(ω t + ψ

Реактивное сопротивление последовательной RLC-цепи

(3.22)

(3.23)

(3.24)

X = X L − X C = ω L −	1
	ω C

может принимать следующие значения:

X = 0 – цепь имеет чисто активный характер (в цепи резонанс напряжений);

X > 0 –	цепь имеет индуктивный характер, т.е. ω L >			1	;
			ω
				C
X < 0 –	цепь имеет емкостный характер, т.е. ω L <	1		.

		ω C
Полное сопротивление цепи
Z = U m = U = R2 + X 2 = R2 + (X L − X C )2 ;
	Im I

угол сдвига фаз

ϕ = ψ u − ψ i	= arctg	X	= arctg	X L − X C
				R
		R

определяется по оси ω t от кривой напряжения к кривой тока и бывает острым или прямым: ϕ < 0 при емкостном характере цепи (ток опережает напряжение), ϕ > 0 при индуктивном характере цепи (ток отстает по фазе от напряжения), ϕ = 0 при резистивном характере цепи (индуктивное и емкостное сопротивления равны) – такой режим цепи называют резонансом напряжений.

Из выражений ϕ = arctg X и Z = R2 + X 2 следует, что связь

активного и реактивного сопротивления с полным сопротивлением выражается следующими формулами:

R = Z cos ϕ ; X = Z sin ϕ ,	(3.25)	Z
		X
что удобно представлять с помощью треуголь-		ϕ
ника сопротивлений (рис. 3.10).		R
Умножив левые и правые части выраже-		РисРис. 3..103.10
ний для сопротивлений (3.25)	на действующее	РисРис. 3..103.10
ний для сопротивлений (3.25)	на действующее

значение тока I, получим соответственно действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, которые назы-

вают активной и реактивной составляющими напряжения:

Uа = IR = IZ cosϕ = U cos ϕ , Uр = IX = IZ sin ϕ = U sin ϕ . (3.26)

Тогда действующее значение суммарного напряжения можно определить как U = Ua2 +U p2 . Для напряжений также можно построить прямоугольный треугольник напряжений.

3.2.5. Параллельное соединение R, L, C

a	i
u(t)	iR	iL	iС
u(t)	R	L	C
			C
b	Рис. 3.11
	Рис. 3.11
		.

Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L, C (рис. 3.11), приложено синусоидальное напряжение u(t) = U m sin(ω t + ψ u ), то по

I закону Кирхгофа синусоидальный ток в неразветвленной части равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях i(t) = iR + iL + iC ,

где iR

(t) =

Um sin (ω

t + ψ

u ) совпадает по фазе с напряжением u(t);

∫uL dt =

∫[U m sin(ω

u )]dt =

iL (t) =

t + ψ

U m sin ω

t + ψ

−

ω L

= −

U m cos (ω

t + ψ

u ) отстает по фазе от напряжения u(t) на

;

C =

C [U

+ ψ

)]′

+ ψ u

)

опережа

i (t)

Cu′

sin (

cos ( t

ет по фазе напряжение u(t) на π . 2

Просуммируем:

i(t) =

U m sin(ω t + ψ u )−

U m cos (ω t + ψ

u )+

ω L

+ ω CU m cos (ω

t + ψ

u ) =

(3.27)

sin (ω

u ) =

= U m

t + ψ

− ω

u )−

C cos (ω t + ψ

= U m [G sin (ω

t + ψ

u )− B cos (ω

t + ψ u )].

Выражение (3.27) является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.

Активная проводимость цепи G = 1 всегда положительна.

Реактивная проводимость цепи B = BL − BC , в зависимости от

знака которой цепь может иметь индуктивный (В > 0) или емкостный (B < 0) характер. Если В = 0, цепь носит активный характер (резонанс токов).

Для нахождения Im и ϕ воспользуемся приемом, приведенным в предыдущем разделе:

u − ϕ ),

i(t) = U m

G2 + B2 sin

ω t + ψ u + γ

= U mY sin (ω

t + ψ

(3.28)

ψ i

т.е. ток отстает от напряжения на угол ϕ .

Здесь

ψ u – начальная фаза напряжения;

u + γ

–

начальная фаза тока;

− ψ

= −γ = ϕ –

сдвиг фаз;

– амплитудное значение тока,

Im = U m

G2 + B2 = U mY ;

Y – полная проводимость цепи,

Y = G2 + B2

(величина, об-

ратная полному сопротивлению, Y =

);

− ω C

– угол сдвига фаз, ϕ = arctg

= arctg

ω L

, он определя-

ется по оси ω

t в направлении от напряжения к току,

≤

> 0

при индуктивном характере цепи, т.е. при B > 0; при

этом напряжение опережает ток по фазе.

ϕ < 0 при емкостном характере цепи, т.е. при B < 0; при этом

ток опережает по фазе напряжение.

ϕ = 0 при резистивном характере цепи, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей B = BL − BC = 0 ; при этом ток

совпадает по фазе с напряжением. Такой режим работы электрической цепи называют резонансом токов.

Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами

G = Y cos ϕ ; B = Y sin ϕ .

(3.29)

Для проводимостей также можно построить треугольник про-

водимостей.

Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:

UG = UY cos ϕ = I cos ϕ = Ia ; UB = UY sin ϕ = I sin ϕ = Ip .

(3.30)

Активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

I = Ia2 + Ip2 .

Для токов также можно построить треугольник токов. Следует отметить, что описывать электрические цепи сину-

соидального тока, оперируя понятиями мгновенного значения тока и напряжения, достаточно трудоемко и этот метод применим только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.91 Mб18Теория инженерного эксперимента..pdf
#
12.11.202310.16 Mб2Теория информации..pdf
#
12.11.202315.46 Mб0Теория ленточных конвейеров для крупнокусковых горных пород..pdf
#
12.11.2023610.78 Кб1Теория лидерства лидерство в организации..pdf
#
12.11.20231.63 Mб6Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы.pdf
#
12.11.20233.18 Mб50Теория линейных электрических цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20231.54 Mб2Теория линейных электрических цепей. Ч. 2.pdf
#
13.11.202324.53 Mб11Теория литейных процессов..pdf
#
12.11.202313.07 Mб7Теория механизмов и машин задания, упражнения и задачи к курсовому проекту..pdf
#
12.11.202316.79 Mб5Теория механизмов и машин курсовое проектирование..pdf
#
12.11.20239.05 Mб36Теория механизмов и машин сборник задач и тестов..pdf