книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

И.Э. Келлер, Д.С. Дудин

МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2022

3.3.Динамические структуры и балансовые уравнения системы

4

Введение

Формулировки современных моделей механики материалов, технологических процессов, динамики и прочности машин, конструкций и приборов, как правило, представляют собой связанные уравнения движения, термодинамики, массопереноса, электромагнитных, гравитационных и химических явлений и нуждаются в учете геометрически нелинейных эффектов, а также «скрытых» движений и микроструктуры. Последние в механике сплошной среды можно учитывать по-разному, в том числе и на уровне законов сохранения.

В данном учебном пособии последовательно вводятся основные полевые величины механики, термодинамики и массопереноса сплошной среды и формулируются законы сохранения (балансовые уравнения) для них. Второе начало термодинамики, записанное в виде системы балансового уравнения и фундаментального неравенства, позволяет получить ограничения на физические уравнения (определяющие соотношения), которые необходимы для получения замкнутой системы уравнений. Частные теории, формулируемые таким образом, рассматриваются в следующей части учебного пособия. Здесь лишь продемонстрирован метод на примерах нескольких классических сред и при получении замкнутых связанных уравнений взаимной диффузии в вязкоупругой среде.

Все величины и уравнения последовательно вводятся в геометрически нелинейном виде. Геометрическая нелинейность необходима для возможности исследования бифуркационных и закритических явлений. Физическая нелинейность для этого, конечно, также важна, но изучается в рамках частных определяющих соотношений и теорий в следующей части учебного пособия.

Уравнение совместности деформаций также записывается в виде закона сохранения (сплошности). Это дает возможность записать всю систему законов сохранения задачи в дивергентном виде, что благоприятно для построения численной схемы решения задачи, а также вывести из них соотношения на внешних и внутренних границах тела (граничные условия задачи).

Курс ориентирован (своим геометрически нелинейным изложением) на деформируемые твердые тела. Однако данный аппарат может быть полезен также для формулировки моделей и постановки задач для нелинейных, наследственных жидкостей и жидкостей с микроструктурой.

При изложении материала использованы прямая (бескомпонентная) запись тензоров и обозначения, принятые в учебном пособии [1]. При

5

изложении материала опирались на учебные пособия и монографии, приведенные в библиографическом списке. Общие ссылки на источники даются в начале каждой главы; иногда (на некоторые частные вопросы) ― и в тексте. При изложении материала авторы позволили себе не углубляться в историю и вопросы приоритета. Главы 1‒3 и 5 написаны И.Э. Келлером, главы 4 и 6 ― совместно И.Э. Келлером и Д.С. Дудиным.

6

1.Деформации сплошной среды

1.1.Материальный континуум

Математическое описание процессов деформирования или течения сред требует некоторых, хотя бы грубых, представлений об их строении. Вероятно, можно принять, что все среды состоят из неких частиц. Если среда

— это песок, то ее частицами можно считать песчинки, если вода — то молекулы воды, если металлический поликристалл — то атомы металла либо зерна поликристалла. Тогда деформирование или течение среды можно представить как изменение относительного расположения составляющих ее частиц. Детализируя закон взаимодействия частиц среды и записывая для них законы динамики, можно прийти к достаточно содержательному описанию процесса. Для песка в качестве закона взаимодействия песчинок можно выбрать закон трения Кулона, для атомов кристаллической решетки металла — какой-либо атомный потенциал. Если частицу воспринимать как жесткое тело, то для нее в качестве законов динамики необходимо записать законы сохранения импульса и момента импульса, если же достаточно считать ее материальной точкой, то потребуется только закон сохранения импульса. Также необходимо принять гипотезы, определяющие, как детально будет рассматриваться кинематика относительного движения частиц. От выбора частиц, закона взаимодействия, законов динамики и кинематических гипотез существенным образом зависит поведение, описываемое моделью исследуемой среды. Чтобы приблизить это поведение к реальному, необходимо представлять себе строение среды, физические механизмы, управляющие ее поведением, масштаб, на котором эти механизмы функционируют, влияние условий испытания (температура, скорость нагружения и история термомеханического нагружения). Для этого требуется опыт и интуиция.

Если точно следовать намеченному выше алгоритму, мы получим модель движения среды в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, количество которых равно произведению числа степеней свободы частицы на число частиц. Последних в изучаемом объеме среды оказывается довольно много, и разумным будет сгладить, «размазать« дискретные поля по объему, занимаемому средой. Механические величины, заданные на дискретном множестве точек, интерполируются непрерывными функциями требуемой гладкости. При этом уравнения, описывающие движение среды, превращаются из обыкновенных дифференциальных уравнений в уравнения

7

вчастных производных. Такую непрерывную модель среды называют

сплошной средой или континуумом (от латинского continuum ―

непрерывный).

При континуализации мы переходим от систем с конечным или счетным числом степеней свободы к системам с несчетным числом степеней свободы, материальным континуумом. Однако, когда механики говорят о точке среды, они чаще всего подразумевают малый, но конечный ее объем, названный нами ранее частицей. Точнее, они говорят о механических переменных этой частицы (скорость, сила), отнесенных к геометрической точке ее центра масс. Континуализация обычно сопровождается переходом от экстенсивных механических характеристик к интенсивным. Точке континуума, например, ставят в соответствие плотность массы, а не массу, силу, отнесенную к объему или площади, а не собственно силу. Переменные, являющиеся интенсивными по определению, например, перемещение, скорость перемещения и т.д., сохраняют собственный смысл.

Каков же итог? Выходит, мы дробили среду на частицы, чтобы потом склеить из них грубую копию этой среды? Это так, и это неплохо, потому что

врезультате мы смогли выяснить принципиальные моменты и получить уравнения механического поведения деформируемой среды.

Важно понимать, что процессы движения сред не всегда определяются поведением мельчайших составляющих их частиц. Чтобы лучше описать эти процессы, помогут скорее не открытия физиками все более мелких частиц материи, а понимание причинно-следственных связей на некотором масштабе (или ряде масштабов) изучаемой среды. Континуализация сглаживает возможные осцилляции полей на масштабах меньше размера частиц, но чаще всего нас и не интересует тонкая структура полей ниже некоторого масштаба, а только осредненные значения. Или же физический механизм наблюдаемого поведения материала располагается на определенном масштабном уровне. И размер частиц в «корпускулярном» представлении тела оказывается много больше тех масштабов, на которые рассчитана существующая измерительная техника (и определяется не ею). Как заметил Э.А. По, «ошибки в исследованиях обычно проистекают из свойственной человеческому разуму склонности недооценивать или же преувеличивать значение исследуемого предмета из-за неверного определения его удаленности от нас«.

Примерами деформируемых континуумов могут служить нити, ткани, сети, жидкости, газы, гранулированные среды, смолы, стекла, бетон, металлы, горные породы, резины, плазма, звездные системы и многие другие среды. Одни из них заметно и охотно изменяют свою геометрию при

8

внешних воздействиях, другие — нет. Частицы гибкой, но нерастяжимой нити при ее деформировании не изменяют расстояния до ближайших соседей. «Частицы» же автомобильного потока на длинном участке дороги вообще не взаимодействуют между собой (если не сталкиваются).

В двух следующих главах изучается движение континуума без рассмотрения вызвавших его причин. Частицы среды будут отождествляться с материальными точками, понимаемыми в смысле теоретической механики. При изложении материала глав 1‒3 использовались источники [2 – 12].

9

1.2. Лагранжев закон движения континуума

Допустим, мы изучаем движение в пространстве довольно большой системы материальных точек. Чтобы различать друг от друга, точки системы можно пронумеровать или дать каждой из них неповторимое имя. Наиболее естественным, хотя и необычным, именем материальной точки оказывается место в пространстве, которое она занимала в начальный момент времени, то есть тройка ее начальных пространственных координат. Такие «имена» материальных точек называют лагранжевыми координатами. Для континуальных систем, изучаемых в данном пособии, нумерация их элементов невозможна, и этот способ идентификации точек вообще оказывается единственным. При движении материальных точек их пространственные координаты изменяются. Лагранжевы координаты — имена наших точек ― при этом не меняются, они даются раз и навсегда. И те, и другие — координаты материальных точек, а не точек пространства. Лагранжевы координаты — это и имена материальных точек, и пространственные координаты последних в начальный момент времени. Лагранжева система координат вморожена в материальную среду и деформируется вместе с ней, пространственная же является внешней по отношению к движущемуся материальному континууму.

Если все поля движущегося материального континуума рассматриваются как функции лагранжевых координат и времени, то такой

способ описания движения называется лагранжевым.

Запишем сказанное математически. Точку пространства (имеется в виду трехмерное точечное аффинное евклидово пространство [1], внешнее по отношению к движущемуся континууму) будем задавать координатами (в некоторой произвольной пространственной системе координат i ) или

причем

xˆ ( x,0) x .

Если x пробегает все точки тела, то (1.1) представляет собой лагранжев закон движения этого тела. Для любого фиксированного момента времени t этот закон определяет в общем случае текущее положение тела в пространстве и, что более важно, взаимное расположение точек тела, то есть

10