книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения
.pdf
e |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
Vk cˆk , cˆk |
|
dck |
|
ck |
|
|||
m |
|
|
|
|
v cˆk . |
(6.46) |
||
dt |
t |
|||||||
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В настоящем контексте обозначение материальной производной будет иметь смысл, указанный в (6.46). Чтобы получить выражение для vm , необходимо
выражение J 1 vm em |
подставить в (6.44), откуда vm |
Vk ck 1 . Далее |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
это равенство дифференцируем по времени с учётом |
k cˆkVk |
0 , |
ck Jcˆk , |
|||||||
v |
J v |
и уравнений баланса компонент и получаем |
|
|
|
|
||||
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
Vk ck |
/ J |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(6.47) |
|
|
m |
Vk jk . |
|
|
|
||||
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
Вместо балансового уравнения для компоненты N удобно использовать выражение, вытекающее из суммы законов баланса вещества (табл. 6.2,
строка |
3), |
умноженных |
|
на |
соответствующие |
молярные |
объёмы |
||||
Vk cˆk |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
которое |
|
преобразуется |
после |
|||
Vk cˆk v Vk |
jk , |
|
|||||||||
k |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановки (6.45) и (6.46) в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
e |
, |
|
(6.48) |
|
|
v Vk jk |
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
1 e |
V . Согласно (6.48) |
||
где в силу малости деформаций принято |
V |
/ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
m |
k |
|
|
при условии молекулярной несжимаемости в отсутствии упругости скорость объёмных деформаций определяется диффузионным массопереносом.
Неравенство (6.32) модифицируется с учётом (6.47)
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
f |
|
|
e |
|
|
f |
|
|
|
e |
|
||||||
|
jk |
k |
k |
|
|
mVk |
ik |
s : e |
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
s |
|
|
|
: e |
|
0 |
||||||||||||||||
ck |
|
|
|
|
|
ee |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и удовлетворяется соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
c |
|
mVk , m e |
|
, s ee |
|
|
jk |
|
|
, s 2 e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
ck Mk |
|
|
|
k |
|
|
|
(6.49) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ik |
|
μk |
|
|
|
σmVk |
, σm |
|
|
e , s |
|
|
|
e , jk |
|
|
k |
, s 2 e |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ck |
|
|
|
|
e |
|
ck Mk |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в зависимости от обратимости либо необратимости процесса объемного внедрения. Чтобы записать окончательные выражения для первых трёх
уравнений (6.49) используется потенциал (6.36) и (6.37) при |
x |
c |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
что даёт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 RT ln |
|
|
|
1 |
|
|
m |
ck |
|
|
, |
|
|||||||||
p p |
|
|
V |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K k |
|
ck |
|
|
|
|
|
|||
|
k |
k |
|
|
|
k |
|
k |
k |
|
|
p |
|
|
ˆ |
|
k m |
|
|
||
|
|
|
m |
|
K |
p |
|
e |
ch |
ˆ |
|
|
2G |
p |
e |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
k |
m |
m |
ck , s |
|
|
k e |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ,
k k
(6.50)
где в k использовано выражение (6.50)2 и применено условие малости деформаций аналогично (6.39). Итоговая система уравнений представлена в табл. 6.4.
Таблица 6.4 Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала при условии молекулярной несжимаемости
Величина |
Уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Баланс вещества |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
, |
i 1,...,N 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cˆi cˆi v |
ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
e |
|
|
|
dcˆi |
|
|
cˆi |
|
ˆ |
|
|
||||||
|
v k Vk jk |
m |
, cˆi |
|
|
|
|
|
t |
v cˆi |
|
|
||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диффузионные потоки |
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jk |
cˆk Mk k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Химические потенциалы |
0 RT ln p p |
|
1 |
|
|
|
m cˆk |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
k |
|
|
|
cˆk |
|
|
||||||
|
|
k |
|
k |
|
|
|
k |
|
k |
k |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
k |
m |
|||
Уравнение равновесия |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Напряжения |
σ m I s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематическое |
|
e |
v |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e e |
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
соотношение |
v v |
v I / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реологические уравнения |
m |
|
|
p |
e |
|
|
ch |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
e |
e |
2 e |
v |
|
||||
|
K k |
m m |
сk , |
s 2G k |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Молекулярная |
m |
1 k Vk cˆk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несжимаемость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующая гипотеза, связывающая конвективную скорость со скоростью характеристической системы отсчёта, необходима для любой из вышерассмотренных связанных моделей. Если в рамках модели связанного процесса диффузии и деформации принимается закон диффузии, определенный относительно средней скорости многокомпонентной среды либо относительно маркера, то условие свободной деформации образца позволяет воспроизвести эксперимент, из которого определяются коэффициенты этого закона.
132
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Келлер И.Э. Тензорное исчисление: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2012.
130 с.
2.Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.
3.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
4.Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 272 с.
5.Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.
6.Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336 с.
7.Можен Ж. Механика сплошных электромагнитных сред. М.: Мир, 1991. 560 с.
8.Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998. 280 с.
9.Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: учебник. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
10.Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: учебник. М.: Наука, 2000. 214 с.
11.Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: СО РАН, 2000. 262 с.
12.Hill R. Aspects of Invariance in Solid Mechanics // Advances in Applied Mechanics. 1978. Vol. 18. P. 1‒75.
13.Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1972. 400 с.
14.Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука-Физматлит, 1983. 416 с.
15.Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука-Физматлит, 1982. 608 с.
16.Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.
456 с.
17.Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1967. 541 с.
18.Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974. 303 с.
19.Wilmanski K. Continuum Thermodynamics. Part I: Foundations // Series on
Advances in Mathematics for Applies Sciences. – 2008. – Vol. 77. – 420 p.
133
20.Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985.
200 с.
21.Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.
22.Maugin G.A. Material inhomogeneities in elasticity. Chapman and Hall, 1993. 276 p.
23.Kienzler R. Mechanics in material space: with applications to defect and fracture mechanics. Springer, 2000, 153 p.
24.Фрейдин А. Б. Механика разрушения. Задача Эшелби. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 237 c.
25.Gurtin M.E. Configurational forces as basic concepts of continuum physics. Springer, 2000. 249 p.
26.Mehrer H. Diffusion in Solids. Springer, 2007. Vol. 155. 654 p.
134
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аффинор |
14 |
Адиабата |
75 |
Абсолютная температура |
76 |
Абсолютная энтропия |
76 |
Адиабатический потенциал |
77 |
Большая система |
72 |
Вектор малых поворотов |
24 |
Внешняя сила |
72 |
Внутренняя энергия |
77 |
Волна ускорения |
112 |
Взаимная диффузия |
118 |
Вакансионный ветер |
121 |
Градиент места |
13 |
Главное удлинение |
16 |
Гипотеза континуума |
33 |
Градиент скорости |
34 |
Галилеевы преобразования |
69 |
Деформация тела |
11 |
Деформатор |
24 |
Диаграмма состояния |
92 |
Диффузионный поток |
117 |
Закон взаимодействия |
7 |
Закон динамики |
7 |
Закрытая система |
83 |
Замкнутая система |
83 |
Закон действующих масс |
97 |
Закон Фурье |
103 |
Изотерма |
75 |
Изотермический потенциал |
80 |
|
135 |
Истинная скорость объемного внедрения |
126 |
Кинематическая гипотеза |
7 |
Континуум |
8 |
Конфигурация |
11 |
Кратность удлинения |
16 |
Кратность изменения объема |
23 |
Конвективная производная |
31 |
Коротационная производная |
40 |
Конвективный поток |
44 |
Кондуктивный поток |
44 |
Классический континуум |
48 |
Континуум Коссера |
48 |
Классическая термодинамика |
74 |
Квазистатическое воздействие |
75 |
Коэффициент полезного действия |
79 |
Компонента |
87 |
Кривая равновесия фаз |
90 |
Критическая точка |
92 |
Коэффициент взаимной диффузии |
120 |
Коэффициент самодиффузии |
121 |
Коэффициент термодинамической активности |
127 |
Лагранжевы координаты |
10 |
Лагранжев закон движения |
10 |
Локальная деформация |
14 |
Левый эллипсоид деформации |
17 |
Логарифмические меры |
20 |
Левое семейство мер деформации |
20 |
Локальная производная |
31 |
Материальная точка |
9 |
Мера деформации Грина |
20 |
Мера деформации Альманси |
20 |
136 |
|
Мера относительного удлинения |
20 |
Материальная площадка |
22 |
Малые деформации |
23 |
Материальная производная |
30 |
Массовая плотность |
45 |
Микроморфный континуум |
48 |
Момент-пара |
50 |
Массовая плотность силы |
51 |
Мощность напряжений |
59 |
Моль вещества |
82 |
Механическая смесь |
88 |
Молярная теплота перехода |
90 |
Массовая доля |
102 |
Молярная масса |
117 |
Молярный объем |
117 |
Мольная концентрация |
117 |
Мольная доля |
117 |
Маркер |
121 |
Неравенство Клаузиуса – Дюгема |
103 |
Несбалансированные плотности потоков |
122 |
Отсчетная конфигурация |
11 |
Основная гипотеза континуума |
11 |
Объемная плотность |
43 |
Обобщенный континуум |
48 |
Объемная удельная сила |
51 |
Основная лемма Коши |
53 |
Обратимый процесс |
75 |
Основное термодинамическое тождество |
78 |
Объемная доля |
117 |
Относительная объемная доля |
117 |
Правый эллипсоид деформации |
16 |
137 |
|
Предельный трехгранник |
17 |
Простой сдвиг |
18 |
Правое семейство мер деформации |
20 |
Производная Олдройда |
39 |
Производная Коттера – Ривлина |
40 |
Производная Яуманна |
40 |
Плотность массы |
45 |
Принцип действия и противодействия |
50 |
Поверхностная сила |
51 |
Принцип разрезания Эйлера – Коши |
52 |
Постулат Коши |
53 |
Производная Хилла |
66 |
Производная Трусделла |
66 |
Приложенная сила |
72 |
Переменная состояния |
74 |
Принцип температуры |
75 |
Принцип энтропии |
75 |
Принцип энергии |
77 |
Преобразование Лежандра |
80 |
Параметр порядка |
89 |
Правило Максвелла |
91 |
Правило фаз Гиббса |
96 |
Постоянная реакции |
97 |
Принцип локального равновесия |
98 |
Принцип Кюри |
104 |
Поверхность разрыва |
108 |
Плотность потока |
117 |
Плотность молярного потока |
117 |
Плотность массового потока |
117 |
Плотность объемного потока |
117 |
Первый закон Фика |
118 |
|
138 |
R-производная |
40 |
Равновесная термодинамика |
74 |
Равновесный процесс |
75 |
Работа газа |
76 |
Раствор |
88 |
Реологическая модель Максвелла |
125 |
Реологическая модель Кельвина – Фойгта |
127 |
Сплошная среда |
8 |
Способ описания движения |
10 |
Сохранение локальной топологии |
12 |
Скорость с точки зрения эйлерова описания |
31 |
Собственный момент количества движения |
47 |
Собственный момент |
47 |
Соотношения Коши |
53 |
Симметрия тензора напряжений Коши |
55 |
Система отсчета |
67 |
Свободная энергия |
80 |
Связанная энергия |
80 |
Соотношения взаимности Онзагера |
100 |
Скорость реакции |
106 |
Сильный разрыв |
110 |
Слабый разрыв |
110 |
Смесь первого типа |
116 |
Скорость компоненты |
117 |
Собственный коэффициент диффузии |
118 |
Сбалансированность плотностей потоков |
121 |
Средняя скорость многокомпонентной среды |
128 |
Текущая конфигурация |
11 |
Тензор дисторсии |
23 |
Тензор малых деформаций |
24 |
Тензор малых поворотов |
24 |
139 |
|
Тензор деформации скорости |
34 |
Тензор вихря |
34 |
Тело-точка |
48 |
Тензор напряжений Коши |
53 |
Тензор моментов-пар |
55 |
Тензор напряжений Пиолы |
57 |
Тензор напряжений Кирхгоффа |
60 |
Тело отсчета |
66 |
Тензор инерции |
70 |
Термодинамика |
74 |
Термодинамика необратимых процессов |
98 |
Термодинамическая переменная |
74 |
Термостат |
75 |
Температура |
75 |
Теплота |
77 |
Теплоемкость |
78 |
Термодинамический потенциал |
81 |
Тройная точка |
92 |
Термодинамический поток |
99 |
Термодинамическая сила |
99 |
Термодинамически сопряженные переменные |
100 |
Условия совместности Сен-Венана |
26 |
Условие совместности деформаций |
27 |
Уравнение баланса |
41 |
Уравнение неразрывности |
46 |
Условие несжимаемости |
46 |
Уравнение баланса собственного момента количества движения |
48 |
Уравнение Клайперона – Клаузиуса |
90 |
Уравнение баланса компоненты |
117 |
Универсальная газовая постоянная |
127 |
Условие молекулярной несжимаемости |
129 |
140 |
|