книги / Надежность электрических машин

91

ускоренными) испытаниями и испытаниями в нормальных условиях, т.е. необходимо знать, как та или иная совокупность воздействующих факторов форсировки ускоряет процесс старения и износа машин и узлов. Поэтому устанавливаются некоторые стандартные (нормальные) условия эксплуатации определённых типов или групп ЭМ: температура окружающей среды, влажность, колебания напряжения U, частоты, длительность и периодичность рабочего цикла, профилактического обслуживания. Надёжность машин, работающих в этих стандартных (нормаль-

ных) условиях, называют номинальной надёжностью.

Для реализации ускоренных испытаний необходимы исследования по определению коэффициентов ускорения.

Коэффициент ускорения есть отношение времени испытаний в обычных условиях tн ко времени испытания в форсированных режимах tу при условии равенства значений вероятностей безотказной работы в обоих случаях (рис. 12):

рения является нахождение функциональных зависимостей, связывающих коэффициенты ускорения и факторы форсирования Zi, т.е. зависимостей Kу = f (Zi). Такая цель продиктована следующими соображениями:

1. Для облегчения реализации ускоренных испытаний весьма полезным является знание зависимости Kу = f (Zi) в широких пределах (а не единичных значений Kу).

92

2. Функциональная зависимость Kу = f (Zi) позволяет найти (хотя бы ориентировочно) значение максимально возможного с точки зрения сохранения эквивалентности физики процессов коэффициента ускорения.

Контрольные испытания можно проводить в нормальных условиях, а можно с учётом коэффициентов ускорения прово-

дить ускоренные форсированные испытания. При этом различа-

ют три основных метода проведения контрольных испытаний:

–метод однократной выборки;

–метод двукратной выборки;

–метод последовательного анализа.

В отдельных случаях проводятся ускоренные контрольные испытания в нормальных условиях.

Оценка надёжности по данным эксплуатации относится к ос-

новным способам получения информации о надёжности Р(t) в процессе эксплуатации. Это длительный и сложный процесс, связанный с преодолением объективных трудностей в осуществлении правильной организации сбора статистических данных. Хотя данные о надёжности с изменениями конструкций и технологии изготовления ЭМвкакой-тостепениустаревают, однакоивэтомслучаеобработка и анализ данных эксплуатации полезны для оценки надёжности родственныхпоназначению, конструкцииитехнологииизделий.

Диагностика – это способ получения информации о надёжности Р(t) изделий. Её целью является определение работоспособности изделия в данный момент времени и выявление дефектов отдельных его узлов.

Прогнозирование надёжности Р(t) машин относят к специальным исследованиям. Целью является предсказание количественных характеристик надёжности изделий в будущем, предвидение ресурса, остаточного ресурса, вероятности безотказной работы, изменения основных параметров и т.д. Прогнозирование используется в первую очередь для изделий, работающих на ответственных объектах, где отказ влечёт за собой значительный материальный или иной ущерб. Различают групповое и индивидуальное прогнозирование.

93

Специальные методы испытаний при исследовании на-

дёжности Р(t):

–метод шагового нагружения;

–метод матричных испытаний;

–метод граничных испытаний и др.

Метод шагового нагружения представляет собой проведение испытаний с дискретным увеличением нагрузки.

Метод матричных испытаний состоит в выборе для испы-

тания изделий таких воздействующих факторов, которые связаны между собой так, что образуют матрицу.

Метод граничных испытаний используется для испытания элементов непрерывного действия (например, усилителей), когда могут регламентироваться такие параметры, как чувствительность, полоса частот, коэффициент усиления и др. Выход параметров за установленные пределы классифицируется как параметрический отказ элемента или устройства.

94

VI. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ НА НАДЁЖНОСТЬ

6.1. Точность и достоверность статистической оценки показателей надёжности

Основными показателями качества статистической оценки числовых характеристик случайных величин являются точность

и достоверность.

Для осознания этих понятий в теории случайных величин ознакомимся с видами статистических оценок. Ясно, что любой результат эксперимента над случайными величинами всегда случаен. Определяемые при этом числовые характеристики позволяют получить цифры, которые могут отличаться от искомых истинных значений. Поэтому значения числовых характеристик, получаемые путём статистических исследований, называют оценками. Различают два вида статистических оценок – точечныеи интервальные.

При исследовании любой случайной величины Х требуется найти статистическую оценку её числовой характеристики Сх. Это означает, что по накопленным данным необходимо опреде-

лить некоторую величину Сх , которую можно было бы исполь-

зовать вместо неизвестного истинного значения Сх. Обозначим имеющиеся статистические данные в виде следующей числовой последовательности: С1, С2, …, Сm. Для получения искомой оценки над этими данными должна быть произведена некоторая

операция θ, т.е. Сх = θ(С1, С2 , ..., Сm ). Функция θ называется

оценочной функцией, а величина Сх – точечной оценкой чи-

словой характеристики Сх.

Исходные данные числовой характеристики С1, С2, …, Сm обычно случайны и число их m конечно, поэтому и оценка Сх также случайна. Иначе говоря, числовая характеристика случайной

95

величины Х оценивается с помощью некоторой другой случайной величины Сх . Следовательно, принимая в расчётах величину Сх вместо Сх, мы заведомо допускаем возможность ошибки. Величина этой ошибки и вероятностьеё зависят от распределения Сх .

Вид функции θ может выбираться произвольно. Качество же оценочных функций определяется следующими показателями: состоятельностью, несмещённостью, эффективностью.

Оценочная функция θ называется состоятельной, если с увеличением числа m исходных данных оценка Сх приближается по вероятности к истинному значению Сх. Оценочная функция θ является несмещённой, если математическое ожидание оценки Сх рав-

но истинному значению Сх (несмещённость оценочной функции θ означает отсутствие систематической ошибки). Оценочная функция θ является эффективной, если при данном фиксированном объёме статистических данных оценка имеет минимальную дисперсию.

В случае использования оценки Сх вместо Сх важно знать, каковы пределы возможной ошибки и какова её вероятность, т.е.

знать точность и достоверность точечной оценки Сх .

Точность оценок характеризуется шириной интервала b, внутри которого с некоторой вероятностью находится истинное значение искомой числовой характеристики Сх, а достоверность – величиной этой вероятности Q (рис. 13). Такие оценки, содержащие информацию о точности и достоверности результатов, называются интервальными.

Рис. 13. Точечная оценка Сх , доверительный интервал b и доверительные границы

96

Точечные и интервальные оценки дополняют друг друга, точечная оценка даёт конкретную цифру, которая используется в расчётах, а интервальная оценка характеризует её точность и достоверность.

Например, имеются две точечные оценки какой-то числовой характеристики, полученные на различном по объёму статистическом материале. Какую из них предпочесть? Качество этих оценок, т.е. точность и достоверность, может быть различным. На этот вопрос могут ответитьтолько результатыинтервальных оценок.

Между точностью и достоверностью существует тесная связь: если точность оценки определить как ширину интервала,

построенного вокруг Сх , а достоверность Q как вероятность на-

хождения истинного значения Сх внутри этого интервала, то при фиксированном объёме статистических данных (m = const) всякая попытка повысить точность (уменьшением ширины интервала) неизбежноведёткснижениюдостоверности инаоборот.

В математической статистике используются различные подходы к построению интервальных оценок. В рассматриваемом случае ширина интервала b, характеризующая точность, носит название

доверительного интервала, вероятность Q – доверительной веро-

ятности (достоверности). Эти понятия отражают только свойства (объём) использованных статистических данных и не учитывают свойств искомой характеристики как случайной величины.

Физическая интерпретация вышеназванных понятий следующая. На базе имеющихся статистических данных кроме то-

чечной оценки Сх определяются также верхняя и нижняя дове-

рительные границы точечной оценки (см. рис. 13):

Функции θв и θн, называемые соответственно функциями верхней и нижней доверительных границ, выбираются таким образом, что для любого набора значений С1, С2, …, Сm заранее

97

известна вероятность Q того, что интервал (Св, Сн) «накрывает» истинное значение искомой числовой характеристики Сх. Таким образом, Q = Вер {Сн ≤ Сх ≤ Св}. Интервал (Св, Сн) является дове-

рительным интервалом, а вероятность Q – доверительной вероятностью.

Рассмотренный доверительный интервал и вероятность назы-

ваются двусторонними, ноони могут бытьи односторонними.

Пусть для какой-то числовой характеристики диапазон возможных значений естественным образом ограничен числами Сmin

и Сmax. Тогда нижним односторонним доверительным интер-

валом называется интервал (Сmin, Св), вероятность «накрытия» которым истинного значения Сх называется нижней односто-

ронней доверительной вероятностью и обозначается Qн, т.е.

Аналогично интервал (Сн, Сmax) называется верхним одно-

сторонним доверительным интервалом, а вероятность

называется верхней односторонней доверительной вероятностью.

Для вероятностей Qн, Qв и Q очевидно соотношение

а в случае равенства односторонних доверительных вероятностей (Qн = Qв = Q1)

Вопрос о выборе функций θв, θн доверительных границ Qн и Qв решается обычно следующим образом: вначале выбирается значение Q1 (при условии, что Qн = Qв), затем вычисляются соответствующие этой вероятности границы доверительного интервала Сн и Св. При этом Сн и Св оказываются функциями не только накопленных данных, но и величины заданной вероятности Q1.

98

Как было сказано, основными показателями качества статистической оценки числовых характеристик случайных величин являются точность и достоверность. Общепринятым количественным показателем достоверности оценки числовых характеристик, а следовательно, и показателем надёжности является доверительная вероятность. Ввиду того что очень часто принимается условие симметричности доверительного интервала, в качестве количественной меры достоверности оценки можно принять одно значение односторонней доверительной вероятности, т. е. Qв = Qн = Q.

При любых оценках показателя надёжности оценку точности связывают с шириной доверительного интервала, т.е. со значениями его верхней и нижней границ Сн и Св.

Введем понятия абсолютной и относительной доверительных оценок погрешностей.

Абсолютная доверительная погрешность по верхней (∆СВ )

и нижней (∆СН ) границам определяется по следующим формулам:

где ∆В(С,СВ), ∆Н (С,СН ) – монотонные функции точечной оценки и границ доверительного интервала; Ψ(С) – монотонно

возрастающая функция точечной оценки С .

Величины δСН ,δСВ используются в качестве количественной меры точности статистической оценки признака С. При этом ве-

99

личину δСН используют в случае, если точечная оценка С соответствует позитивному показателю надёжности, а величину δСВ

в случае, если С соответствует негативному показателю. Наряду с относительной доверительной оценкой погрешно-

сти используется также её обратная величина, а именно:

Выбор функций ∆Н , ∆В и Ψ для основных показателей на-

дёжности производят следующим образом. Если показателем надёжности является математическое ожидание или квантиль, то

При этом абсолютная доверительная погрешность представляет собой ширину половины доверительного интервала. Функция Ψ

в этом случае принимается в упрощённом виде: Ψ(С) = С. В соответствии с этим выражения (44), (45) принимают следующий вид:

Например, проведена оценка среднего времени безотказной работы машины Tср . По результатам испытаний проведена то-

чечная оценка Тср и доверительных границ Тв и Тн (соответст-

вующих достоверности Q). Тогда относительная доверительная погрешность

Если оценкой надёжности является значение интегральной или обратной интегральной функции (например, вероятности безотказной работы Р), то выбор функций ∆Н , ∆В и Ψ произ-

водится аналогично, т.е. по выражениям (46) и (47).

100

На практике такая форма оценки точности не всегда целесообразна. Если значение полученной точечной оценки приближается к 1, естественным требованием является повышение точности (снижение величины абсолютной погрешности). Например, если точечная оценка равна 0,9, то абсолютная погрешность порядка 0,1 может считаться приемлемой. Если же точечная оценка равна 0,999, то абсолютная погрешность, равная 0,1, совершенно неприемлема. Нужно, чтобы абсолютная погрешность была на уровне 0,001. С учётом этого были предложены другие выражения ∆ и Ψ с целью оценки вероятности безотказной работы:

Эти выражения приняты в ряде нормативно-технических документов при организации определительных испытаний изделий с высоким значением вероятности безотказной работы (электромеханические системы, пускорегулирующая аппаратура, изделия приборостроения и др.).

6.2. Порядок проведения определительных испытаний на безотказность

Порядок проведения данных испытаний включает в себя: общий план испытаний; программу испытаний; обработку результатов.

План испытаний– это общая методика (порядок, процедура) проведения испытаний. Он определяет все основные черты данного способа экспериментальной оценки показателя надёжности, независимо от вида испытываемого изделия. Всякая специфика данного способа проведения испытаний выходит за рамки плана испытаний. Любой план имеет некоторое количество параметров (переменных),