книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

УДК 51(072.8) Т36

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук,

доцент Ю.Н. Еленский

(Пермский государственный национальный исследовательский университет); доктор физико-математических наук,

профессор А.Р. Абдуллаев

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Т36 Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 : Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия / Н.А. Лойко, Э.В. Плехова, А.А. Савочкина, Т.В. Смышляева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.

ун-та, 2020. – 119 с.

ISBN 978-5-398-02322-0

ISBN 978-5-398-02323-7 (ч. 1)

Пособие содержит основные теоретические сведения и подробно разобранные типовые тестовые задания различного уровня сложности по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии.

Предназначено для студентов технических вузов, изучающих высшую математику, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. Пособие будет полезно при подготовке к тестированию.

УДК 51(072.8)

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Выбирая профильный уровень сдачи ЭГЭ по математике, будущий абитуриент заранее настроен на поступление в вуз, где одним из основных предметов 1-го курса должна стать математика.

Курс высшей математики в техническом вузе начинается с линейной и векторной алгебры. Материал лекций и практических занятий обширен. За достаточно короткий промежуток времени мы должны рассмотреть широкий круг вопросов, связанных с понятиями матриц, определителей, решением систем линейных уравнений различными методами, понятием базиса на плоскости и в пространстве и т.д.

Учитывая то, что с переходом на бакалавриат количество лекционных и практических занятий сокращено, часть материала мы даем на уровне определений и лишь часть с доказательством.

Перестроиться после школы на восприятие такого объема информации большинство студентов не в состоянии.

Проблема заключается в том, что читать книги и самостоятельно разбираться с возникающими вопросами они не приучены. Система «натаскивания» на первые 12 заданий ЕГЭ привела к тому, что учащиеся перестали логически мыслить, находить рациональные способы решения задач, доказывать теоремы и применять их на практике. Они, как рабочие с низкой квалификацией, приучены к стандартным заданиям из одного двух действий, не требующих особой эрудиции. Если выпускник школы умеет решать задачи только базового уровня сложности и использовать ограниченный набор формул, то он не в состоянии быстро перестроиться на восприятие курса высшей математики.

Проблемы возникают и с практическими занятиями. Для многих студентов становится открытием, что к каждому занятию нужно подготовиться: разобраться с лекционным материалом, выучить основные определения и понятия и кроме этого выполнить и домашнее задание.

4

Вчерашние абитуриенты, которые за годы учебы в школе привыкли к строгому контролю со стороны учителей, классного руководителя и родителей, став студентами, чувствуют определенную свободу.

Можно ходить на лекции, но не вникать в то, что читают, можно посещать практические занятия, но не выполнять домашних заданий. Как показывает практика последних лет, у многих первокурсников к концу первого семестра возникают большие проблемы в виде не сданных вовремя контрольных и расчетно-графических работ.

Оценивая сложившуюся ситуацию, мы понимали, что пытаться решить назревшие проблемы можно, если:

–осуществлять регулярный контроль обучения студентов;

–активизировать самостоятельную работу студентов в течение всего семестра;

–создать условия, при которых студент вынужден будет использовать не только материал лекций, но и дополнительную литературу по той или иной теме.

Разработанные тесты по всем разделам курса высшей математики стали тем механизмом, с помощью которого и решаются эти проблемы.

Виздании представлены и разобраны задания на знания и умения в виде теоретических вопросов и практических задач.

Первый раздел «Линейная алгебра» посвящен темам: матрицы

идействия над ними, определители, решение систем линейных алгебраических уравнений. Второй раздел посвящен векторной алгебре. В третьем разделе «Аналитическая геометрия» представлены вопросы по темам: прямая на плоскости, плоскость, прямая в пространстве, взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, а также кривые второго порядка.

Объяснения решений приведены в доступной для студентов форме, издание предназначено для студентов всех специальностей технических вузов.

5

Вопрос 1.1.3

Для матрицы размерности т× n , число m равно числу … .

Решение

Символом т× n обозначается размерность матрицы, m – число строк матрицы, а n – число столбцов матрицы, поэтому m равно чис-

лу строк.

Вопрос 1.1.4

Произведение матриц АВ определено, если…;

1)матрицы А и В одной размерности;

2)матрицы А и В квадратные;

3)число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В;

4)число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

5)матрицы А и В квадратные одного порядка.

Решение

Произведение А·В матриц A и B определено только для тех матриц, у которых число столбцов матрицы A равно числу строк

этому, верный ответ №4.

Ответ № 5 также является верным, поскольку в этом случае

Вопрос 1.1.5

Обратная матрица существует …

1)для любой матрицы;

2)для любой квадратной матрицы;

3)для любой вырожденной матрицы;

4)для любой невырожденной матрицы.

Решение

Матрица A−1 называется обратной к матрице A, если 7ущее7елются равенства AA−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица.

7

Обратная матрица существует только для квадратной невырожденной матрицы, т.е. матрицы, определителькоторойотличен от нуля.

Верный ответ № 4.

Вопрос 1.1.6

Если для матрицы A = (aij )m×n ранг матрицы равен k , то порядок базисного минора …

1)больше k;

2)меньше k;

3)равен k;

4)равен k–1.

Решение

Так как ранг матрицы A совпадает с порядком базисного ми-

нора, поэтому верный ответ № 3.

Вопрос 1.1.7

Если для матрицы A = (aij )m×n ранг матрицы равен k, то …

1)m = n = k;

2)m = k, n < k;

3)k ≤ m, k ≤ n;

4)n = k, m < k.

Решение

Ранг матрицы A совпадает с порядком базисного минора. Поскольку порядок любого минора матрицы не может быть больше числа строк и числа столбцов матрицы, то верный ответ № 3.

Первый ответ ошибочный, так как ранг квадратной матрицы равен ее порядку только для невырожденной матрицы.

Ответы 2 и 4 также ошибочны, потому что число столбцов (строк) матрицы не может быть меньше ее ранга, так как в этом случае мы не сможем составить базисный минор k-го порядка.

8

Решение

Однородной системой линейных алгебраических уравнений на-

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0 .

... ... ... ... ... ... ...

an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn = 0

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Однородная система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение и является совместной. Это решение единственное, если определитель системы отличен от нуля, и система помимо нулевого решения имеет бесконечно много ненулевых решений, если главный определитель системы равен нулю.

Верные ответы № 1, № 4.

Вопрос 1.1.10

Укажите верные утверждения для неоднородной системы m линейных уравнений с n неизвестными с матрицей системы А и рас-

ширенной матрицей системы A ( r ( A) , r ( A) – ранги матриц А и A соответственно).

1)Если r ( A) = r (A) = n , тосистемаимеетединственное решение.

2)Если r ( A) = r (A) > n , то решений бесконечно много.

3)Если r ( A) = r (A) < n , то решений нет.

4)Если r(A) ≠ r(A) , то решений нет.

Решение

Для неоднородной системы m линейных уравнений с n неизвестными справедлива теорема Кронекера – Капелли: система m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

системы r ( A) = r (A) .

10