книги / Гидравлика

2.6.Сила давления жидкости на стенки сосудов

Втехнике широко применяются сосуды, имеющие плоские

икриволинейные стенки. При расчете таких сосудов на прочность необходимо знать силу давления жидкости на стенки. Эта

сила является результатом взаимодействия жидких частиц и смоченной поверхности стенки. Ее величина определяется гидростатическим давлением в жидкости на смоченной поверхности стенки. Направление силы противоположно направлению гидростатического давления.

Определить силу давления жидкости на стенку – это значит найти ее численное значение, направление и точку приложения, которая называется центром давления.

2.6.1. Сила давления на прямолинейную стенку

Рассмотрим открытый в атмосферу сосуд (рис. 2.12). Стенку для наглядности развернем и совместим с плоскостью рисунка. При этом будем полагать, что стенка имеет ось симметрии,

Рис. 2.12

41

лежащую в вертикальной плоскости и проходящую через центр тяжести С плoщади смоченной поверхности стенки. Тогда центр давления D будет находиться на оси симметрии и для его определения достаточно одной координаты yD .

В пределах смоченной поверхности стенки площадью S выберем элементарную площадку ds с центром в точке А.

Так как стенка испытвает одностороннее давление, обусловленное весом жидкости, то сила давления на элементарную площадку может быть определена следующим образом:

dF =ρghds =ρgy sin αds.

Тогда сила давления жидкости на смоченную поверхность стенки

F = ∫dF =ρg sin α∫ yds.

S S

Здесь интеграл ∫ yds – это статический момент площади S

S

относительно оси x. Из теоретической механики известно, что

∫ yds = yСS,

S

где yС – координата центра тяжести площади S.

Окончательно для силы давления жидкости на стенку находим:

F = ρg sin αyСS = ρghСS = pизб СS,

где hС – глубина центра тяжести площади S;

pизб С – избыточное давление в центре тяжести площади S.

Итак, сила давления жидкости на прямолинейную стенку равна произведению избыточного давления в центре тяжести смоченной поверхности на ее площадь. Направлена сила нормально к стенке.

42

Для нахождения центра давления воспользуемся теоремой Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси x равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси:

yD F = ∫ ydF,

S

где yD – координата центра давления.

Принимая во внимание выражения для F и dF, получаем

yDρg sin αyСS =ρg sin α∫ y2ds.

где JxС – момент инерции площади S относительно оси, проходящей через ее центр тяжести;

yС – расстояние между параллельными осями x и xС. В итоге для yD находим

Центр давления лежит ниже центра тяжести смоченной поверхности стенки S на величину

43

∆y = JxС . yСS

По горизонтали центр давления располагается на оси симметрии стенки, т.е.

xD = a2 .

2.6.2. Сила давления на криволинейную стенку

Рассмотрим цилиндрическую стенку открытого сосуда, которая испытывает одностороннее давление, обусловленное весом жидкости.

На рис. 2.13 представлен след стенки MN в секущей плоскости, нормальной к ее цилиндрическим образующим. Секущая плоскость совмещена с плоскостью рисунка.

Рис. 2.13

На смоченной поверхности криволинейной стенки, которая имеет площадь S, выделим элементарную площадку ds. Ее след mn. В силу малости элементарной площадки будем считать

44

ее плоской. В центре этой площадки выберем точку А, которая отстоит от свободной поверхности на расстоянии z. Проекции S и ds на плоскости x0y и y0z соответственно равны Sx , dsx

и Sz , dsz .

Принимая избыточное давление в точке А

pизб А =ρgz

в качестве среднего по площадке ds, найдем силу давления жидкости на элементарную площадку:

dF = pизб Аds =ρgz ds.

Разложим эту элементарную силу на горизонтальную и вертикальную составляющие:

dFx = dF cos α = ρgzds cosα = ρgzdsz , dFz = dF sin α = ρgzds sin α = ρgzdsx ,

где α – угол наклона силы dF к горизонтальной плоскости.

Горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку найдем, просуммировав все элементарные горизонтальные составляющие dFx по вертикальной

проекции смоченной поверхности Sz :

Fx = ∫ dFx =ρg ∫ zdsz .

Sz Sz

Интеграл в правой части полученного соотношения является статическим моментом площади Sz относительно оси y:

∫ zdsz = hС Sz ,

Sz

где hС – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площади Sz .

45

Окончательно можно записать

Fx =ρghСSz .

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления на ее смоченную вертикальную проекцию. Линия ее действия лежит ниже центра тяжести площади Sz (см. подразд. 2.7.1).

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна сумме всех элементарных верти-

где V – объем жидкости, ограниченный смоченной поверхностью криволинейной стенки, ее вертикальной проекцией (ВП) и проекцией на свободную поверхность (СП).

Линия действия силы Fz проходит через центр тяжести

(ЦТ) объема V.

При определении вертикальной составляющей силы давления на криволинейную стенку удобно использовать понятие «тела давления».

Тело давления – это тело, заключенное в объеме V. Тогда сила давления Fz будет равна весу жидкости в теле давления.

Различают реальное и фиктивное тело давления.

Если жидкость находится над стенкой, то вертикальная составляющая Fz направлена сверху вниз, а тело давления опре-

деляется действительным объемом жидкости над стенкой и на-

зывается реальным или положительным (рис. 2.14).

Если жидкость находится под стенкой, то вертикальная составляющая Fz направлена снизу вверх, а тело давления в этом

случае соответствует фиктивному объему жидкости над стенкой и называется фиктивным или отрицательным (рис. 2.15).

46

Рис. 2.14

Рис. 2.15

После нахождения составляющих Fx и Fz можно путем

геометрического суммирования определить равнодействующую силу давления на криволинейную стенку:

F = Fx2 + Fz 2 ,

а также угол ее наклона к горизонтальной плоскости:

α = arctg Fz .

Fx

Линия действия силы F проходит через точку пересечения линий действия составляющих Fx и Fz под углом α к горизон-

47

ту. Точка пересечения поверхности стенки и линии действия си-

лы F является центром давления.

2.7. Закон Архимеда

Рассмотрим однородное тело произвольной формы, полностью погруженное в жидкость (рис. 2.16). Пусть объем этого тела Vт.

Рис. 2.16

Поверхность тела разобьем на две части: верхнюю KEC и нижнюю KDC. Будем рассматривать их как криволинейные стенки, на которые действует давление от вышележащих слоев жидкости.

Горизонтальные составляющие сил давления жидкости на поверхность тела уравновешиваются.

Вертикальные составляющие сил давления на верхнюю и нижнюю поверхности найдем, используя понятие тела давления.

Для верхней поверхности тело давления ABCEKA объемом Vв является реальным (положительным). Вертикальная

составляющая силы давления направлена вниз и определяется по формуле

48

Fв =ρgVв.

Для нижней поверхности тело давления ABCDKA объемом Vн будет фиктивным (отрицательным). Соответствующая

вертикальная составляющая силы давления направлена вверх и может быть вычислена по формуле

Fн =ρgVн =ρg (Vв +Vт ).

Линии действия сил Fв и Fн проходят через центр тяжести тела (он совпадает с геометрическим центром).

Нетрудно заметить, что Fн > Fв. Поэтому на погруженное в покоящуюся жидкость тело действует выталкивающая сила:

FА = Fн − Fв =ρg (Vв +Vт ) −ρgVв =ρgVт.

Она направлена вертикально вверх и равна весу вытесненной телом жидкости.

Полученная формула выражает закон Архимеда. Сила FА

называется архимедовой силой. Она приложена к геометрическому центру тела, который именуется центром водоизмещения.

В стихотворном изложении М.В. Ломоносова закон Архимеда звучит так:

Тело, упертое в воду, Не теряет в весе сроду. Оно прется оттуды Весом выпертой воды.

Пусть G – вес тела. Тогда возможны три случая: FА =G – тело плавает;

FА < G – тело тонет;

FА >G – тело всплывает.

Плавающее неоднородное тело будет находиться в устойчивом равновесии, если центр водоизмещения располагается выше центра тяжести тела и они лежат на одной вертикальной линии.

49

2.8. Относительный покой жидкости

Ранее рассматривался абсолютный покой жидкости. Сосуд и жидкость в нем были неподвижны относительно земли. Однако на практике возможны случаи, когда сосуд совершает равноускоренное движение относительно земли, а жидкость относительно стенок этого сосуда находится в покое, т.е. является неподвижной. Например, подвижная цистерна, топливные баки самолетов и ракет, центробежный сепаратор, центробежное литье и т.п. Заметим, что относительный покой жидкости существует только при равноускоренном (или равнозамедленном) дви-

жении сосуда и наблюдается в относительной системе коорди-

нат, связанной с этим сосудом.

Для описания относительного покоя формально могут быть использованы соотношения, полученные для абсолютного покоя жидкости, если в них под координатами x, y, z понимать отно-

сительные координаты, а к действующим на жидкость силам добавить еще одну массовую силу – переносную силу инерции.

По виду переносного движения можно выделить:

•относительный покой жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно;

•относительный покой жидкости в сосуде, вращающемся вокруг продольной оси с постоянной угловой скоростью.

Далее рассмотрим эти два случая и выясним следующее: 1) какими будут поверхности равного давления; 2) как найти гидростатическое давление в произвольной

точке жидкости.

С этой целью воспользуемся уравнениями поверхностей равного давления (2.11) и соотношением (2.7), подставив в них соответствующие проекции равнодействующей единичных массовых сил X , Y , Z, определенные с учетом переносного уско-

рения.

50