книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов

К.П.Горбачев

РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ УЕСГНОСГИ, МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Учебное пособие

Впоследние годы исключительно широкое использова­ ние в расчетах прочности аьлационяых, оуновых и строитель* ных конструкций получл метод конечных элементов (МКЭ). Несмотря на сравнительно ксроткий срок "эксплуатаций'1 это­ го ычтода, он удивительно успешно применяется при _ ешении задач, которые щедро отавятся перед нами .(рактикой.

Широкое использование МКЭ в значительной мере объяс­ няется наличием машинных пробами, обладающих высокой с е ­ ленью автоматиэа-ии трудоемких операций составления и р "- иепия систем алгебраических уравнений, минимумом требова­ ний к исходной информации " оптимальной формой выдачи ре­ зультатов.

Влаотолщем методическим поооб и метод конечных эле­ ментов рассматривается применительно к расчету пластин н

оболочек, подкрепленных ребрами жесткооти.

Сложность данных задач и трудности удовлетворения ря­ ду критериев сходимости при использован ни в расчетной про­ цедуре элементов прои вольной трлугольной н Че-чрасуголь - вой формы, подкрепленных ребрами, вызывают применение раз­ личных практических приемов для улучшения качества элемен­ тов. Одш из таких приемов излагается р наотояпем пособии»

Пособие напиоано в соответствии с программой курсл *4иоленные методы расчета судовых конструкций", чктлемо'^о в Дальневосточном политехническом институте' ш . В.В.Куйбы­ шева на кераблестронтельном факультете Однако автор пола­ гает, что оно будет полезным та-же для отудентов и аспиран­ тов других вузов, для ивенеров и научных работников, за ­ нимающихоя механикой деформируемых тел.

Предполагается, что читатель уже знаком о ооновными идеями и возможностями метода конечных элементов, подробно

Поскольку метод конечна элементов являемся методом прибл шейного репения уравнений математячес :ой физики, воз­ никает вопрос об исследовании его сходимости к точному ре - шению. Полагая, что сходимость ШСЭ г* точному ревеню анало­ гична сходимости метода Ритца, можно рассматривать ее в энергетическом смысле. То есть для задач теории упру эстя при условии закрепления тела от жесткого смещения потеадиальная энергия деформации от разности точного (U « ) н преблике нюго ( и * ) реиений.должна .тремиться к нулю при нео­ граниченном возрастании числа координатчкх функций (о.-*-©о).

случае, когда узловые перемещена» соответствуют условно по­ стоянной деформации, это соетяние действительно реализова­ лось бы в элементе.

5. Функция перемещений должны быть яьбраш так, чтоб" деформация на границах между элементами были конечными.

6. пункции перемещений должы быть выбран/ такы обра­ зом, чтобы у* возникала деформация эх&.ента при узловых череыещениях, вызванных его смещением как жесткого тела.

Шесть условий, приведенных выше, могут .беспечить схг * диыость решения при их выполнении. При этом пекоторые из н(к могут быть объединены.

Первое и пятое условия будут Удовлетворены, если для

уравнений 2 -го порядка должно бить (m - D непрерывных про­ изводных.

Уоловне (б ) может рассматриваться как чаотный случай четвертого условия, поскольку жесткое перемещение является частным случаем рав.юй нуле однородной деформации,-

Эдеме/ ?ы, координатные функции которых удовлетворяют условиям I и 5, называются совместными. В противном олучае - реоовместными.. Сложность удовлетворения всем уоловиям одно­ временно часто приводит в расчетной практике к использованию реоавмеотиых элементов. ф и атом следует отме-чть, что для ряра -аких элементов при простоте построения координатных функ­ ций мы получаем решения, сходящиеоя к точному. Одним иэ таких рлементов является прямоугольный адеме^т[5 .), содержащий 12 Неизвестных параметров.

Степенной полином, определяющий координатную функцию

W СХ.У) * 4>, +- 4 . 8X + сЦ У + 4 , Ха* Л5 X/ + <АвУ %

+с1 7 х ^ + Д в хг у + л ,х у 2 + 4 * у 3 +

реомотря на то,- что не выполняется условие непрерывности уг­ ров п овоете вдоль линий стыковки омежных влементов, приво - дит к решению, оходящв1уоя к точному при увеличении числа конечных элементов.

Зтот полином используется при решении задач изгиба, ус­ тойчивости и колебаний жестких пластин, ф и решении таких важач, в частности задачи исследования; усто№ивостк пластины, основные раэпешащие уравнения часто получают исходя из прин­ ципа Лахранка. Согласно этому принципу из всех мыслимых сис­ тем перемещений упругого тела перемещения, действительно имеющие место, сообщают потенциальной анергии минимальное энечеишв. Полная потенциальная анергия в данном случае складывает­ ся из анергии изгиба и потенциальной энергии срединной повер­ хности.

В- цилиндрическая жесткость.

Исходя из критериев сходимости, отмеченных выше, следу­ ет, что сходимость решения будет обеспечена, а выражение (1.14) стремиться к минимуму, если выбранный полином отреша­ ет возможные естественные формы деформирования элемента и,

границам смежных элементов, но разрывы непрерывности вторых производных по границам элемента в данном олучае имев*- ко - иечпые значения и стремятся к естественным, допускаемым фи­ зической сущность» задачи, при стремлённи сторон элемента к пуло.

Это объясняется тем,, что коэффициенты талинома ( I . 13) подобраны так г ' образом, при : отором двукратное дифференциро­ вание (1,13) по координатам X , Г приводит к симметричному билинейному характеру изменения вторых производных в ноле элемента и линейно цг по его границам.

Напртер,

Функции 3t(*,Y) легко получить в рассматриваемом случае, если воетльзоваться L -координатами (рис .3 ) , которы* по

определен» равны отношение

(S x*)^** 1-as +

При увеличении количества элементов,аппроксимирующие

(Со + с , х * с а х*-*

Выражение в скобках есть полином, хаоактеризующий дефор­ мацию кромки 1-4 элемента и являющийсяинтегралом.дифференци­ ального уравнения w lv« a . ф и стремлении оторон элемента к нулю значение второй производной, определи'юй "о ( 1,20) , бу­ дет стремиться к точному. Эть же замечания относятся для рас­ сматриваемого полинома н ж оотальным узловым значениям <У^д)к . Следовательно, еолж рассматривать сходимость в энергети­

ческом смысле, то

Скорость же сходшооти ( пстройность) оценивается зависи­ мостью

Следовательно, полином, отражающий характер деформиро­ ванной повертности элемента и приводящий к несовместности в отношении углов поворота по кромкам омежных элементов, мо - кет давать сходящиеся решения, если выполнены условия, от - меченные выше. В противном случае, решение не будет схо­ диться из- а нарушения естественности деформирования элемен­ та. Для примера рассмотри тот же конечный элемент, закон

хз - QX*

Ча 1