Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение электротехнических задач методом конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

944.52 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

А.Г. Щербинин, Е.В. Субботин

РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2020

УДК 621.3:517.962.1(075.8) Щ64

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор Н.М. Труфанова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. техн. наук, ген. директор В.Г. Савченко (ООО «Богословский кабельный завод», г. Краснотурьинск)

	Щербинин, А.Г.
Щ64	Решение электротехнических задач методом конечных

элементов : учеб.-метод. пособие / А.Г. Щербинин, Е.В. Субботин. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.

ун-та, 2020. – 60 с.

ISBN 978-5-398-02389-3

Даны общие положения теории и методики решения электротехнических задач методом конечных элементов. Приведены задания для решения каждого типа задач.

Предназначено для бакалавров и магистров высших учебных заведений направлений подготовки 13.03.02, 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника», профилей «Конструирование и технологиив электротехнике» и «Управление и информационные технологии в электротехнике».

УДК 621.3:517.962.1(075.8)

ISBN 978-5-398-02389-3

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	Одномерная задача стационарной теплопроводности.....................	4
2.	Одномерная осесимметричная задача электростатики..................	12
3.	Одномерная осесимметричная задача магнитостатики.................	18
4.	Двухмерная задача стационарной теплопроводности....................	23
5.	Двухмерная задача электростатики.................................................	32
6.	Одномерная осесимметричная задача по определению
магнитного потенциала при переменном токе ...................................		37
7.	Одномерная осесимметричная задача
нестационарной теплопроводности.....................................................		46
Список литературы................................................................................		54
Приложение............................................................................................		55

1. Одномерная задача стационарной теплопроводности

Процесс нестационарной теплопроводности в трехмерной постановке в декартовой системе координат описывается уравнени-

ем [1]

qV ,

(1.1)

где x , y , z – декартовые координаты; t – температура (искомая функция); – коэффициент теплопроводности; qV – мощность внутреннего источника тепла; c – удельная теплоемкость; –

плотность среды; – время.

Рассмотрим стационарную задачу переноса тепла по толщине

плоской бесконечной стенки по направлению	координаты х
(рис. 1.1). При этом по двум другим координатам	y и z градиенты

температуры равны нулю. Тогда дифференциальное уравнение (1.1) запишется как

d	dt	qV	0 .	(1.2)


dx	dx

	0	x
	0

Рис. 1.1. Плоская стенка

На границах могут быть заданы: температура (граничное условие первого рода); плотность теплового потока (граничное условие второго рода); температура подвижной окружающей среды и коэффициент теплоотдачи (граничное условие третьего рода). На границе раздела двух твердых тел задается граничное условие четвертого рода, при котором принимается равенство температуры соприкасающихся поверхностей и тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения.

Применение метода Галёркина [2, 3] к уравнению (1.2) даст

T		d	du
N				qV dV 0	,	(1.3)

V	dx		dx

где u – приближенное решение; N T – транспонированная матрица функции формы.

Матрица N одномерного			симплекс-элемемента			запишет-
ся как (рис. 1.2) [2, 3]
		X j x		x Xi
			(e)	(e)	,	(1.4)
N Ni	N j
			L	L

где Xi и X j – координаты узлов одномерного конечного элемента; L(e) X j Xi – длина конечного элемента.

1	Ni	Ni	Nj




	i			j x
	Xi		L(e)
		Xj
		Xj

Рис. 1.2. Функции формы одномерного симплекс-элемента

В результате преобразований уравнения (1.3) получим

	d N		T	du		T	T	du x
				dx		N	qV dx N			0 .	(1.5)
		dx		dx		N	qV dx N			0 .	(1.5)
		dx		dx				dx	x 0
0					0				x 0
Неизвестная функция u в уравнении (1.5) определяется соот-
ношением (рис. 1.3)
				u NiUi		N jU j N U ,					(1.6)

где U – вектор-столбец узловых неизвестных.

i u=NiUi+NjUj

L(e)

Рис. 1.3. Одномерный симплекс-элемент

Градиент по x определяется как

d N U

d N

U .

(1.7)

Тогда производная

d N

dN j

(e) 1

1 . (1.8)

N j

Матрица B называется матрицей градиентов.

ковых стенок, то с его помощью учитываются граничные условия второго рода [1]:

T		du x	в уравнении (1.5)	содержит выра-
Поскольку N			в уравнении (1.5)	содержит выра-
		dx x 0
		du	q ,	(1.9)
		dn
и третьего рода:
	du		uS t0 ,	(1.10)
		dn

где q – заданная плотность теплового потока; uS – искомая темпе-

ратура границы тела; t0

– заданная температура окружающей среды;

– коэффициент теплоотдачи.

Тогда

N U

. (1.11)

q N

N t0

x 0

Уравнение (1.5) с учетом выражений (1.4), (1.6)–(1.11) при-

мет вид

d N

жение du

dx U

q dx

q N T

x 0.

(1.12)

N T

N U N T

, которое определяет плотность теплового потока с бо-

	x 0
Или
	x
	x
B T B dx U N T N U x 0
0

	x
	x
N T qV dx N T q N T t0 x 0 .		(1.13)
0

В уравнении (1.13) U являются узловыми неизвестными. При переходе от интегрирования по всей области от 0 до

к сумме интегралов по конечным элементам уравнение (1.13) запишется как

k (e)

(e)

k (e)

U f (e)

q
f (e) f (e)			,	(1.14)

где – сумма по конечным элементам; k (e)								– локальные матри-
(e)
цы коэффициентов;			f (e)	–	локальные вектор-столбцы свободных
членов; k (e)		B T B dx ;			k (e) N T N xx 0			; f (e) q N T xx 0 ;
								q
	L( e )
f (e) t0 N T	xx 0 ;		f (e)	qV			N T dx . Параметры и qV посто-
			qV
						L( e )

янны в пределах конечного элемента и могут изменяться при переходе от одного конечного элемента к другому.

После суммирования по всем конечным элементам получим систему алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных U

	K U G F ,	(1.15)
где K	– глобальная матрица коэффициентов; F	– глобальный

вектор-столбец свободных членов; U G – глобальный вектор-стол-

бец узловых неизвестных.

Систему алгебраических уравнений, полученную при решении одномерных задач методом конечных элементов, можно решать методом прогонки или методом Гаусса [4] (см. Приложение). Метод прогонки является более эффективным методом по сравнению с методом Гаусса. Однако метод прогонки можно применять только

в том случае, когда матрица коэффициентов получается трехдиагональной.

Локальные матрицы и вектор-столбцы в выражении (1.14) определятся следующим образом:

		X j		1
(e)		X j		(e)
k		B B dx		L
	L( e )	Xi		1
				(e)
			L

1	1
1	1
		dx
(e)	(e)	dx
L	L

1		X j 1		1		1	1		1
					dx					.
L(e)	2		1	1		(e)		1	1
		Xi				L

f (e)

L( e)

	X j x
	X j			(e)
T	X j	(e)		(e)
T		L		q L
N	dx qV	L	dx	V
	Xi	x Xi		2
		(e)
		L

11 .

(1.16)

(1.17)

Выражения для определения локальных матриц и векторстолбцов в уравнении (1.14), учитывающие граничные условия второго и третьего рода, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 Выражения, учитывающие граничные условия

Граничное условие	Граничное условие
на левой границе	на правой границе

k (e) N T N

;

k (e) N T N

;

(e)

q q

(e)

q q

;

f q

;

f q

(e)

t N

Граничное условие первого рода, например, на левой границе может быть учтено следующим образом

K11 M

U1	F1	tЛM
			,

где M – очень большое число; tЛ – заданная температура на левой границе.

Задание

Дана двухслойная плоская стенка. На левой границе задано граничное условие первого рода – температура tЛ . На правой границе задано граничное условие третьего рода – температура окружающей среды t0 и коэффициент теплоотдачи . Внутренний источник тепла qV приложен к первому слою. Найти распределение

температуры по толщине стенки. Варианты заданий представлены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Варианты заданий

Номер	,		2	,	,		2	,	q ,	t ,	,	t	0	,
вари-	1		2		1		2		V	Л	Вт/(м2· С)		0
вари-	мм	мм			Вт/(м· С)	Вт/(м· С)			МВт/м3	С		С
анта	мм	мм			Вт/(м· С)	Вт/(м· С)			МВт/м3	С		С
1	20	15			0,5	5			0,4	50	2000	15
2	20	14			0,6	6			0,5	55	2100	16
3	20	13			0,7	7			0,6	60	2200	17
4	20	12			0,8	8			0,7	65	2300	18
5	20	11			0,9	9			0,4	70	2000	19
6	20	10			1	10			0,5	75	2100	20
7	20	15			0,5	5			0,6	50	2200	21
8	20	14			0,6	6			0,7	55	2300	22
9	20	13			0,7	7			0,4	60	2000	23
10	20	12			0,8	8			0,5	65	2100	24
11	20	11			0,9	9			0,6	70	2200	25
12	20	10			1	10			0,7	75	2300	26
13	25	15			0,5	5			0,4	50	2000	27
10

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202312.71 Mб3Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей..pdf
#
12.11.202321.38 Mб4Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ..pdf
#
19.11.202332.73 Mб15Решение практических задач при бурении и освоении скважин..pdf
#
12.11.202312.02 Mб0Решение технологических проблем действующего производства средствами автоматизации. Производство калийных удобрений.pdf
#
12.11.20235.01 Mб1Решение частных задач оптимизации для инженерных систем зданий..pdf
#
12.11.2023944.52 Кб1Решение электротехнических задач методом конечных элементов..pdf
#
12.11.2023963 Кб6Риторика и ораторское искусство..pdf
#
12.11.20238.54 Mб1Робот. Компьютер. Гибкое производство.pdf
#
19.11.202351.95 Mб0Рок в Союзе 60-е, 70-е, 80-е..pdf
#
12.11.202310.45 Mб2Роликовые и дисковые конвейеры и устройства..pdf
#
12.11.20231.53 Mб1Роль фаворитизма в социальном процессе..pdf