книги / Математика. Дифференциальные уравнения

ISBN 978-5-398-01849-3

© ПНИПУ, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.....................................................................................

5

Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка...................

6

§1. Общие понятия .............................................................................

6

Задачи..................................................................................................

9

§2. Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными....................................................

12

Задачи................................................................................................

13

§3. Однородные уравнения и простейшее уравнение,

приводящееся к однородному.........................................................

14

Задачи................................................................................................

16

§4. Линейные уравнения первого порядка.

Уравнение Бернулли ........................................................................

21

Задачи................................................................................................

23

§5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий

множитель.........................................................................................

29

Задачи................................................................................................

30

§6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

первого порядка................................................................................

35

Задачи................................................................................................

35

Глава II. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка ....................................................................................

39

§1. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с переменными коэффициентами.......................

39

§2. Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами .......................

41

Задачи................................................................................................

42

§3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами .......................

45

Задачи................................................................................................

48

3

§4. Метод вариации произвольных постоянных............................

54

Задачи................................................................................................

57

Глава III. Дифференциальные уравнения высших порядков............

60

§1. Уравнения, допускающие понижение порядка........................

60

Задачи................................................................................................

62

§2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.........

66

Задачи................................................................................................

68

Глава IV. Системы дифференциальных уравнений...........................

72

§1. Общие понятия ...........................................................................

72

§2. Метод исключения неизвестных...............................................

73

Приложения...........................................................................................

76

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

1. F (x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0

(1.1)

Дифференциальным уравне-

нием называется

равенство,

содержащее

независимую пе-

ременную

x,

неизвестную

функцию y

и ее производные

y′, y′′,..., y(n).

Следует запомнить:

порядок старшей производной,

входящей в уравнение (1.1), на-

зывается порядком этого урав-

нения.

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

2.

y = y (x) –

(1.2)

Функция y =

y(x), обращающая

решение уравнения (1.1.)

уравнение (1.1) в тождество, на-

зывается

решением

уравнения

(1.1), а график решения на плос-

кости (x, y) – интегральной кри-

вой.

Следует запомнить:

процесс

нахождения

решений

называется

интегрированием

дифференциального уравнения.

Замечание.

Задача интегрирования диффе-

ренциального

уравнения

состо-

ит в нахождении всех решений

этого уравнения и изучении их

свойств.

3.

y = y (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) –

(1.3)

Замечание.

в ре-

общее решение дифференциаль-

Решение

(1.3) находится

зультате

n

последовательных

ного уравнения (1.1)

интегрирований, так что общее

решение уравнения n-го порядка

содержит n произвольных по-

стоянных.

4.

F ( x, y, y′) = 0

(1.4)

Дифференциальным

уравне-

нием первого порядка называ-

ется равенство, связывающее

независимую переменную x, ис-

комую функцию y и ее первую

производную y′.

Замечание 1.

Уравнение (1.4) может не со-

держать в явном виде x и y, но

обязательно содержит

y′.

Замечание 2.

Уравнение (1.4) – дифференци-

альное уравнение, не разре-

шенное

относительно

произ-

водной y′.

7

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

5.

y′ = f (x, y)

(1.5)

Уравнение

(1.5)

называется

уравнением

первого

порядка,

разрешенным

относительно

производной.

Замечание 1.

Мы будем рассматривать только

такие уравнения, в которых не-

известная

функция

зависит от

одного аргумента. Такие урав-

нения

называются

обыкновен-

ными.

Замечание 2.

уравнения,

Дифференциальные

в которых неизвестная функция

зависит от нескольких аргумен-

тов, называются уравнениями с

частными

производными. Они

рассматриваются

в курсе уравнений математиче-

ской физики.

6.

y = ϕ(x,C ) –

(1.6)

Следует запомнить:

общее решение

дифференциаль-

любое дифференциальное урав-

нение

y′ =

f (x, y)

имеет бес-

ного уравнения (1.5)

численное множество решений,

которые определяются

форму-

лой, содержащей одну произ-

Φ(x, y,C ) = 0

вольную постоянную.

7.

(1.7)

Следует запомнить:

или

если общее решение уравнения

(1.5) задано в неявном виде (1.7)

Ψ(x, y) = C –

(1.8)

или (1.8), то оно называется об-

общий интеграл дифференциаль-

щим

интегралом

этого

уравне-

ния.

ного уравнения (1.5)

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

8. Найти решение y = y (x)

(1.9)

Следует запомнить:

дифференциального

уравнения

задача, в которой требуется найти

решение уравнения y′ = f (x, y),

y′ = f (x, y), удовлетворяющее

удовлетворяющее

начальному

условию y (x0 ) = y0 .

условию

y (x0 ) = y0 ,

называется

задачей Коши.

Теорема

существования

и

единственности решения зада-

чи Коши.

Если правая часть f ( x, y)

урав-

нения (1.5) и ее частная произ-

водная

fy′(x, y)

непрерывны

в

некоторой области D измене-

ния переменных

x и y, то ка-

кова бы ни была внутренняя

точка M0 (x0 , y0 ) этой области,

существует единственное реше-

ние данного уравнения, прини-

мающее

при x = x0

заданное

значение

y = y0 .

Геометрически

это

означает,

что

существует

единственная

интегральная кривая, проходя-

щая

через

заданную

точку

Рис. 1.1

M0 (x0 , y0 )

(рис. 1.1).

б)

d3s

−t s2 ds

=5 ;

dt3

dt

в)

y′+ y sin x = ex .

Решение

а)

y′′+3xy′− x3 y2 = 0 – дифференциальное уравнение второго