книги / Математика. Дифференциальные уравнения

Основные формулы

Определения и замечания

y(n) = f (x)

(3.6) – нахождение частного реше-

(x0 ) = y0

ния уравнения (3.4) при заданных

y

начальных условиях (задача

Ко-

ши).

5. y′(x0 ) = y0′

. . . . . . . . . .

Замечание.

(3.6)

При отыскании частного решения

(n−1)

(n−1)

уравнений высших порядков нет не-

(x0 )

y

= y0

обходимости сначала находить об-

щее решение, а лишь затем опреде-

лять значения всех постоянных.

Можно, и это лучше, определять

значение каждой постоянной не-

медленно после того, как она появ-

ляется в процессе решения.

6.

F ( x, y′, y′′) = 0

(3.7)

Дифференциальное уравнение (3.7)

явно не содержит искомую функ-

y′ = p (x)

(3.8)

цию y.

Следует запомнить:

F (x, p, p′) = 0

(3.9)

выполняя подстановку (3.8), преоб-

разуем уравнение (3.7) к уравнению

первого порядка

относительно

p

(3.9).

Замечание.

Так как y′ = p (x),

то y′′ = p′(x).

7.

p = ϕ(x,C1 )

(3.10)

Решение уравнения (3.9).

y = ∫ϕ(x,C1 )dx +C2

(3.11)

Искомое общее решение уравнения

(3.7) получим интегрированием ра-

венства y′ = p (x).

8.

F ( y, y′, y′′) = 0

(3.12)

Дифференциальное уравнение (3.12)

y′ = p ( y)

явно не содержит x .

(3.13)

Замечание.

Поскольку y′ = p ( y) , то

F ( y, p, pp′) = 0

(3.14)

y′′ = p′( y) y′ = p′p.

61

Основные формулы

Определения и замечания

Следует запомнить:

выполняя подстановку (3.13), пре-

образуем уравнение (3.12) к уравне-

нию первого порядка относительно р

(3.14).

9. p = ϕ( y,C1 )

(3.15)

Решение уравнения (3.14)

y′ = p = ϕ( y,C1 ) , т.е.

Замечание.

Искомый общий интеграл получим

dy

= x +C2

(3.16)

из уравнения с разделяющимися пе-

∫ ϕ( y,C1 )

ременными.

10.

Замечание.

В случаях (3.7) и (3.12) мы заменяли

производную y′

новой вспомога-

тельной функцией и приходили, та-

ким образом, к уравнению первого

порядка.

y′′ = f ( y′)

(3.17)

Если уравнение

имеет вид (3.17),

т.е. если оно одновременно отно-

сится и к типу (3.7), и к типу (3.12),

то следует выбрать тот ход реше-

ния, который окажется более удоб-

ным.

y′=

1 e3xdx +

∫

C dx +C = 1 e3x +C x +C ,

∫ 3

1

2

9

1

2

1

1

x2

y = ∫ 9 e3xdx + ∫C1xdx +

∫C2dx +C3 =

e3x +C1

+C2 x +C3

– общее

27

2

решение уравнения.

Найдем решение, удовлетворяющее поставленным начальным

условиям:

y (0) = 0 :

1

+C3 = 0,

27

1

y′(0)

=

1:

+C2 =1,

9

y′′(0)

=1:

1

+C1 =1.

3

Получим: C = 2

,

C

=

8 ,

C = −

1

,

поэтому искомым реше-

2

1

3

9

3

27

нием будет:

y =

1

e3x

+

x2

+

8 x −

1

.

(*)

27

27

3

9

Тогда y′=

1 e3x +

2 x +

8 .

9

3

9

Интегрируем еще раз:

y =

1

e3x +

x2

+

8 x +C .

27

3

9

3

Тогда y′=

x2

+

C

y =

x3

+C ln

+C

1

и

x

2

.

3

x

9

1

dp

= − dy

p

2 y

и интегрируя, получим:

ln

p

= −1 ln

y

+ln C

или p =

C1

.

2

1

y

Так как p = y′, имеем:

dy

=

C1

.

dx

y

Определив y из уравнения

ydy =C1dx ,

придем к искомому решению:

3

или y = 3 (C1x +C2 )2 .

y2 =C1x +C2

Замечание. При сокращении на

p было потеряно решение

Основные формулы

Определения

и замечания

(

)

(

)

(

n−2

)

(3.18)

(3.18)

–

линейное

одно-

1.

y

n

+a1 y

n−1

+a2 y

+... +

родное уравнение n-го по-

+an−1 y′+an y = 0

рядка.

дейст-

a1 , a2 ,..., an−1 , an

–

вительные постоянные.

2.

kn +a1kn−1 +a2 kn−2 +... +

(3.19)

Характеристическое урав-

+an−1k +an = 0

нение

для

уравнения

(3.18).

Замечание.

полу-

Уравнение

(3.19)

чим, заменив y(n)

на

kn ,

y(n−1)

на kn−1 … y′ на k ,

y на k0

=1.

3.

= C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn

(3.20) (3.20)

– общее решение

y

уравнения (3.18).

Следует запомнить:

если y1 , y2 ,..., yn –

реше-

ния

уравнения

(3.18),

причем

попарно

линейно

независимые, то

общим

решением

уравнения

(3.18) является их линей-

ная комбинация (3.20).

4.

= C ek1x

+C

ek2 x +... +C

ekn x

(3.21)

Общее

решение

уравне-

y

1

2

n

ния (3.18) при условии,

что корни

k1, k2 ,..., kn

–

действительные и различ-

ные.

Основные формулы

Определения

и замечания

5.

y

= ek1x , y

2

= xek1x ,..., y

m

= xm−1ek1x

(3.22)

Если

k1

есть

действи-

1

тельный

корень

уравне-

ния

(3.19)

кратности

m,

то ему

соответствует

m

линейно независимых ре-

шений уравнения (3.18).

Следует запомнить:

в формуле общего реше-

ния

(3.21)

соответствую-

ek1x (C1 +C2 x +C3 x2 +... +Cm xm−1 )

щие m члены заменяются

(3.23)

слагаемым (3.23).

Замечание.

Общая сумма кратностей

всех корней должна рав-

няться степени характери-

стического

уравнения

n;

поэтому число всех част-

ных решений будет в точ-

ности совпадать с поряд-

ком уравнения.

6.

y1 = eαx cosβx, y2 = eαx sin βx,

(3.24)

Если

α±iβ – пара ком-

y

= xeαx cosβx, y

4

= xeαx sin βx,...,

плексных корней уравне-

3

ния

(3.19)

кратности

m ,

y2m−1 = xm−1eαx cosβx, y2m = xm−1eαx sin βx

то ей соответствует

2m

eαx (C1 +C2 x

+...

+Cm xm−1 )cosβx +

линейно независимых ре-

(3.25)

шений уравнения (3.18).

(Cm+1 +Cm+2 x +... +C2m xm−1 )sin βx

Следует запомнить:

в формуле общего реше-

ния

(3.21)

соответствую-

щие m пар членов заме-

няются слагаемым (3.25).

7.

y(n) +a1 y(n−1) +a2 y(n−2) +...an−1 y′+

(3.26)

(3.26) – линейное неодно-

+an y = f (x)

родное уравнение n-го

порядка

с

постоянными

коэффициентами.

67

Основные формулы

Определения

и замечания

8. y =

+ y*

(3.27) Общее

решение

у

=

y

= y (x,C1,C2 ,...,Cn )

урав-

нения (3.26) получается из

суммы

общего

решения

=

(x,C1 ,C2 ,...,Cn )

со-

y

y

ответствующего однород-

ного уравнения (3.18) и

частного решения

y*

не-

однородного

уравнения

(3.27).

Замечание 1.

имеет корни k = 0 , k

2

= 2 , k

3

=3 . Поэтому,

y = e0 x =1,

y

2

= e2 x ,

1

1

y

=C +C

e2 x +C e3x .

1

2

3

б) Характеристическое уравнение для уравнения

y′′′−2 y′′+ 4 y′−8y = 0

имеет вид:

k3 −2k2 + 4k −8 = 0 ,

k2 (k −2) + 4(k −2) = 0 ,

(k −2)(k2 + 4) = 0 .

Один корень действительный k1 = 2 и два чисто мнимых корня

k

2,3

= ±2i . Поэтому y = e2 x

,

y

2

= cos 2x ,

y

=sin 2x и

1

3

=C e2 x

+C

cos 2x +C sin 2x .

y

2

1

3

в) Для уравнения yV − y′′′= 0 имеем:

)

k5 −k3

= 0 , k3

(

= 0 .

k2 −1

Здесь, k1,2,3

= 0 , k4,5 = ±1 . Поэтому:

y = e0 x =1, y

2

= x , y = x2 , y

4

= ex , y = e−x

1

3

5

и

y =C +C

2

x +C x2

+C

ex +C e−x .

1

3

4

5

69

y′′′− y′= ex sin x ,

(*)

y′′′− y′= 2x2

(**)

и находим для каждого из них частные решения y *

и y *.

1

2