Лабораторная работа по ЧМ №1

1

Лабораторная работа № 2

Решение нелинейного уравнения итерационными методами. Исследование скорости сходимости.

Задача нахождения корней уравнения (1) решается в два этапа. На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. выделяются области, содержащие только один корень (отрезок локализации). На втором этапе, используя заданные начальные приближения, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

Описание итерационных методов Метод бисекций (деления отрезка пополам). Этот метод применяется

как для выделения корней, так и для нахождения значения корней с заданной точностью. Предположим, что на [a,b] расположен один корень x* уравнения

(1). Тогда f(a) и f(b) имеют различные знаки ( пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. В качестве первого приближения x0 вычисляется x0 = 0,5(a + b) и находится f (x0 ) . Если f ( x0 ) < 0 , то искомый корень находится на интервале [a, x0 ] , в противном случае x* [ x0 , b] . Из двух интервалов выбирается тот, на границах которого функция f(x) принимает различные знаки:

2

Итерационный процесс заканчивается, когда погрешность вычислений на текущей итерации станет меньше заданной точности ε > 0 .

Метод Ньютона также называют методом касательных, так как новое приближение xk +1 является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке (xk , f (xk )) к графику функции f(x).

Метод имеет квадратичную сходимость т.е. погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации:

известным значениям xk и xk −1 . В результате получаем итерационный метод секущих:

задавать два начальных приближения x0 и x1 . Данный метод имеет линейную сходимость.

Разностный метод Ньютона. Данный метод также модификацией метода Ньютона (2) путем аппроксимации производной f ' (xk ) выражением:

При малых h получаем разностный метод Ньютона:

Метод Стеффенсена. Заменим в выражении (5) величину h значением функции f ( x k ) : h := f ( xk ) . Получим итерационный процесс с квадратичной сходимостью (Метод Стеффенсена):

приближение x0 . При помощи линейного метода проводим две последовательные итерации и определяем xk +1 , xk + 2 . Ускорение сходимости производим через два шага линейного метода на третий по формуле:

новое приближение в линейном методе.

Задание на лабораторную работу.

На отрезке x [a , b] задана функция f(x). Требуется:

1)построить график функции f(x);

2)найти начальные приближения для корней уравнения (1);

3)методами указанными преподавателем вычислить все корни уравнения

(1)с точностью ε = 10−6 ;

4)для одного из корней провести исследование сходимости методов.

Порядок выполнения работы.

1.Составить программу построения графика функции f(x).

2.Найти отрезки локализации, начальные приближения для корней уравнения (1).

3.Составить программу нахождения корней с точностью ε = 10−6 .

4.Для исследования сходимости необходимо вычислить величину

погрешности z k +1 = f ( xk +1 ) на каждой k-й итерации (k=0,2, N-1, N – число итераций) и построить график зависимости логарифма погрешности от номера

Содержание пояснительной записки. Пояснительная записка должна содержать:

1) постановка задачи; исходные данные, задаваемые преподавателем;

4

2)описание используемых численных методов;

3)текст программы на ЭВМ;

4)результаты расчетов (график функции y=f(x) с указанием корней; график зависимости логарифма погрешности от номера итерации для каждого метода; таблица с результатами);

5)выводы по работе.

Литература.

1.Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.– М.: АСТ, Оникс, 2009. – 430 с.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. – П.: БХВ-Петербург, 2011. – 586 с.

3.Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Лань, 2009. – 288с.

5

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

6