Математика
.docx51 Производные высших порядков
Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом
Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница
Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:
где , - факториал натурального числа .
52 Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:
где при .
Определение
Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:
Замечание
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Замечание
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Замечание
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .
53 Дифференциалы высших порядков.
Определение 19.2. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
Обозначение: d²y=d(dy).
При вычислении второго дифференциала учтем, что dx не зависит от х и при дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель.
Итак, d²y=d(dy)=d(f΄(x)dx)=(f΄(x)dx)΄dx=(f΄(x))΄(dx)²=f΄΄(x)dx². (19.3)
Подобным же образом можно найти третий дифференциал от данной функции:
d³y=d(d²y)=f΄΄΄(x)d³x и дифференциалы более высоких порядков.
Определение 19.3. Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:
dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)΄ = f(n)(x)dnx. (19.4)
Свойства дифференциалов высших порядков.
-
Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
. (19.5)
-
Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.
Покажем это на примере второго дифференциала. Если y=F(φ(x))=F(u), где u=φ(x), то d²y=d(F΄(u)du). Но du=φ΄(x)dx зависит от х, поэтому d²y=d(F΄(u))du+Fu΄(u)d(du)=F΄΄uu(u)(du)²+Fu΄(u)d²u, где d²u=φ΄΄(x)(dx)². Таким образом, форма второго дифференциала изменилась при переходе к аргументу u.
54 Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
a < < b, такая, что
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Т к. , то , следовательно
Теорема доказана.
Определение. Выражение называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
Теорема Коши.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x) 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
,
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,
a < < b, такая, что F() = 0. Т.к.
, то
А т.к. , то
55 Экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.
Достаточные условия экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
Тогда
-
если при и при , то - точка максимума;
-
если при и при , то - точка минимума.
Другими словами:
-
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
-
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.
Второй признак экстремума функции.
Пусть ,
-
если , то - точка минимума;
-
если , то - точка максимума.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть и .
Тогда,
-
если n – четное, то - точка перегиба;
-
если n – нечетное, то - точка экстремума, причем
-
если , то - точка минимума;
-
если , то - точка максимума.
-
56 Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.
Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.
Определение.
Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.
Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.
Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.
На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.
57 Исследование функции на экстремум. Производная f ‘(x) является точечной характеристикой зависимой переменной величины y = f(x) , но может быть эффективно использована для общего анализа функции. Монотонность. Опр. Функция f(x) на интервале [a,b] монотонно возрастает, если при любых х > x0 имеем f(x) > f(x0) и монотонно убывает, если f(x) < f(x0) Теорема: Необходимым и достаточным условием возрастания (убывания) функция f(x) на интервале [a,b] служит неравенство f ‘(x) > 0 ( f ‘(x) < 0 ) для x [a,b]. ( 25 ) Док – во необходимости: Для возрастающей функции справедливо неравенство (f(x) - f(x0))/ (x – x0) > 0 . Переход к пределу дает производную lim ( f(x) - f(x0) )/ (x – x0) = f ‘(x ) > 0 x x0 Док – во достаточности: Пусть х1, х2 [a,b] и x1 < x2 . Применим формулу Лагранжа ( 22 ) для [x1,x2] : f(x2) – f(x1) = f ‘(c ) (x2 - x1 ). Если f ‘(x) > 0 на (x1,x2) , то f ‘(c ) > 0 и f(x2) – f(x1) > 0 f(x2) > f(x1) , т.е. f(x) на (x1,x2) возрастает.