для заочников 1 курс библиотека
.pdf1
Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова
по
выполнению
Белгород
2
2011
УДК 51
ББК 22.1 М 34
Составители:
канд. техн. наук, доц. Г.Л. Окунева
ст. преп. Т.Н. Лавриненко
ст. преп. С.В. Рябцева
Рецензент докт. физ.-мат. наук, доц. А.Г. Брусенцев
Методические указания по выполнению индивидуальных
М34 заданий при подготовке к промежуточным итоговым аттестациям для студентов 1 курса заочной формы обучения / сост.: Г.Л. Окунева, Т.Н. Лавриненко, С.В. Рябцева – Белгород:
Изд-во БГТУ, 2011. – 66с.
Виндивидуальных заданиях предложены стандартные упражнения и вопросы по теории по программам высшей математики первых двух семестров для студентов 1 курса заочной формы обучения.
Издание предназначено для студентов бакалавров всех направлений. Публикуется в авторской редакции.
УДК 51
ББК 22.1
© Белгородский государственный технологический университет (БГТУ) им. В.Г. Шухова, 2011
3
Содержание
Введение……………………………………………………………... 4
Контрольная работа №1……………………………………………. 5
Контрольная работа №2……………………………………………. 36
4
Введение
Изучение курсов высшей математики в ВУЗе помогает студенту ознакомится с основами математического аппарата, овладеть основными навыками его использования для решения теоретических и практических инженерных задач, развить логическое мышление и умение самостоятельно получать знания, используя научную литературу по математике и ее приложениям.
Самостоятельная работа с предлагаемыми заданиями позволяет повысить общий уровень математической подготовки, помогает развить умение применять математические знания на практике.
Методические указания для студентов 1 курса заочной формы обучения предназначены для самостоятельного изучения и подготовки к экзаменам по курсам высшей математики за первый курс. Выполненная индивидуальная работа является зачетной единицей при допуске к экзамену. Задания составлены в форме билета. Студент должен выполнить практическую часть предложенного билета и письменно ответить на вопросы билета.
Каждая контрольная работа снабжена основными теоретическими сведения приведены примеры выполнения некоторых заданий контрольных работ.
5
Контрольная работа № 1
Темы:
1.Матрицы и определители.
2.Аналитическая геометрия на плоскости.
3.Элементы векторной алгебры.
4.Аналитическая геометрия в пространстве.
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
мx-2y-3z = -4, |
|||||||
Решить систему уравнений методом Гаусса п |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
н2x+ y- z = 2, |
|||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о3x+3y-4z = 2. |
|||||||
2. |
Вычислить определитель четвертого порядка: |
|
1 |
3 |
-2 |
4 |
|
. |
||||
|
|
|||||||||||
|
3 |
2 |
1 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5 |
1 |
|
|
3. |
При каком l ранг матрицы равен 2 |
ж l |
|
5l |
|
-1ц |
||||||
А =з2l |
|
l |
|
10ч. |
||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
-3 |
ч |
||
|
|
|
|
|
и -1 -2l |
ш |
||||||
4. |
В |
треугольнике |
ABC , у |
которого |
А(1;-1), |
B(4;3), C(5;1), найти |
||||||
длины |
сторон треугольника, |
высоту АН , медиану |
CM , площадь |
|||||||||
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
В |
точке A(2;6), |
лежащей на окружности |
|
(x+2)2 +(y-3)2 = 25, |
провести касательную к данной окружности.
6.Определить вид кривой и построить ее: 4x2 +9y2 +8x -32 = 0.
7.На параболе найти точку, фокальный радиус который равен 9. Уравнение параболыx2 = -12y .
8.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;-3;4)
перпендикулярно прямой x-1 = y = z +2 .
|
|
|
2 |
-3 |
5 |
|
|
|
9. |
Найти |
sin |
угла |
B |
треугольника |
ABC , |
если |
|
А(3;4;1), B(2;1;6), C(4;0;2) . |
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Найти |
объем |
тетраэдра, |
заданного |
вершинами |
|||
A(0;0;1),B(2;3;5),C(6;2;3),D(3;7;2) . |
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Что называется определителем второго порядка?
2.Каким свойством обладают коллинеарные вектора на плоскости?
3.Что такое эллипс? Каковы его основные характеристики?
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Дана матрица |
|
ж1 |
2 |
3ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А = |
з |
3 |
2 |
1 |
ч . Найти 2А+ А2 -Е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
з |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
з |
2 |
1 |
3 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
м3x+2y- z = 4, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить систему уравнений: п |
- y+2z = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о2x- y+3z = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить определитель четвертого порядка: |
|
2 |
1 |
3 |
-2 |
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
1 |
4 |
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
4. |
Составить |
|
уравнение |
касательных |
к |
|
окружности |
||||||||||||
(x-1)2 +(y+3)2 = 40 , перпендикулярных прямой 3x+ y-4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Через точку С(10;-8) |
провести касательную к эллипсу |
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|||||||||||||
25 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
6.Определить вид кривой и построить ее: x2 +6y2 -6x+12y+13= 0.
7.Найти фокальный радиус точки M параболы y2 = 8x, если ее
абсцисса равна 8.
8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
ж |
|
1 |
ц |
|
ж |
|
3 |
ц |
|
M1 з |
2;-3; |
|
ч |
, |
M2 з |
3;5; |
|
ч . |
|
2 |
5 |
||||||||
и |
|
ш |
|
и |
|
ш |
9.Найти векторное произведение векторов a ={3;4;1}, b ={-1;3;1}.
10.Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4), D(1;5;0)
лежат в одной плоскости.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение эллипса и его основных свойств.
2. Какие вектора называются коллинеарными?
3. Как перевести уравнение прямой в пространстве из общего вида
мAx+ B y+C z+ D = 0, |
в канонический? |
|||
н 1 |
1 |
1 |
1 |
|
оA2x+ B2 y+C2z+ D2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
1. Дана матрица |
|
ж2 |
1 |
1 |
ц |
|
А = |
з |
1 |
2 |
1 |
ч . Найти A2 + AЧA-1 . |
|
|
з |
ч |
||||
|
|
з |
1 |
1 |
2 |
ч |
|
|
и |
ш |
2. |
Решить систему уравнений методом Гаусса: |
м3x-4y+ z = 0, |
|||||||
п |
|
= 2, |
. |
||||||
|
|
нx+2y- z |
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
о-x- y+3z =1. |
|||||||
3. |
Вычислить определитель четвертого порядка: |
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
2 |
-4 |
5 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
3 |
1 |
-4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
|
4.Составить уравнения окружностей, касающихся двух
пересекающихся |
прямых x-2y+4 = 0; x+ 2y = 0 |
|
|
и |
проходящих |
через |
||||
точку M (1;0;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Определить вид кривой и построить ее: x2 - |
1 |
y2 - x- |
3 |
y-1= 0 . |
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
||
6. |
Составить каноническое уравнение эллипса, если вершины |
|||||||||
эллипса имеют координаты A1 (6;0), A2 (-6;0), B1 (0;2), B2 (0;-3). |
|
|||||||||
7. |
Докажите |
параллельность |
прямых |
x =1+2t, y = -t, z =1+t и |
||||||
мx+3y+ z+ 2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оx- y-3z-2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти вектор коллинеарный биссектрисе угла А треугольника ABC , |
|||||||||
заданного вершинами A(1;3;5), B(3;5;6), C(4;7;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Найти векторное произведение векторов a = 2i- 4j + 6k, b = -i+ 2 j -k . |
|||||||||
10. В треугольнике ABC , где |
A(4;-6), B(0;5), C(3;2), найти |
длины |
||||||||
сторон, высоту AH , медиану AM и площадь треугольника. |
|
Контрольные вопросы
1. Объясните, как решаются системы m линейных уравнений с n
неизвестными методом Гаусса.
2.Что такое скалярное произведение векторов? Перечислите основные свойства этого произведения.
3.Как найти точку пересечения прямой и плоскости в пространстве?
9
Вариант 4
1. НайтиАЧВ, если |
ж 3 |
2 |
1ц |
ж1 |
2 |
3 |
ц |
|||
A = з |
0 |
5 |
4 |
ч |
, B = з |
3 |
2 |
1 |
ч. |
|
|
з |
-1 3 |
2 |
ч |
з |
2 |
3 1 |
ч |
||
|
и |
ш |
и |
ш |
2. |
Исследовать систему на совместимость |
мx+5y+4z =1, |
. |
|||||||
п |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н2x+10y+8z = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о3x+15y+12z = 5. |
|
3. |
Вычислить определитель: |
|
2 |
5 |
-1 |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
5 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
-7 |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
4. |
Найти уравнение и длину высоты треугольника ABC , |
уравнение |
|||||||
медианы |
и |
|
ее |
длину, проведенных из вершины C , |
если |
||||
ж |
1 |
ц |
|
ж |
2 |
ц |
, |
С(2;2). |
|
Aз1 |
|
;1ч |
, Bз1;1 |
|
ч |
|
|||
2 |
3 |
|
|||||||
и |
ш |
|
и |
ш |
|
|
|
5.Определить вид кривой и построить ее: x2 -9y2 + 2x +36y - 44 = 0.
6.Составить уравнение окружности, описанной около треугольника
со сторонами: 9x-2y-41= 0, 7x+4y+7 = 0, x-3y+1= 0 .
7.Найти направляющие косинусы вектора a = 4i -2 j +3k .
8. Найти вектор a , коллинеарный вектору b = 3i-2 j +8k , если его длина ar =12.
9. На плоскости2x-5y+5 = 0 найти такую точку M , чтобы прямая OM
составляла с осями координат равные углы.
10. Через точку |
M (1;5;-1) провести прямую, перпендикулярную к |
|||||||
|
x+1 |
|
y |
|
z+2 |
мx = 2-3t, |
|
|
прямым |
= |
= |
и п |
|
. |
|||
-1 3 |
|
-1 |
нy |
= -1+t, |
|
|||
|
п |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оz = -2t. |
|
Контрольные вопросы
1.Дайте определение определителей второго и третьего порядка. Какими свойствами они обладают?
2.Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости?
3.Что такое проекция вектора? Как ее определить?
10
Вариант 5
1. |
Решить систему матричным методом: |
м2x+ y- z = 5, |
. |
|
|
|
||||||
п |
= -5, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
нx+2y+2z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о7x+ y- z =10. |
|
|
|
|
|||
2. |
ж8 2цж5 7ц |
ж3 -2ц |
|
|
|
|
|
|||||
Решить уравнение з |
чз |
ч |
= X з |
ч . |
|
|
|
|
|
|||
|
и |
3 4ши6 1 |
ш |
и4 1 ш |
|
|
|
|
|
|||
3. |
Вычислить определитель четвертого порядка: |
|
3 |
2 |
4 |
-1 |
|
. |
||||
|
|
|||||||||||
|
3 |
0 |
-4 |
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
-7 |
1 |
|
|
4. Доказать, что треугольник с вершинами А(1;1), B(2;1+ 3), C(3;41)
равносторонний. Найти его площадь.
5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(5;0), B(1;4), если ее центр лежит на прямой x+ y-3 = 0.
6. |
Определить вид |
кривой |
и |
построить ее график: |
4x2 +9y2 -8x-36y+ 4 = 0 . |
|
|
|
|
7. |
Даны точки M1 (1;2;3) |
и M2 (3;-4;6). Найти направляющие косинусы |
||
вектора M1M2 . |
|
|
|
|
8. |
Найти при каком значении k |
точки |
A(1;2;3), B(-1;4;0), C(-3;1;k), |
D(-3;2;4) лежат в одной плоскости.
9.Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат
идве точки A(4;-2;1), B(2;4;-3) .
10.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;3;1),
пересекающей прямую x-1 = y-2 = z и перпендикулярную к ней.
3 4 3
Контрольные вопросы
1.Как вычисляется определитель n -ного порядка?
2.Какие уравнения прямой на плоскости Вы знаете?
3.Что такое парабола? Какие виды парабол Вы знаете?