- •Колебания. Волны. Оптика
- •1.Колебания
- •1.1.Гармонические колебания
- •1.1.1. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний
- •1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
- •1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
- •1.1.3.1. Колебания груза на пружине
- •Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
- •1.1.3.2. Маятники
- •1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
- •1.1.5. Энергия колебаний
- •1.2. Ангармонический осциллятор
- •1.2.1. Линейность и принцип суперпозиции. Границы его применимости
- •1.2.2. Ангармонический осциллятор
- •1.3. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями
- •Она пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
- •1.4. Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний. Его связь с добротностью осциллятора
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1.5.1. Свободные колебания в контуре
- •1.5.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.5.Переменный ток
- •1.6.Связанные колебания. Нормальные моды связанных осцилляторов
- •1.6.1.Системы с двумя степенями свободы Нормальные моды колебаний
- •1.6.2.Общее решение для мод
- •2.Волны в упругой среде
- •2. 1. Волновое движение. Продольные и поперечные волны
- •2.2. Волновое уравнение в пространстве. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах
- •2.3.Энергия волны
- •2.4.Принцип суперпозиции волн
- •2.5.Образование стоячих волн
- •2.6.Свободные колебания системы со многими степенями свободы. Волны – колебания непрерывных систем
- •2.7. Стоячие волны как нормальные моды колебаний
- •2.8. Моды поперечных колебаний непрерывной струны
- •2.9. Эффект Доплера
- •2.10. Электромагнитные волны
- •2.10.2. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
- •2.10. 2.1.Энергия и импульс электромагнитного поля. Сохранение энергии и импульса в изолированной системе произвольно движущихся зарядов
- •2.10.2.2. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов
- •2.10.2.3.Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии
- •2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»
- •2.10.2.5. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса и момента импульса
- •2.10.3 Излучение диполя
1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний
В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.
Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q– обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы, которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим, тогда отклонение от положения равновесия
Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . ПримемПолученную функциюразложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о
,
где . Тогда с учётом введённых обозначений:
, (1.1.4)
С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:
Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,
тогда
, (1.1.5)
Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что
, (1.1.6)
и имеет два независимых решения: и, так что общее решение:
, или
,
где
Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.
Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , гдеA=Xe-iα– комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.
1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы
1.1.3.1. Колебания груза на пружине
Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:
Где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени ,- смещение от положения равновесия.
Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .
Если пружину растянуть на величинух, после чего отпустить в момент времениt=0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид-kx =ma, или , и
(1.1.6)
Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:
. (1.1.7)
Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что
Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:
.
Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t=0 грузу сообщить смещение х=А, то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).
На груз действует силаF= -kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение грузах,потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:
.(1.1.8)
В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна. Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):
За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы –и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. Пригруз имеет максимальное отрицательное смещение –А,кинетическая энергияWk=0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силыF= -kx. Далее движение происходит аналогично.