- •Федеральное агентство по образованию
- •Методические указания
- •Теория вероятностей
- •1. Непосредственное вычисление вероятностей.
- •2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •4, 5. Повторение испытаний.
- •6. Дискретные случайные величины.
- •7. Непрерывные случайные величины.
- •8. Нормальное распределение.
- •Математическая статистика
- •9. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки.
- •10. Интервальные оценки.
- •Задания к контрольной работе вариант №1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Вариант №8
- •Вариант №9
- •Вариант №10
- •Литература
Методические указания
(номер раздела совпадает с номером задачи в контрольной работе)
Теория вероятностей
1. Непосредственное вычисление вероятностей.
Надо знать: пространство элементарных исходов, формулу классической вероятности и условия ее применения, основные формулы и правила комбинаторики. Геометрические вероятности.
Разделы литературы: [1] гл.1, §1-8; [2] гл.1, §1, 2.
Пример 1. В коробке лежат девять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 9. Последовательно наугад вынимают две карточки и кладут их рядом – получают двухзначное число. Найдите вероятность события А – «Первая цифра числа в два раза меньше второй».
Решение.
Все числа (исходы), которые могут быть получены в результате такого испытания, образуют множество Ω = {12, 13, …, 19, 21, 23, …, 29, …, 91, 92, …, 99} - пространство элементарных исходов. Множество Ω содержит 72 числа. Так как появление всех этих чисел равновозможно, то для вычисления вероятности события можно применить формулу классической вероятности , где n – число всех исходов, а m – число благоприятных исходов события (исходов, при которых наступает событие А). Благоприятные исходы в нашем случае – это числа 12, 24, 36, 48. Таким образом, всего исходов n = 72, благоприятных исходов m = 4, и, следовательно, вероятность события A равна .
Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5см и 10см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает также и в кольцо образованное построенными окружностями.
Решение.
Вероятность попадания точки в кольцо определяется отношением площади кольца к площади большой окружности.
. .
Искомая вероятность .
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
Надо знать: операции над событиями, виды событий, формулы вероятности суммы и произведения двух и более событий.
Разделы литературы: [1] гл.2, §1-3, гл. 3, §1-5; [2] гл.2, §1, 2.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
-
.
(1)
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
-
.
(2)
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событии уже наступило:
-
.
(3)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
-
.
(4)
Вероятность появления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий A1, A2, …, An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
-
.
(5)
Если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
-
,
(6)
где q = 1 – p.
Пример 3. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) три экзамена; б) только один экзамен; в) только 2-й экзамен; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.
Решение.
Обозначим события:
А1 – студент сдаст 1-й экзамен, ,
А2 – студент сдаст 2-й экзамен,
А3 – студент сдаст 3-й экзамен, .
Противоположные события - студент не сдаст 1-й, 2-й, 3-й экзаменысоответственно. ,,.
а) Событие В – студент сдаст все три экзамена состоит в совместном появлении событий А1, А2, А3 (студент сдаст и 1-й, и 2-й, и 3-й экзамены), т.е. . Учитывая, что события А1, А2, А3 независимы, по теореме умножения вероятностей получим
.
б) Событие С – студент сдаст только 2-й экзамен состоит в совместном появлении событий ,А2, (студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены), т.е. . Учитывая, что события ,А2, независимы, по теореме умножения вероятностей получим
.
в) Пусть событие D– студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие D произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен, или только 2-й, или только 3-й, т.е. . Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим
.
г) Пусть событие Е – студент сдаст, по крайней мере, два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.
.
д) Пусть событие F – студент сдаст хотя бы один экзамен. Вероятность этого события найдём по формуле (5) через вероятность противоположного события - студент не сдаст ни одного экзамена.
.
Ответ: а) 0,648; б) 0,018; в) 0,044; г) 0,954; д) 0,998.
Пример 4. В классе 11 девочек и 9 мальчиков. К доске вызвали двух учеников. Найти вероятность того, что они будут а) разного пола; б) одного пола.
Решение.
а) Событие Е, состоящее в том, что вызванные ученики разного пола, произойдёт в одном из двух случаев:
первой вызвали девочку (событие А), а вторым – мальчика (событие B)
или
первым вызвали мальчика (событие C), а второй – девочку (событие D),
т.е. E = A·B + C·D.
Так как девочек в классе 11, а всего учеников 11+9=20, то вероятность события А равна . Мальчиков в классе 9, а т.к. одного ученика уже вызвали, то учеников осталось 20–1=19, поэтому условная вероятность событияB равна . Аналогично получим вероятностии.
Окончательно получим
.
б) Событие A – вызванные ученики одного пола означает, что к доске вызвали либо двух девочек (обозначим как событие B), либо двух мальчиков (обозначим как событие C). т.е. A = B + С. События В и С являются несовместными, поэтому P(A) = P(B) + P(C). Вероятность вызвать первую девочку равна , а вторую(и девочек и учеников стало на одного меньше). Аналогично первого мальчика вызывают с вероятностью, а второго. Окончательно получим.
Ответ: а) 0,52; б) 0,48.