книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdfЮ.А. МИТРОПОЛЬСКИЙ
О.Б. ЛЫКОВА
Интегральные
многообразия
внелинейной
механике
:V,\
■ч
'> )
НЕЛИНЕЙНЫЙ
АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Ю. А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, О. Б. ЛЫКОВА
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ
Контрол ЬI J экземпляр
Ш і
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1973
|
Г66. ПУБЛИЧ АП |
4 У |
|
НАУЧНО-ТЕХЙИЧЕ -КАЯ |
, |
617.2 |
БИБЛИОТЕКА ССО Р |
|
|
|
|
М 67 |
Ч і - 2 > 3 № < ^ |
|
УДК 517.9 |
|
Серия «Нелинейный анализ и его приложения»
выпускается под общей редакцией
Н . Н , Боголюбова, М . А . Красносельского, Ю . А . Митропольского
Интегральные многообразия в нелинейной механике. Ю. А. М и т- р о п о л ь с к и й , О. Б. Л ы к о в а .
Серия «Нелинейный анализ и его приложения» посвящена пробле мам нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, нели нейным колебаниям, современным методам их исследования, приложе ниям к задачам механики, физики и т. д.
Настоящая монография посвящена развитию теории интегральных многообразий (интегральных поверхностей) для различных классов дифференциальных уравнений, встречающихся в нелинейной механике и содержащих «малый» или «большой» параметр. Приведен также анализ структуры решений на многообразиях.
Книга должна помочь специалистам, занимающимся вопросами теории нелинейных колебаний, ознакомиться с результатами, связан ными с дальнейшим развитием идей и методов. Н. Н. Боголюбова по теории интегральных многообразий.
Книга рассчитана для студентов старших курсов, а также аспи рантов и научных работников, интересующихся современными вопро сами теории дифференциальных уравнений.
Библ. 230 назв.
(£) Издательство «Наука», 1973.
Юрий Алексеевич Митропольский, Ольга Борисовна Лыкова
Интегральные многообразия в нелинейной механике
(Серия «Нелинейный анализ и его приложения»)
М., 1973 г., 5.12 стр.
Редактор Я. М. Овчинникова
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректоры О. А. Бутусова, Е. В. Сидоркина
Сдано в набор 25/ХП 1972 г. Подписано к печати 31/V 1973 г. Бумага 84X108/эа. Физ печ. л. 16. Условн. печ. л. 26,88. Уч.-изд. л. 26,37. Тираж 8000 экз. Т-08151.
Цена книги 1 р. 87 к. Зак. № 3—265. Тип. зак. № 195.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Отпечатано с матриц, изготовленных в головном предприятии республиканско го производственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киева, ул. Довженко, 3, 4-й типографией издательства «Наука», 630077, Но восибирск-77, Станиславского, 25.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Г л а в а |
I. В веден и е............................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||
§ 1. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных |
11 |
||||||||||||
|
у р ав н ен и й .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
Формулировка |
проблемы (11). 2. Определение интегрально |
|
|||||||||
|
го многообразия (12). 3. |
Примеры интегральных многообразий (13). |
|
||||||||||
|
4. Постановка некоторых основных задач в теории интегральных |
|
|||||||||||
|
многообразий (15). 5. Метод интегральных |
многообразий (16). 6. |
|
||||||||||
|
Значение метода интегральных многообразий (17). 7. |
Примеры |
клас |
|
|||||||||
|
сов уравнений, допускающих применение метода интегральных |
|
|||||||||||
|
многообразий (19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ 2. |
Вспомогательные сведения |
из |
линейной |
алгебры и анализа |
26 |
||||||||
|
1. |
Матричные обозначения (26). 2. |
Линейные |
преобразова |
|
||||||||
|
ния (29). 3. |
Функции матрицы |
(30). 4. Функции |
оператора (32). |
|
||||||||
|
5. Корневые |
и собственные |
подпространства (33). |
6. |
Норма |
мат |
|
||||||
|
рицы, интеграл, производная (35). 7. Лемма Гронуолла—Веллма |
|
|||||||||||
|
на (36). 8. Принцип сжатых |
отображений |
(37). |
|
|
|
|
|
|||||
§ 3. |
Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений |
40 |
|||||||||||
|
1. Первый интеграл (40). 2. Линейные системы (43). 3. Устой |
|
|||||||||||
|
чивость решений нелинейных систем (55). |
4. |
Квазилинейные си |
|
|||||||||
|
стемы (57). 5. Системы уравнений в стандартной форме (62). |
|
|
||||||||||
Г л а в а |
11. Интегральные |
многообразия нелинейных |
дифферен |
67 |
|||||||||
|
циальных уравнений в стандартной форме................................ |
|
|
|
|
||||||||
§ 1. Приведение уравнения в стандартной форме к специальному |
67 |
||||||||||||
§ 2. |
виду |
............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существование и свойства одномерного интегрального много |
75 |
||||||||||||
|
образия .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
Лемма |
о существовании |
интегрального |
многообразия |
(75). |
|
||||||
|
2. Свойство почти-периодичности функции |
f |
(t, |
g, |
8) |
(76). 3. Лем- |
|
||||||
|
ма об устойчивости интегрального многообразия |
(78). |
4. Теорема |
|
|||||||||
|
о существовании и свойствах интегрального многообразия уравне |
|
|||||||||||
|
ния в стандартной форме (80). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Г л а в а |
III. Интегральные многообразия нелинейных дифферен |
|
|||||||||||
|
циальных уравнений, |
близких к точно-интегрирующимся, в |
85 |
||||||||||
|
окрестности периодических решений ........................................ |
|
|
|
|
|
|
||||||
§ 1. |
Приведение нелинейных дифференциальных уравнений, близ |
85 |
|||||||||||
|
ких к точно-интегрирующимся, к специальному виду |
. . . |
|||||||||||
|
1. |
Частные случаи (85). 2. Общий случай |
(91). |
|
|
|
|
|
1
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 2. |
Двупараметрические |
локальные интегральные многообразия |
99 |
||||||||||||||||||
|
1. |
Основные |
предположения |
(99). |
2. |
Лемма о |
существовании |
|
|||||||||||||
|
двупараметрического локального интегрального многообразия (101). |
|
|||||||||||||||||||
|
3. Свойства |
двупараметрического локального интегрального |
|
мно |
|
||||||||||||||||
|
гообразия 911t (112). 4. Формулировка |
основного результата |
(118). |
|
|||||||||||||||||
§ 3. |
Интегральные многообразия систем нелинейных дифференци |
120 |
|||||||||||||||||||
|
альных уравнений |
второго |
порядка |
.................... |
|
|
|
. . . . . |
|||||||||||||
|
1. |
Приближенное |
представление |
|
двупараметрического |
инте |
|
||||||||||||||
|
грального |
многообразия (120). 2. Теорема о «сильной» устойчивости |
|
||||||||||||||||||
|
двупараметрического |
|
интегрального |
многообразия |
(126). |
|
|
|
|||||||||||||
§ 4. |
Интегральные многообразия систем дифференциальных урав |
129 |
|||||||||||||||||||
|
нений с переменными коэффициентами .................................... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1. |
Существование и свойства интегрального многообразия |
(130). |
|
|||||||||||||||||
6. |
Уравнения с медленно меняющимися параметрами |
|
................ |
|
134 |
||||||||||||||||
|
1. |
Общи« |
оройства |
рассматриваемых |
уравнений. |
Постановка |
|
||||||||||||||
|
задачи (134). 2. Построение приближенного двупараметрического |
|
|||||||||||||||||||
|
Семейства |
решений |
иоходного |
уравнения |
(136). |
3. |
Доказатель |
|
|||||||||||||
|
ство |
|
существования |
|
точного |
двупараметрического |
семейства |
|
|||||||||||||
|
реійэний |
уравнения |
(5.1) |
(140). |
4. |
Оценка |
разности |
|
между |
точ |
|
||||||||||
|
ным семейством решений и его m-м |
приближением (143). |
|
|
|
||||||||||||||||
§ 6. Системы уравнений, описывающие «быстрые» и «медленные» |
|
||||||||||||||||||||
|
движения |
....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146 |
||||
|
1. |
Основные предположения (146). 2. Уравнения специального |
|
||||||||||||||||||
|
вида (147). |
|
3. |
Локальное |
интегральное |
многообразие (1Б2). 4. |
Ин |
|
|||||||||||||
|
тегральные |
многообразия |
системы |
слабо связанных |
осциллято |
|
|||||||||||||||
|
ров |
(161). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
IV. Применение метода интегральных многообразий |
|
для |
|
|||||||||||||||||
|
исследования решений нелинейных |
дифференциальных |
урав |
163 |
|||||||||||||||||
|
нений |
|
|
.............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|||
§ 1. Структура решений на |
однопараметрическом |
интегральном |
|
||||||||||||||||||
|
многообразии уравнений в стандартной ф о р м е |
.................... |
|
|
163 |
||||||||||||||||
|
1. |
Периодические |
и |
квазипериодические |
решения |
(163). 2, |
Ис |
|
|||||||||||||
|
следование решений,- не лежащих на многообразии |
|
(168). 3. |
Ос |
|
||||||||||||||||
|
новная теорема (169). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 2. Исследование структуры решений на двупараметрическом ло |
|
||||||||||||||||||||
|
кальном интегральном многообразии уравнений, близких к |
|
|||||||||||||||||||
|
точно-интегрирующимся. Нерезонансный |
с л у ч а й ................ |
|
170 |
|
||||||||||||||||
|
1. |
Формулировка |
задачи |
(170). |
2. |
Структура |
приближенных |
|
|||||||||||||
|
стационарных |
решений |
(172). |
3. |
Равномерная |
ограниченность |
|
||||||||||||||
|
точных решений исходного |
уравнения |
на |
многообразии |
(175). |
|
|||||||||||||||
|
4. Доказательство существования точных стационарных |
реше |
|
||||||||||||||||||
|
ний (177). 5. Свойство устойчивости точных стационарных ре |
|
|||||||||||||||||||
|
шений |
на |
многообразии |
(179). |
6. |
Теорема |
о существовании и |
|
|||||||||||||
|
свойствах |
семейства |
точных |
отационарных решений |
на многооб |
|
|||||||||||||||
|
разии |
(180). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 3. |
Резонансный |
случай |
................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182 |
|
1. Приближенное представление решений на многообразии.
Улучшенное первое приближение (182). 2. Исследование общего случая (187).
О Г Л А В Л Е Н И Е |
5 |
§ 4. Влияние малого возмущения на релаксационную систему 194
1. Постановка задачи (194). 2. Первое приближение |
(195). |
3.Второе приближение (200).
§5. Исследование квазипериодических решений нелинейных диф
ференциальных уравнени й ........................................................... |
|
|
203 |
||
1. |
Квазипериодические |
режимы в нелинейных системах |
(203). |
||
2. Квазипериодические режимы *в системах, близких |
к гамильто |
||||
новым (210). |
|
|
|
|
|
Г л а в а |
V. Исследование |
окрестности |
положения |
равновесия 221 |
|
§ 1. Уравнения специального вида ................................................ |
|
|
221 |
||
1. Основные предположения (221). 2. |
Преобразование |
исход |
|||
ных |
уравнений (223). |
|
|
|
|
§ 2. Двупараметрические локальные интегральные многообразия 226
I. Доказательство существования и единственности двупара метрического локального интегрального многообразия (227). 2. Свойство устойчивости локального интегрального многообразия
ЭЛ/ (234). 3. Теорема об интегральном многообразии исходного уравнения (239).
§ 3. Интегральные многообразия уравнений, близких к линейным 240
1. Постановка задачи (240). 2. Приведение исходного уравне ния к специальному виду (240). 3. Теорема о нелокальном инте гральном многообразии (243). 4. Исследование структуры решений уравнений на многообразии (245).
4. |
Применение метода интегральных многообразий к исследова |
247 |
||||||||
|
нию устойчивости при |
постоянно-действующих |
возмущениях |
|||||||
|
1. |
Основные определения (247). |
2. |
Постановка |
задачи |
(248). |
|
|||
|
3. Доказательство |
ограниченности |
функции Ф (/, |^, |
£*, е) |
(250). |
|
||||
|
4. Теорема об устойчивости (252). |
|
|
|
|
|
|
|||
Г л а в а |
VI. Нерегулярно-возмущенные |
системы дифференциаль |
|
|||||||
|
ных |
уравнений................................... |
|
|
|
........................................... |
|
|
253 |
|
§ 1. Интегральные многообразия нелинейных нерегулярно-возму |
|
|||||||||
|
щенных систем дифференциальных |
уравнений |
|
.................... |
253 |
|||||
|
1. |
Постановка задачи (253). 2. |
Существование |
интегрального |
|
|||||
|
многообразия (255). |
3. |
Устойчивость |
интегрального |
многообра |
|
||||
|
зия |
(261). |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. Интегральные многообразия нелинейной нерегулярно-возму |
264 |
|||||||||
|
щенной системыдифференциальных уравнений в общем случае |
|||||||||
|
1. |
Основные предположения (264). |
2. Теорема о существовании |
|
||||||
|
интегрального многообразия системы (2,1) (265). 3. |
Вспомогатель |
|
|||||||
|
ная |
лемма (266). |
4. Продолжение |
доказательства |
|
теоремы 2.1 |
|
|||
|
(268). 5. Устойчивость интегрального многообразия (271). 6. Пе |
|
||||||||
|
риодические и почти-иериодические |
интегральные |
многообразия |
|
||||||
|
(277). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. |
Исследование решений нелинейных нерегулярно-возмущен |
|
||||||||
|
ных систем дифференциальных у р ав н ен и й ............................ |
|
|
280 |
1. |
Существование |
ограниченного решения (280). 2. Устойчв- |
вость |
ограниченного |
решения (285). |
6 |
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
§ 4. |
Интегральные многообразия линейной нерегулярно-возму |
|
|
щенной системы дифференциальных у р авн ен и й .................... |
290 |
1. Существование интегрального многообразия (290). 2. Устой чивость интегрального многообразия (297). 3. Периодические
нпочти-периодические интегральные м огообразия (303).
§5. Исследование решений линейных нерегулярно-возмущенных
систем дифференциальных уравнений ................................... |
309 |
|
1. |
Основные предположения (309). 2. Существование ограни |
|
ченного решения (310). 3. Условная асимптотическая устойчивость |
||
ограниченного решения (315). |
|
|
Г л а в а |
VII. Интегральные многообразия систем |
нелинейных |
дифференциальных уравнений с отклоняющимся |
аргументом 326 |
|
§ 1. Уравнения с отклоняющимся аргументом и переменными коэф |
||
фициентами .............................................................................. |
326 |
|
1. |
Основные предположения (326). 2. Теорема о существовании |
|
устойчивого интегрального многообразия (328). |
|
|
§ 2. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных си |
||
стем с запаздыванием .................................................................. |
342 |
1. Постановка задачи (343). 2. Теорема о существовании интег рального многообразия (343). 3. Теорема об устойчивости инте грального многообразия (317).
§ 3. Применение метода интегральных многообразий для доказа тельства существования и устойчивости ограниченного реше ния нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием . 354
1. Постановка задачи (354). 2. Теоремы о существовании и устойчивости ограниченного решения нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием (355).
Г л а в а VIII. |
Интегральные многообразия дифференциальных |
|
уравнений в банаховом пространстве....................................... |
357 |
|
§ 1. Некоторые |
понятия геометрии бесконечномерных |
про |
странств |
................................... ...................................................... |
357 |
1.Банаховы пространства (357). 2. Линейные операторы (358).
3.Линейные операторы в гильбертовом пространстве Н (361). 4. Вполне-непрерывные операторы (362). 5. Прямые суммы про
странств (363). 6. Элементы спектральной теории линейных огра
ниченных операторов (364). 7. |
Функции |
операторов |
(368). 8. Опе |
||||||
раторная |
экспонента (370). 9. |
Дифференцирование |
вектор-функ |
||||||
ции (371). |
10. |
Принцип сжатых |
отображений |
(373). |
1 1. Отобра |
||||
жения (374). |
12. |
Дифференциальные |
уравнения |
в |
банаховом |
||||
пространстве |
(375). 13. Линейные дифференциальные |
уравнения |
|||||||
с постоянным |
оператором (376). 14. Функция Грина |
(378). 15. Ли |
|||||||
нейные дифференциальные уравнения с |
периодической оператор- |
||||||||
функцией |
(381). |
16. Линейные |
дифференциальные |
уравнения с |
|||||
периодической оператор-функцией, зависящей |
от параметра (383). |
||||||||
17. Квазилинейные уравнения |
(385). |
|
|
|
|
§ 2. Уравнения в стандартной форме ............................................... |
|
387 |
|
1. Приведение исходного уравнения к специальному |
виду (387). |
||
2. Существование и свойства |
интегрального многообразия (398). |
||
§ 3. Уравнения, близкие к точно-интегрирующимся.................... |
407 |
||
1. Расщепление исходного |
уравнения |
(407). 2. Существование |
|
и свойства локального интегрального |
многообразия (411). |
О Г Л А В Л Е Н И Е |
7 |
§ 4. Исследование устойчивости решений нелинейных дифферен |
|
циальных уравнений в банаховом пространстве.................... |
422 |
1. Формулировка задачи (422). 2. Принцип сведёния (424).
§ 5. Интегральные |
многообразия нерегулярно-возмущенных диф |
|
ференциальных |
уравнений в банаховом пространстве . . . |
437 |
1. Основные предположения (437). 2. Существование интег |
|
|
рального многообразия (438). 3. Устойчивость многообразия Sj (444). |
|
|
Г л а в а IX. Заключение ........................................................................ |
448 |
|
§ 1. Обзор работ по интегральным многообразиям, не вошедших в |
|
|
монографию |
................................................................................... |
448 |
1. Обзор некоторых результатов советских авторов (448).
2.Обзор работ иностранных авторов (449).
§2. Применение теории периодических поверхностей к изучению
орбит сп у тн и к о в ............................................................................... |
476 |
I. Дифференциальные уравнения (476). 2. Переменные фазового |
|
пространства (478). 3. Периодические поверхности |
(480). 4. Пе |
риодические интегральные разложения (482). 5. Преобразование |
|
уравнения для s2 (484). 6. Интеграл энергии (486). |
7. Угловой |
момент (488). 8. Определение приближенных решений |
0 (490). |
Литература ................................................................................... |
494 |
Предметный указатель........................................................................... |
507 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1961 году на Международном симпозиуме по нели нейным колебаниям, состоявшемся в г. Киеве, был пред ставлен обзорный доклад Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Мит ропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в Советском Союзе [18], так и в США [19]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основ ные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулирова ны возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.
Появление указанной работы, а также обзоров по тео рии интегральных многообразий [16], [20], [133], [134], [135] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механи ке как в Советском Союзе, так и за рубежом (США, ЧССР, СРР). По намеченным в [18] наиболее актуальным пробле мам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих «малый» и «большой» параметр, на уравнения в функцио нальных пространствах, на системы уравнений с малым па раметром при производной, системы с запаздыванием и др.
Предлагаемая читателю монография содержит, кроме из вестных основополагающих результатов Н. Н. Боголюбова, в основном результаты авторов, относящиеся к теории ин тегральных многообразий и к вопросам, связанным с ис следованием поведения интегральных кривых на многооб разии и в их окрестности, для уравнений, содержащих малый параметр. В книгу включены также результаты, по лученные К. В. Задиракой и В. И. Фодчуком.
Остановимся кратко на содержании книги.
В первой главе (§ 1) изложены основные положения тео рии интегральных многообразий в нелинейной механике, а также приведены примеры дифференциальных уравнений, при исследовании которых применение метода иитеграль-
П Р Е Д И С Л О В И Е |
9 |
ных многообразий оказывается весьма эффективным. Пара графы 2 и 3 этой главы носят вспомогательный характер; в них изложен необходимый аппарат из алгебры и анализа.
Вторая глава посвящена фундаментальной теореме Н. Н. Боголюбова о существовании и основных свойствах одно параметрического интегрального многообразия систем нели нейных дифференциальных уравнений в стандартной форме.
В третьей главе изложены основные результаты, относя щиеся к исследованию интегральных многообразий нелиней ных' дифференциальных уравнений, близких к точно ин тегрирующимся.
Исследованы двупараметрические локальные интеграль ные многообразия в окрестности периодических решений не возмущенных уравнений, соответствующих исходным (§ 2). Построено приближенное представление двупараметри ческого интегрального многообразия для системы нелиней ных уравнений второго порядка и приведена теорема о «сильной» устойчивости этого многообразия (§ 3). Рассмот рены интегральные многообразия систем уравнений с пере менными коэффициентами (§ 4). Для уравнений с медленно меняющимися параметрами доказано существование точ ного двупараметрического интегрального многообразия, по строено его приближенное представление и получена оцен ка разности между точным представлением многообразия и его т-и приближением (§ 5). Изучены вопросы существова ния и основных свойств интегральных многообразий си стем уравнений, описывающих «быстрые» и «медленные» движения; в качестве примера рассмотрены интегральные многообразия системы слабо связанных осцилляторов (§ 6).
Четвертая глава посвящена исследованию поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений на интегральных многообразиях. Здесь приводятся как клас сические результаты Н. Н. Боголюбова, относящиеся к ис следованию периодических и квазипериодических решений, лежащих на однопараметрическом интегральном многооб разии, так и ряд результатов, полученных авторами и от носящихся к исследованию периодических и квазиперио дических решений, лежащих на двупараметрическом инте гральном многообразии, к исследованию влияния малого возмущения на релаксационную систему, к исследованию квазипериодических режимов в системах, близких к га мильтоновым.