Рассмотрим тороид, намотанный на сердечник из однородного и изотропного магнетика. Если по тороиду пропустить ток I, то внутри него возникнет магнитное поле, которое можно рассчитать с помощью теоремы о циркуляции вектора .
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора поля тороида представляют собой окружности, центры которых расположены на оси вращения 00 тора. Ось 00 проходит через точку 0, перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 8). Направление линийсвязано с направлением токаI в витках обмотки правилом правого винта. Поэтому при расчете поля внутри тороида в качестве контура интегрирования L удобно взять одну из таких линий с произвольным радиусом r. Направление обхода контура L выбирается одинаковым с направлением линии (рис. 8). Тогда на основании теоремы о циркуляции вектораможно записать:
, (13)
где N – число витков в обмотке тороида (все витки охватываются контуром интегрирования). Учитывая, что модуль вектора во всех точках такого контура будет постоянным, выражение (13) можно переписать следующим образом:
или
. (14)
Откуда находим выражение для H:
. (15)
Анализ формулы (15) показывает, что магнитное поле внутри тороида в общем случае неоднородно – напряженность поля H уменьшается при увеличении r от до:
, (16)
, (17)
где – диаметр витков обмотки тороида.
Если контур интегрирования выбрать в виде окружности с центром, лежащим на оси 00, и радиусом, то он вообще не охватит витков обмотки с током (NI=0). Поэтому, согласно (13), в области, для которой выполняется неравенство , напряженность магнитного поляH=0.
Если контур интегрирования выбрать в виде окружности с радиусом, то алгебраическая сумма токов в витках обмотки, охватываемых контуром, равнаNI-NI=0 и, согласно (13), в области, в которой , напряженность магнитного поляH=0. Следовательно, вне тороида магнитного поля нет.
Напряженность магнитного поля на средней линии тороида
(18)
где – длина средней линии тороида.
Если увеличивать средний радиус тороида , сохраняя диаметр его витковd и число витков на единицу длины , то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. Притороид называюттонким, а поле в нем будет практически неизменным по модулю .
Экспериментальная часть
Метод измерений
Магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от напряженностимагнитного поля. По этой причине от величины зависят и те характеристики контура электрической цепи, которые связаны с магнитной проницаемостью ферромагнитного сердечника, например индуктивность тороида
(19)
и его индуктивное сопротивление переменному току
, (20)
где – магнитная постоянная; – число витков тороида, – площадь поперечного сечения сердечника тороида; – длина средней линии сердечника тороида;– циклическая частота переменного тока.
В данной работе измерение магнитной проницаемости сердечника основано, согласно формуле (19), на измерениях индуктивности тороида и его геометрических параметров ,и . Для определения индуктивности достаточно измерить индуктивное сопротивлениетороида переменному току известной частоты . Полное сопротивлениетороида переменному току
. (21)
Так как обычно , то величиной активного сопротивлениятороида можно пренебречь по сравнению с индуктивным сопротивлением переменному току частоты 200 Гц.
Закон Ома позволяет определить величину путем измерений тока и напряжения на участке цепи, содержащем тороид:
. (22)
Расчетная формула для определения магнитной проницаемости , полученная с использованием выражений (19), (20), (21), (22), имеет следующий вид:
, (23)
где – постоянная установки.
Напряженность магнитного поля, которое создается в тороидальном сердечнике при протекании по обмотке тока , можно приближенно рассчитать по формуле (18)
. (24)
Таким образом, каждому значению тока I соответствуют определенная напряженность магнитного поля магнитная проницаемость сердечника и индукция магнитного поля:
. (25)
Определяя величины , и при различных токах, можно экспериментально установить следующие зависимости:
а) – зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля (основная кривая намагничивания ферромагнетика);
б) – зависимость магнитной проницаемости сердечника от напряженности магнитного поля.
Описание экспериментальной установки
Электрическая схема установки показана на рис. 9, монтажная –
на рис.10.
Рис. 9. Электрическая схема:
1 – генератор сигналов специальной формы;
2 – мультиметр (режим , входы COM,mA);
3 – блок «Сопротивление», = 100 Ом;
4 – мультиметр (режим V 2 V, входы COM, VΩ);
5 – тороидальный сердечник с обмотками и;
6 – блок «Ферромагнетик».
На тороидальный сердечник 5, изготовленный из исследуемого ферромагнитного материала, намотаны проволочных витков. Эта обмотка, по которой пропускают переменный ток частоты 200 Гц, служит для намагничивания ферромагнетика, и по ее параметрам определяют напряженность намагничивающего поля. Генератор сигналов специальной формы 1 позволяет изменять напряжение , а следовательно, и ток в обмотке тороида. Эти величины измеряют соответственно вольтметром 4 и миллиамперметром 2.
Рис. 10. Монтажная схема: 2 – мультиметр(режим , входы COM,mA);
3 – блок «Сопротивление», = 100 Ом; 4 – мультиметр (режим V 2 V, входы COM, VΩ); 6 – блок «Ферромагнетик».