книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин
.pdfВ. Л . К и с е л е в ,
засл. деят. науки и техники РСФСР, д-р техн. наук, проф.
Р А С Ч Е Т П Л А С Т И Н
М О С К В А
С Т Р О Й И З Д А Т
1 973
УДК 624.073.1.044 : 539.3
В. А. Киселев. Расчет пластин. М., Стройиздат, 1973. 151 er
Вкниге излагаются принципы расчета прямоугольных
изотропных и ортотропных пластин на _у.пр,ухом_0£Ш}вании с двумя коэффициентами постели. Дл я прямоугольных плит, "шарнйрно" опертых по двум противоположным сторонам при любых закреплениях двух других сторон, применен метод начальных параметров в разработке автора. Приведены и некоторые приближенные методы. Даны примеры.
Книга предназначена для научных и инженерно-тех нических работников научно-исследовательских и проект ных организаций.
Табл. 5, ил. 89, список лит.: 19 назв.
©Стройиздат, 1973 г.
к0325—204 87—73 047(01)—73
Г л а в а 1
ВВЕДЕНИЕ § 1. Предпосылки приближенного расчета пластин
Оболочкой называется тело, заключенное между поверх ностями, образованными концами отрезка постоянной или перемен ной длины, перпендикулярного к некоторой гладкой направляю щей поверхности, при движении по ней середины отрезка, длина которого мала по сравнению с направляющей поверхностью (рис. 1).
Поверхности, очерчиваемые концами перпендикуляра, назы ваются поверхностями оболочки. Направляющая поверхность на зывается срединной поверхностью оболочки, а отрезок перпенди куляра — ее толщиной.
Таким образом, оболочкой называется тело, заключенное между двумя гладкими поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела, что и составляет обычное (не совсем точное) определение оболочки.
Если отрезок перпендикуляра постоянной длины, то оболочка
будет постоянной толщины, а если |
переменной — то |
и оболочка |
|
будет переменной толщины. |
|
|
|
Если направляющая |
(срединная) |
поверхность есть |
плоскость, |
то оболочка называется |
пластиной |
(рис. 2). |
|
Направляющая |
Направляющая |
поверхность |
плоскость |
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Иногда пластину определяют как цилиндрическое или приз матическое тело, у которого один размер (толщина) мал по срав нению с двумя другими.
Пластины, как и оболочки, бывают постоянной и переменной толщины.
Пластина представляет собой тело, являющееся по существу предметом исследования науки, именуемой теорией упругости. Однако точный расчет пластины методами этой науки весьма сложен.
3
Поэтому здесь будет изложен обычно применяемый практически приближенный метод расчета пластин, работающих на изгиб, у которых отношение толщины пластины к наименьшему ее размеру
в плане не более Ѵ8 — Ѵ1 0 , с малыми перемещениями |
при |
изгибе |
|
срединной плоскости по перпендикулярному к |
ней |
направлению |
|
(с малыми] прогибами), составляющими лишь |
некоторую |
малую |
|
долю толщины пластины. |
|
|
|
Расчет основан на следующих допущениях. |
|
|
|
1. Точки пластины, лежащие до деформации на перпендику ляре (на нормали) к срединной плоскости, остаются и после де формации изгиба-на перпендикуляре (на нормали) к срединной изогнутой поверхности (гипотеза Кирхгофа — Лява).
Эта основная гипотеза в теории пластин по своему существу аналогична гипотезе плоских сечений, основной гипотезе сопротив
ления материалов в теории бруса. |
|
|
2. Срединная плоскость |
пластины, изгибаемой силами, толь |
|
ко перпендикулярными к ней, не деформируется в своей |
плоскости |
|
и является нейтральным |
слоем. |
оси х Й у |
Из этого допущения следует, что если координатные |
||
расположить в срединной плоскости, а ось z перпендикулярно Ш, |
и если усилия в срединной плоскости отсутствуют, то на срединной
плоскости гх = е у |
= уху = |
0. |
Это допущение |
перестает |
быть допущением и оправдывается |
полностью в тех случаях, когда срединная плоскость пластины после деформации представляет собой развертывающуюся поверх ность, как, например, это имеет место при цилиндрическом из гибе (см. § 4).
3. Слои пластины, параллельные срединной плоскости, не надав ливают друг на друга, т. е. игнорируются напряжения ст2, которые принимаются равными нулю.
При а2 = 0 имеем:
зависимость деформаций от напряжений: e» = -y(of«— Ѵ**у):
Уху — — ^ Xxy >
обратная зависимость |
напряжений |
от |
деформаций: |
^ |
= 7^-1(8* + ^ |
) ; |
(1-1) |
|
1 —(X2 |
|
|
о „ = ~Г—1— г i r (е„ + іхеж ); |
(1.2) |
4
*ху-°Ѵхѵ |
2 ( 1 + | х ) |
У х Г |
(1.3) |
|
Эта гипотеза также аналогична гипотезе сопротивления материа лов о иенадавливании волокон бруса при изгибе.
4. Перемещения точек, лежащих на срединной плоскости пла стины, считаются возможными только по перпендикулярному к ней направлению, т. е. по малости пренебрегаются перемещения точек в самой срединной плоскости. И эта гипотеза аналогична гипотезе
сопротивления |
материалов |
при |
изучении упругой линии бруса |
|||
при изгибе. |
|
|
|
|
|
|
• • • " |
< ( |
г— до |
аерормаци |
|
||
|
|
|
\ |
Срединная |
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ |
плоскость |
|
|
< / |
(ко |
/ |
после |
де- |
-Д. |
|
|
формации |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
~âd |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3 |
|
Рис. 4 |
Все гипотезы (и особенно первая) позволяют, как увидим далее, выразить перемещения различных точек, деформации и напряжения пластины через перемещения соответствующих точек срединной плоскости, т. е. точек, лежащих на общем с ними перпендикуляре к этой плоскости. Так, например, если координатные оси х и у по местить в срединной плоскости, которую условно будем считать горизонтальной, а ось z направить вертикально вниз, перемещение точки k {х, у, z) (рис. 3) можно записать так:
1) перемещение по направлению оси х при малых значениях угла ер
Ü = - Z |
* ? ; |
(1.4)* |
|
|
|
дх |
|
2) перемещение по направлению |
оси у |
|
|
|
|
dw |
/1 г\ |
v = — z—, |
(1.5) |
||
где w — вертикальное перемещение |
ду |
|
|
точки основания перпендику |
|||
ляра на срединной плоскости, на |
котором лежит точка |
k. |
* Минус взят потому, что при положительных значениях dw и z точка k будет приближаться к началу координат (см. рис. 3).
5
§ 2. Зависимости между деформациями, напряжениями и перемещениями
Рассмотрим бесконечно малый элемент в плоскости, параллельной срединной, начальное положение которого до де формации — а, Ъ, си d, а после деформации — аг, blt c t H d x (рис. 4).
|
В деформированном состоянии угловые точки бесконечно малого |
||||||
элемента |
имеют перемещения: |
|
|
||||
|
1) точка |
а |
с координатами х и у по |
оси х имеет перемещение |
|||
и, |
а по оси у |
— перемещение ѵ; |
|
|
|||
|
2) |
точка |
Ь с координатами х + |
dx, у имеет перемещение по оси |
|||
X |
и + ^ |
dx, |
а по оси у — ѵ + |
dx; |
|
||
|
3) |
точка |
с |
координатами х, у |
+ dy |
имеет перемещение по оси |
|
* |
и + |
^ |
ш/ и по оси у — V + ^ |
ог/. |
|
Учитывая, что углы а и ß малы, можем записать относительные удлинения сторон бесконечно малого элемента в таком виде:
Д dx _ |
и |
, — |
dx) |
и |
ди |
V |
дх |
) |
_ |
||
dx |
|
dx |
|
|
дх |
|
|
дѵ |
|
|
|
Д dy _ |
\ |
ду |
J |
_ |
до |
dy |
|
dy |
|
ду |
(1.6)
(1-7)
гжт/ |
:CC + ß = ^ |
^ |
і |
+ |
Л |
™ |
і |
" = * |
і + І 1 . |
(1.8) |
|
dy |
|
|
|
dx |
|
ду |
дх |
|
|
Теперь при помощи зависимостей (1.4), (1.5) можем легко выра |
||||||||||
зить деформации в точке k |
(х, у, z) через вертикальное перемещение |
|||||||||
w (х, у) соответствующей |
ей точки |
k 0 (х, |
у, |
0) иа срединной |
пло |
|||||
скости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
/ л m |
|
|
|
e œ = - Z — ; |
|
|
|
(1.9) |
|||
|
|
|
е « = - 2 ^ ; |
|
|
|
( 1 Л 0 ) |
|||
|
|
у |
|
|
2 |
z ^ L . |
|
(1.11) |
||
|
|
Г |
х у |
|
|
дхду |
|
|
|
|
Относительные |
удлинения |
е ж |
и е,, положительны |
при растяже |
нии, а угол сдвига у х у положителен при уменьшении прямого угла сторон элемента, выходящих из угловой точки и одновременно совпадающих с положительным (или отрицательным) направлением
координатных осей. Так, например, стороны ab и ас, выходящие
из угла а (см. рис. 4), совпадают с положительными |
направлениями |
|||||||
координатных осей х и у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжения |
через перемещения до (х, |
у), |
согласно (1.1) — (1.3), |
|||||
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й ^ / Л , |
Л Л |
|
( 1 1 2 ) |
|||
|
V |
— Г |
777 + ^ ^ 7 |
|
! |
( 1 Л З ) |
||
|
|
1—|і |
2 |
Vö(/2 |
дх* J |
|
|
|
|
X = - G |
z ^ |
= |
— Ü - |
. - ^ - . |
(1.14) |
||
§ 3. |
Понятие о сплошных основаниях пластин |
Сплошным основанием пластин чаще всего является грунт или какое-либо сплошное тело, на которое опирается пла стина (рис. 5).
В зависимости от того, что представляет собой основание, являет ся ли оно упругим или пластичным, а также в зависимости от разви вающихся в нем напряжений различают основания упругие, упругопластичные и пластичные.
Упругими основаниями называют упругие тела с развивающи мися напряжениями от нагрузки только в пределах упругости.
Упруго-пластичными основаниями называют упругие тела с на пряжениями от нагрузки, выходящими в некоторых местах за пре делы упругости.
Пластичными основаниями считают тела, в основном пластич ные, в которых упругими деформациями можно пренебрегать.
Во время деформации пластины соприкасающиеся точки ее подош вы и основания получают одинаковые перемещения, если, разумеется, нет отрыва и сдвига подошвы пластины относительно основания, что и принимается далее.
Условие контактности пластины и сплошного основания обычно для простоты расчета записывается только по равенству вертикаль
ных перемещений срединной плоскости и основания: |
|
w (х, у) = до0 (х, у), |
(1.15) |
где до (х, у) — поверхность вертикальных перемещений срединной плоскости, до0 (х, у) — поверхность вертикальных перемещений основания, прилегающего к подошве пластины.
Сплошное основание для расчета пластин заменяется гипоте тическим основанием, наделенным главными свойствами заменяе мого реального основания, которое иногда принято называть моделью основания. Рассмотрим некоторые модели упругого ос нования.
Первая |
модель упругого основания (Фусса — Винклера) по |
строена на |
следующих допущениях: |
1. Основание считается упругим и двусторонним, в котором могут возникать вертикальные реакции обоих направлений.
2. Реакции основания на подошву |
пластины пропорциональны |
|||
вертикальным перемещениям |
поверхности |
основания |
|
|
г (х, у) = cxw0 (х, |
у) = сгт |
(х, у) |
кгс/см2, |
(1.16) |
Рис. 5 |
Рис. 6 |
где сг — коэффициент пропорциональности, |
именуемый коэф |
фициентом сопротивления упругого основания, часто называемый коэффициентом постели, в кгс/см2.
Такая модель упругого основания может быть представлена бес конечно большим количеством вертикальных упругих пружин, не связанных между собой (рис. 6).
Характерной особенностью такого основания является то, что оно деформируется только в пределах пластины, где на него ока зывается давление. А это противоречит опыту, если основанием является упругое тело, которое при загрузке пластины деформи
руется |
и за пределами ее подошвы, что свидетельствует об одной |
из порочных сторон данной модели упругого основания, используе |
|
мой для |
критики. |
Надо, однако, заметить, что наблюдаемые деформации упругого основания за пределами подошвы не всегда существенны для расчета самой пластины, а потому данная модель упругого основания в под ходящих случаях все же заслуживает внимания хотя бы за ее простоту. Учитывая же, что несвязные грунты вообще мало спо собны к деформации за пределами подошвы пластины, то тем более данная модель упругого основания может иметь практическое при менение. Кроме того, есть случаи, где эта модель основания яв ляется весьма совершенной, как, например, когда пластина пла вает на воде.
8
Pue. 7
|
|
|
|
Упругий |
|
|
|
|
|
|
|
|
слой |
|
|
|
|
|
|
?////////////////// |
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютно |
|
|
|
|
|
|
|
жесткое |
" оснойание |
|
|
|
Рис. 8 |
|
Рис. |
9 |
|
|
|
Вторая |
модель |
упругого |
основания |
(Г. Э. Проктора, H . М. Гер- |
|||
севанова, Б. Н. Жемочкина, |
М. И. Горбунова-Посадова |
и др.) — |
|||||
в виде упругого |
полупространства |
(рис. 7). |
|
|
|
||
Эта модель имеет деформации основания за пределами |
подошвы |
||||||
пластины и в этом отношении способна отражать в некоторой |
мере |
||||||
свойства |
связных |
грунтов. |
|
|
|
|
|
Перемещения поверхности упругого основания w0(x, |
у) |
опре |
деляются по формулам теории упругости. Так, например, перемеще ние любой точки от сосредоточенной силы Р (рис. 8) определяется по формуле Буссинеска
Щ(х, у)-- |
г |
(1.17) |
яЕп |
|
|
где Е0 и [і0 — модуль упругости и коэффициент Пуассона |
основа |
ния; г — расстояние точки, где определяется перемещение от точки приложения силы Р.
Поскольку перемещения поверхности основания при расчете пластины надо находить от неизвестного давления г (х, у), то w0CB оп ределяется интегралом от этой неизвестной функции. А это порож дает в общем случае большие сложности в использовании условия (1.15) контакта подошвы пластины и основания.
Третья модель упругого основания (M. М. Филоненко-Бородича, В. 3. Власова и П. Л. Пастернака) представляет собой основание, реакции которого определяются двумя коэффициентами сопротив ления основания (двумя коэффициентами постели).
По этой модели реакция основания определяется по формуле
r(x,y)=Clw-c2(- + - ) , (1.18)
9