Лекция 9
.docЛЕКЦИЯ 9. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ
1. Ранг системы векторов
Пусть даны векторы
(1)
в пространстве Rn.
Определение. Рангом системы векторов (1) называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы.
Пример. Рассмотрим векторы
, , ,
в пространстве R4. Каков ранг этой системы? Ясно, что и линейно независимы (например, потому, что они ортогональны). Кроме того, , т.е. и есть линейные комбинации векторов и . Значит, линейно независимая подсистема максимальна, откуда вытекает, что ранг системы равен двум. Однако часто бывает трудно непосредственно обнаружить максимальную линейно независимую подсистему, которую называют базисом данной системы, и тем самым определить ранг. Сейчас мы изучим стандартную процедуру, позволяющую находить ранг любой системы. Она называется методом Гаусса.
Дадим определение ранга матрицы. Пусть дана матрица
.
Горизонтальным рангом матрицы A называется ранг системы ее строк
Вертикальным рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов
.
Теорема. Для любой матрицы горизонтальный и вертикальный ранги всегда совпадают.
Их общее значение называется рангом матрицы А и обозначается rank А.
Другое определение (эквивалентное): ранг матрицы равен наивысшей размерности отличного от нуля минора. При этом минором порядка k называется определитель матрицы, расположенной на пересечении произвольных k строк и k столбцов матрицы А.
Перейдем к описанию процедуры вычисления ранга матрицы (а значит и ранга системы векторов, ибо одно непосредственно связано с другим).
2. Приведение матрицы к ступенчатому виду
Ступенчатый вид матрицы указан на картинке:
Белое поле – это нули. Квадратики с густой штриховкой – ненулевые элементы: . Поле с редкой штриховкой – произвольные элементы (нули или не нули – все равно).
Элемент назовем угловым, если он отличен от нуля, а всюду левее и ниже него все элементы – нули (на рисунке угловые элементы – ).
Ступенчатый вид характеризуется тем, что первые r строк содержат угловые элементы, а остальные строки (если ) – нулевые.
Подчеркнем, что «высота» ступеньки всегда единица, а ширина – произвольна.
Утверждение. Пусть матрица имеет ступенчатый вид. Тогда ее ранг равен числу угловых элементов.
Возникает вопрос: как с помощью преобразований, не меняющих ранга, привести произвольную матрицу к ступенчатому виду и, таким образом, вычислить ранг? Такие преобразования будем называть элементарными:
(1) перестановка строк;
(2) к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на число.
Эти преобразования не меняют ранга.
Теорема. С помощью элементарных преобразований (1) и (2) любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Опишем, как это делается. Будем считать, что первый столбец ненулевой (если это не так, находим первый ненулевой столбец и всю процедуру применяем к той части матрицы, которая располагается правее этого столбца и включает его:
Перестановкой строк (если потребуется) добиваемся, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля. Итак, не ограничивая общности, считаем, что . Далее с помощью преобразований (2), используя 1-ю строку, добиваемся, чтобы все коэффициенты, расположенные ниже коэффициента а11, оказались нулями. При этом 1-ю строку сохраняем:
А именно: из 2-й строки вычитаем первую, умноженную на . Тогда на месте первого элемента второй строки а21 окажется ноль. Аналогично поступаем с 3-й, 4-й и т.д. строками. В результате ниже а11 получаем нули, т.е. приходим к виду, указанному на рисунке.
Матрица А, расположенная ниже первой строки и левее первого столбца, имеет на одну строку и на один столбец меньше, чем А. Для нее повторяем те же операции. Через конечное число шагов (не превышающее m) приходим к ступенчатому виду. Указанная процедура носит название «прямой ход метода Гаусса».
Пример: вычислить ранг матрицы
.
Элемент а11 равен 1, поэтому первую строку сохраняем. Вторую преобразовываем так: первую умножаем на 2 и вычитаем из второй. Результат записываем во вторую. Это действие запишем коротко так:
,
т.е. вторая строка переходит в разность: вторая минус первая, умноженная на 2. Аналогично
, .
В результате первого шага получаем
.
На втором шаге с помощью второй строки добиваемся нулей ниже элемента :
, .
В результате получаем:
.
Матрица имеет ступенчатый вид. Угловых элементов, а значит, и ступенек, две. Следовательно rank А 2.
3. Решение задач по линейной алгебре
Задача 1. Доказать, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов есть линейная комбинация остальных.
Доказательство. . Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:
, . (2)
Пусть для определенности . Тогда в равенство (2) можно разделить на и выразить вектор через остальные векторы:
.
. Пусть для определенности первый вектор есть линейная комбинация остальных:
. (3)
Перенесем все слагаемые в левую часть равенства (3):
.
Получили нетривиальную линейную комбинацию (коэффициент при векторе равен единице), равную нулевому вектору. По определению векторы линейно зависимы.
Задача 2. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Доказательство. Рассмотрим следующую линейную комбинацию заданных векторов:
.
Это нетривиальная линейная комбинация (первый коэффициент равен 1), равная нулевому вектору.
Задача 3. Доказать, что векторы
линейно зависимы.
Доказательство. Вычислим сумму всех пяти векторов:
.
Нетривиальная линейная комбинация (все коэффициенты равны 1) равна нулевому вектору.
Задача 4. Доказать, что векторы
образуют базис в Rn.
Доказательство. n векторов образуют базис в линейном пространстве Rn, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулевому вектору:
. (4)
Вычисляем координаты векторов
.
Равенство (4) в координатах имеет вид
.
Два вектора равны равны их соответствующие координаты. Приравниваем к нулю все координаты в левой части равенства:
Вычитаем из второго уравнения первое, из третьего – второе, и т.д. Получаем:
Находим: Тогда из первого уравнения получаем .
Итак, из равенства (4) следует, что все коэффициенты линейной комбинации равны нулю векторы линейно независимы.
Задача 5. Доказать, что векторы образуют базис в R3 и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. 1. Три вектора образуют базис в пространстве, если они не компланарны. Проверим условие компланарности – равенство нулю смешанного произведения этих векторов.
векторы некомпланарны и образуют базис в R3.
2. Разложим вектор по базису:
.
Линейная комбинация векторов в правой части равенства имеет координаты
.
Приравниваем координаты вектора и линейной комбинации. Получаем систему 3 уравнений с 3 неизвестными:
Вычитаем из третьего уравнения первое: . Затем складываем первое и второе уравнения и подставляем :
. Теперь можно определить из первого уравнения: .
Итак, координаты вектора в базисе : , , .
Определение. Линейной оболочкой векторов называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов.
Задача 6. Доказать, что линейная оболочка Е векторов является подпространством.
Доказательство. По определению множество называется подпространством, если:
1) сумма любых двух векторов из Е снова принадлежит Е;
2) произведение любого вектора из Е на скаляр есть вектор из Е.
Проверим условия 1) и 2).
1) Пусть и - линейные комбинации векторов . Тогда их сумма
+=
есть линейная комбинация тех же векторов , т.е. принадлежит множеству Е.
2) Произведение линейной комбинации на число также является линейной комбинацией векторов :
,
т.е. принадлежит множеству всех линейных комбинаций – линейной оболочке Е.
Итак, по определению линейная оболочка Е векторов является подпространством.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"
В "свечке", к. 511 Старосты получают на каф. Информатики в к. 414