RF_5
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Р. К. Бельхеева
РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Новосибирск
2011
УДК 517.52 ББК В161
Б44
Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах:
Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. 76 с.
ISBN 978-5-94356-983-8
В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ.
Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров
Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на 2009–2018 гг.
|
c |
Новосибирский государ- |
|
|
|
|
ственный университет, 2011 |
|
ISBN 978-5-94356-983-8 |
c |
Бельхеева Р. К., 2011 |
|
1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье
Определение. Рядом Фурье функции f (x) называется
функциональный ряд
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|||
|
|
X |
|
(1) |
||||
|
|
|
|
+ |
(an cos nx + bn sin nx) , |
|||
|
2 |
|
|
n=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где коэффициенты an, bn вычисляются по формулам: |
|
|||||||
|
1 |
π |
|
|
||||
an = |
−Zπ |
f (x) cos nx dx, |
n = 0, 1, . . . , |
(2) |
||||
|
|
|||||||
|
π |
|||||||
|
1 |
π |
|
|
||||
bn = |
−Zπ |
f (x) sin nx dx, |
n = 1, 2, . . . . |
(3) |
||||
|
|
|||||||
|
π |
Формулы (2)–(3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f (x) соответствует ряд Фурье (1)
записывают в виде формулы
|
a0 |
∞ |
|
|
f (x) |
X |
(4) |
||
|
||||
|
+ (an cos nx + bn sin nx) |
|||
2 |
||||
|
|
n=1 |
|
и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f (x).
Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты an, bn найдены по формулам (2), (3).
3
Определение. 2π-периодическая функция f (x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [−π, π] найдется
конечное число точек −π = x0 < x1 < . . . < xn = π таких, что в каждом открытом промежутке (xj , xj+1) функция f (x)
непрерывно дифференцируема, а в каждой точке xj суще-
ствуют конечные пределы слева и справа:
f x |
|
lim |
f x |
j − |
h), |
f x |
lim |
f x |
h , (5) |
||
( j |
− 0) = h→+0 |
( |
|
|
( j + 0) = h→+0 |
( |
j + ) |
||||
lim |
|
f (xj − h) − f (xj − 0) |
, |
lim |
f (xj + h) − f (xj + 0) |
. |
|||||
h→+0 |
−h |
|
|
|
h→+0 |
h |
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f (xj − 0) и f (xj + 0) значениями f (xj ).
Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в
точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f (x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f (x), если x точка непрерывности функции f (x),
и равна числу |
f (x + 0) + f (x − 0) |
, если x точка разрыва |
|
2 |
|||
функции f (x). |
|
||
|
|
ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [−π, π] формулой, f (x) = |x|, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы
|
X |
1 |
|
|
X |
||
числовых рядов |
∞ |
|
, |
∞ |
1 |
. |
|
|
n=0 |
(2n + 1) |
|
|
n=1 |
n |
|
Решение. Построим график функции f (x). Получим ку- |
|||||||
сочно-линейную |
непрерывную |
кривую с изломами в точ- |
ках x = πk, k целое число (рис. 1).
4
Рис. 1. График функции f (x)
Вычислим коэффициенты Фурье |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
1 x2 π |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
|
|
|
Z |
f (x) dx = |
|
|
|
|
|
|
|
−π = π, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||
an = |
−Zπ f (x) cos nx dx = |
Z0 |
f (x) cos nx dx = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
π |
π |
||||||||||||||||||||||||||
= π |
|
|
|
|
n |
+ |
|
n2 |
π |
= π cos |
n−2 |
cos 0 = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x sin nx |
|
|
cos nx |
0 |
2 |
|
|
nx |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2 |
|
(−1) 2 − 1 = |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
πn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
, |
|
|
при n |
нечетном, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
π |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при n |
четном, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z
bn = π f (x) sin nx dx = 0,
−π
потому что функция f (x) четная. Запишем формальный ряд Фурье для функции f (x):
|
π 4 |
∞ |
cos (2k + 1)x |
|||
f (x) |
|
− |
|
X |
|
. |
2 |
π |
k=0 |
(2k + 1)2 |
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
Выясним является ли функция f (x) кусочно-гладкой. Так
как она непрерывна, вычислим только пределы (6) в конечных точках промежутка x = ±π и в точке излома x = 0 :
|
lim |
f (π − h) − f (π − 0) |
= |
lim |
|
π − h − π |
= 1, |
|
||||
|
h→+0 |
|
−h |
|
h→+0 |
−h |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
f (−π + h) − f (−π + 0) |
= |
|
lim |
−π + h − (−π) |
= 1, |
||||||
h→+0 |
|
h |
h→+0 |
|
h |
|
|
|
||||
|
lim |
|
f (0 + h) − f (0 + 0) |
= |
lim |
|
0 + h − 0 |
= 1, |
|
|||
|
h→+0 |
|
h |
|
h→+0 h |
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (−0 − h) − f (−0 − 0) |
= |
|
lim |
−0 − h − (−0) |
= 1. |
||||||
h→+0 |
|
−h |
h→+0 |
|
−h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пределы существуют и конечны, следовательно, функция кусочно-гладкая. По теореме о поточечной сходимости ее ряд Фурье сходится к числу f (x) в каждой точке, т. е.
|
|
|
|
π |
4 ∞ |
cos (2k + 1) + x |
|
|||||
|
|
f (x) = |
|
− |
|
X |
|
|
= |
|
||
|
|
2 |
π |
k=0 |
(2k + 1)2 |
|
||||||
= 2 |
− π cos x + 9 cos 3x + 25 cos 5x + . . . |
. (7) |
||||||||||
|
π |
4 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
На рис. 2, 3 показан характер приближения частичных |
||||||||||||
сумм ряда Фурье Sn(x), где |
|
|
|
|
||||||||
|
Sn(x) = a0 + |
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(ak cos kx + bk sin kx), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
2
k=1
к функции f (x) в промежутке [−π, π].
6
Рис. 2. График функции f (x) с наложенными |
на него графиками частичных сумм
S0(x) = a20 и S1(x) = a20 + a1 cos x
Рис. 3. График функции f (x) с наложенным
на него графиком частичной суммы
S99(x) = a20 + a1 cos x + ··· + a99 cos 99x
7
Подставив в (7) x = 0 получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 ∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
k=0 |
(2k + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
откуда мы находим сумму числового ряда: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ . . . = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
32 |
52 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Зная сумму этого ряда, легко найти следующую сумму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S = 1 + |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ . . . . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
22 |
|
32 |
|
42 |
|
52 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π2 |
1 |
|
||||||||||||||||
S = 1 + |
|
+ |
|
|
+ . . . + |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ . . . = |
|
+ |
|
S, |
||||||||||||||||||||||
32 |
52 |
22 |
42 |
62 |
8 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
S = |
|
|
, |
|
|
|
то есть |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумму этого знаменитого ряда впервые нашел Леонард Эйлер. Она часто встречается в математическом анализе и его приложениях.
ПРИМЕР 2. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции заданной формулой f (x) = x для −π ≤ x < π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых
рядов |
|
∞ |
(−1)n |
, |
|
1 + |
1 |
+ |
|
1 |
+ |
|
||||
|
|
n=0 2n + 1 |
|
|
|
− |
2 |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
X |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ − |
1 |
1 |
+ . . . + |
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
+ . . . . |
||||
|
+ |
|
|
|
+ |
|
||||||||||
5 |
7 |
3k − 1 |
3k + 1 |
Решение. График функции f (x) приведен на рис. 4.
8
Рис. 4. График функции f (x) |
Функция f (x) непрерывно-дифференцируема на промежутке (−π, π). В точках x = ±π, она имеет конечные пределы (5): f (−π) = −π, f (π) = π. Кроме того существуют
конечные пределы (6):
lim |
f (−π + h) − f (−π + 0) |
= 1 и |
||
h→+0 |
h |
|
||
lim |
f (π − h) − f (π + 0) |
= 1. |
||
−h |
||||
h→+0 |
|
|||
|
|
Значит, f (x) кусочно-гладкая функция.
Так как функция f (x) нечетна, то an = 0. Коэффициенты bn находим интегрированием по частям:
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
||
bn = |
Z f (x) sin πnxdx = − |
|
|
|
|
|
π |
Z |
|
|||||||||||
|
|
|
x cos nx |
−π |
+ |
|
cos nxdx = |
|||||||||||||
π |
πn |
n |
||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(−1)n+1 |
|
|
|||
|
|
= |
− |
[( 1)nπ + ( 1)nπ] = |
|
. |
||||||||||||||
|
|
πn |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
n |
|
|||||||||
Составим формальный ряд Фурье функции |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
∞ |
|
2(−1)n+1 sin nx. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме о поточечной сходимости кусочно-глад- |
|||||||
кой 2π-периодической функции ряд Фурье функции f (x) схо- |
||||||||
дится к сумме: |
∞ 2(−1)n+1 sin nx = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
если |
|
|
|
|
|
f (x) = x, |
− π < x < π, |
|
|||
|
|
f (π |
− |
0) + f (π + 0) |
= 0, |
если |
x = π, |
|
= |
|
|
|
(8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−π − 0) + f (−π + 0) = 0, |
если |
x = π. |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 5–8 показан характер приближения частичных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумм Sn(x) ряда Фурье к функции f (x). |
|
|
||||||
|
|
Рис. 5. График функции f (x) с наложенным на него |
|
|||||
|
|
графиком частичной суммы S1 |
(x) = a0 + a1 cos x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|