5.2 Электронное торможение ионов

Разобравшись с качественной стороной задачи, рассмотрим теперь более детально электронное торможение при высоких скоростях, когда налетающая частица лишается всех своих электронов. Взаимодействие голого ядра с зарядом z1e и электрона мишени описывается, очевидно, кулоновским

потенциалом, что позволяет применить общую формулу Резерфорда для сечения рассеяния. В соответствии с выражением (3.6)

дифференциальное сечение передачи энергии можно определить, если

связи электронов мишени с атомом. При достаточно больших значениях энергии E1 полное сечение рассеяния (5.2) много больше сечения рассеяния на

ядрах (3.17) из-за большого множителя m1 me >>1. Несложно убедиться, что максимум полного сечения (5.2) приходится на относительно большую энергию E1 = 2Iˆα >> Iˆ. Макроскопическое сечение рассеяния получается умножением (5.2) на плотность электронов n2 z2 и по порядку величины также

больше аналогичного макроскопического сечения рассеяния ионов на ядрах атомов мишени с образованием структурных дефектов.

Именно это обстоятельство дает основание считать потери энергии в процессе электронного торможения превалирующими при больших скоростях ионов. Действительно, подставляя формулу (5.1) в выражение (4.11), получаем тормозную способность из-за столкновений с электронами

В качестве верхнего и нижнего пределов интегрирования снова выбраны соответственно максимальная передача энергии и характерная энергия

ионизации атома Iˆ. Результат интегрирования в (5.3) сразу запишем в виде, из которого понятна независимость электронной тормозной способности от массы налетающей частицы:

Выражение (5.4) является приближенным, поскольку электроны мишени считаются практически свободными для всех передаваемых энергий, в соответствии с чем невозможно, например, учесть вклад возбуждения атомов, энергией которого фактически пренебрегают по сравнению с энергией ионизации. Последняя также вводится чисто феноменологически. Тем не менее даже этой грубой оценке тормозной способности присущи все основные черты электронного торможения ионов. Тормозная способность (5.4)

пропорциональна z12 , а ее функциональная зависимость определяется преимущественно быстро изменяющимся по сравнению с логарифмом множителем v1−2 . Видно также, что электронное торможение очень слабо зависит от энергии E1 и массы налетающей частицы, поэтому удобно

исследовать зависимость тормозной способности от величины v12 2 = E1 m1 .

Простое выражение (5.4) способно сразу описать еще одну важную особенность торможения тяжелых ионов. Поскольку доля энергии на электронное торможение всегда преобладает в суммарном балансе передачи энергии, то функциональная зависимость полной тормозной способности от энергии должна практически во всем интервале энергий повторять электронную. Легко видеть, что электронная тормозная способность (5.4) должна иметь максимум при некоторой величине энергии или скорости,

поскольку в двух предельных случаях v1 → ∞ и v1 = Iˆ2me она равна нулю.

Оценку этой величины можно найти, если приравнять производную функции (5.4) нулю, что дает значения

где e - экспонента. В частности, на рис.5.1 показана зависимость тормозной способности протонов и электронов в воде от величины энергии. Наличие максимума в зависимости тормозной способности от энергии, или так называемого “пика Брэгга”, доказано экспериментально. Отметим, что с помощью общей формулы (4.11) для тормозной способности выражение (5.5) можно обобщить и на случай смеси или соединений, например, на случай таких трехатомных молекул, как вода, из которой на 80% состоят мягкие ткани.

Часто предполагается, что существование пика Брэгга позволяет с максимальной эффективностью проводить лучевую терапию путем выбора

Тормозная способность кэВ/мкм

Рис.5.1 Зависимость тормозной способности протонов (1) и электронов (2) в воде от энергии частицы

таких энергетических характеристик излучения, при которых пик Брэгга приходится на топографически обозначенный очаг злокачественных клеток. Нужно, однако, иметь в виду, что протоны с энергией, например, порядка 70кэВ, на которую приходится брэгговский максимум (см. рис.5.1), просто неспособны создать вторичные электроны с большой энергией. Энергия электронов не будет превышать величину порядка 200эВ, чего недостаточно для образования структурных дефектов. В результате практически вся энергия протонов будет расходоваться собственно в очаге злокачественных клеток на ионизацию и возбуждение атомов.

Тормозную способность обычно записывают в виде

где B - коэффициент торможения, который зависит от характеристик атомов мишени. Его классическое выражение вытекает непосредственно из (5.6), но изменяется весьма существенно, если использовать более корректное квантовое описание процессов торможения. При таком рассмотрении взаимодействие быстрого иона с атомными электронами мишени можно вычислить в рамках первого борновского приближения, используя для описания падающих ионов плоские волны. Дифференциальное сечение процесса передачи части энергии атомным электронам определяется, как известно из квантовой механики, квадратом модуля матричного элемента кулоновского потенциала, который соответствует переходу из начального электронного состояния в конечное. Полное сечение всех возможных электронных переходов с учетом потерь энергии при каждом из них было получено Бете. Из него вытекает, в частности, более точное квантовое выражение для коэффициента торможения:

где I - средняя энергия возбуждения атома.

Выражение (5.7) для коэффициента торможения отличается от

вытекающей из (5.6) классической формулы не только простой заменой Iˆ на I , но и дополнительным множителем 2. Этот результат означает, что возбуждения атомов мишени вносят в тормозную способность дополнительный вклад такой же величины, как и ионизация. При выводе формулы Бете (5.7) предполагается, что скорость налетающей частицы велика по сравнению со скоростями самых быстрых электронов из K-оболочки:

где v0 = e2 =2,2·108 см/с - орбитальная скорость электрона в атоме водорода.

Еще более полная формула для коэффициента торможения была получена Блохом, который дополнительно учел возмущение атомных волновых функций электронов, вызываемое налетающей частицей. Замечательно, что полученный Блохом результат переходит в формулу Бете (5.7) при условии выполнения сильного неравенства (5.8), поскольку быстрый ион просто не успевает, очевидно, существенно изменить атомные волновые функции электронов. В обратном предельном случае медленного иона z1v0 v1 >>1 формула Блоха в точности отвечает результату расчетов Бора

B= z2 ln(1,123mev13 z1v0 I),

вкоторой для атомов мишени использована модель Резерфорда и предполагается, что средняя энергия возбуждения связана со средней частотой осцилляций электрона в атоме: I = ω .

Для всех приведенных выше коэффициентов торможения были найдены релятивистские поправки, которые обобщают полученные классические и

классических и квантовых, эта поправка одинакова, поэтому достаточно привести только релятивистский вариант формулы Бете (5.7):

Нетрудно убедиться, что при малых β релятивистская поправка в выражении (5.9) пропорциональна β4 , поэтому она становится существенной только при

очень больших скоростях движения.

Блохом была вычислена и оценка для средней энергии возбуждения

где k ≈10эВ. Несмотря на свой приближенный характер, выражение (5.10) позволяет интерпретировать экспериментальные данные по взаимодействию заряженных частиц с биологическими объектами и оценить, например, верхнюю границу средней энергии возбуждения. В этой связи отметим, что во многих мягких тканях и воде среднее число электронов в 1г примерно одинаково и находится в пределах 3·1023 – 3,48·1023, однако использовать это значение для численных оценок электронной тормозной способности иона можно только в первом приближении. Действительно, в соответствии с выражением (5.10) средняя энергия возбуждения разных атомов имеет разное значение, а потери энергии при электронном торможении на разных атомах входят в полную тормозную способность (4.11) в виде отдельных слагаемых.

С уменьшением скорости налетающей частицы v1 точность описания

электронного торможения убывает из-за того, что ни в одной из приведенных выше теорий не учитывается уменьшение заряда налетающей частицы вследствие захвата электронов мишени. Для учета такого рода процессов в формулы Бете и Блоха можно подставить, например, некоторый зависящий от скорости эффективный заряд в соответствии с эмпирической формулой

Отметим также, что по мере уменьшения скорости иона электроны атомов мишени из внутренних оболочек, имеющие самые высокие орбитальные скорости, постепенно перестают участвовать в торможении. Поэтому определенное влияние на точность определения тормозной способности оказывают оболочечные эффекты в распределении атомных электронов и упоминавшийся выше обмен зарядами, который приводит к увеличению торможения. Приведенные выше выражения для тормозной способности и коэффициента торможения не отражают вклада перечисленных эффектов, которые должны учитываться отдельно. Эти недостатки, однако, компенсируются наличием большого количества согласованных экспериментальных данных для тормозной способности и пробегов.

Теперь кратко остановимся на электронном торможении при малых скоростях, когда оно не является превалирующим механизмом потерь энергии. Электронная тормозная способность частицы уже при средних скоростях движения v1 ≈ z1v0 резко падает вследствие захвата электронов и

уменьшения эффективного заряда (5.11), а также из-за меньшего участия во взаимодействии быстрых электронов внутренних оболочек атомов мишени. Поэтому вывод о существовании пика Брэгга у тормозной способности остается по-прежнему справедливым. В пределе малых скоростей v1 << z1v0

электронная тормозная способность оказывается пропорциональной скорости

По физическому смыслу предполагается, что при малых скоростях потери энергии появляются только из-за взаимодействия с очень слабо