Задачи по термодинамике
.pdfЗадачи по статистической физике (7 семестр).
Задача 1) Выяснить, как меняется энтропия однородной системы при её квазистатическом расширении системы при
постоянном давлении, и связать её с коэффициентами теплового расширения α = |
1 |
æ |
¶V ö |
|
|
ç |
÷ . |
||
V |
||||
|
è |
¶T ø |
Задача 2) |
Найти C p−Cv для системы с неизменным числом частиц. |
|
|
|
|
|
Задача 3) |
Выяснить у каких систем теплоёмкость Cv |
не зависит от объема системы. |
|
|
|
|
Задача 4) |
Выяснить, у каких систем теплоёмкость C p |
не зависит от давления. |
|
|
|
|
Задача 5) |
|
æ |
¶U ö |
æ |
¶H ö |
= 0; |
Найти уравнение состояния системы, для которой выполняются условие ç |
÷ |
= 0; ç |
÷ |
|||
|
|
è |
¶V øT |
è |
¶P øT |
|
|
æ |
¶V ö |
æ |
¶V ö |
|
T æ |
¶V ö2 |
|
Задача 6) |
Доказать тождество ç |
÷ |
= ç |
÷ |
+ |
|
ç |
÷ . |
|
||||||||
|
è |
¶P øS |
è |
¶P øT |
|
CP è |
¶T øP |
|
æ |
¶P ö |
æ |
¶P ö |
||
Задача 7) |
Доказать тождествоç |
|
÷ |
= ç |
|
÷ |
|
|
|||||
|
è |
¶V øS |
è |
¶V øT |
||
Задача 8) |
Используя уравнение неразрывности |
- T
CV
∂ρ
¶t
æ ¶V ö2 . ç ÷ è ¶T øV
+ (ρ ) = и уравнение движения идеальной жидкости div v 0
é¶v |
|
ù |
|
|
|
|
|
ρê |
+ (vÑ)vú = -Ñ P , выразить в линейном по возмущениям приближении, скорость звука в такой системе |
||||||
ë ¶t |
|
û |
|
|
|
|
|
через изотермический модуль всестороннего сжатия |
KT |
æ |
¶P ö |
||||
= ρç |
÷ . |
||||||
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
¶ρ øT |
|
Задача 9) Связать изменение температуры при изменении плотности жидкости в звуковой волне со скоростью |
|||||||
распространения звука. |
|
|
|
|
|
||
Задача 10) Термодинамическая система расширяется таким образом, что её внутренняя энергия U остаётся |
|||||||
|
|
æ |
æ ¶T ö |
ö |
|||
|
|
ç |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||
постоянной. Как изменится температура системы? ç |
|
|
÷ - ?÷ . Будет ли такой процесс обратимым? |
||||
|
|
è |
è ¶V øU |
ø |
Задача 11) Для единицы объёма диэлектрика с постоянной плотностью найти C E−CD |
однородного изотропного |
|
|
||||||||||||||
диэлектрика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12) Для единицы объёма диэлектрика с постоянной плотностью найти C H−C M |
однородного изотропного |
|
|
||||||||||||||
диэлектрика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13) Вычислить скорость звука в идеальном газе и газе ВандерВаальса, исходя из его термодинамического |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения V |
|
= |
æ |
¶P ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зв |
ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
¶ρ øS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 14) Найти разность |
C p−Cv для газа ВандерВаальса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 15) Пользуясь выражением для энтропии идеального газа, найти внутреннюю энергию идеального газа в своих |
|
||||||||||||||||
переменных S и V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 16) Найти критические параметры и записать уравнение состояния ВандерВаальса в безразмерных |
|
|
|
||||||||||||||
~ ~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
переменных P,V ,T ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 17) Найти критические параметры и записать I уравнение Дитеричи P(V −b)=RTe− |
a |
|
|
|
|||||||||||||
|
в безразмерных |
|
|
||||||||||||||
RTV |
|
|
|||||||||||||||
~ ~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
переменных P,V ,T ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
a |
ö |
|
|
a |
|
|
Задача 18) Найти критические параметры и записать второе уравнение Дитеричи çP+ |
|
|
÷(V -b)=RT exp(- |
|
) |
в |
|||||||||||
|
|
|
|
~ ~ ~ |
|
|
è |
|
V 5 3 |
ø |
|
|
RTV |
|
|
||
безразмерных переменных P,V ,T ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
æ |
|
a |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 19) Найти критические параметры для уравнения Бертло çP+ |
|
|
÷(V -b) |
=RTe в безразмерных переменных |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
~ ~ ~ |
|
|
|
è |
V T |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P,V ,T ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 20 ) Получить выражение для теплоёмкости Cv в переменных |
T , V , μ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 21) Найти свободную энергию газа ВандерВаальса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 22) Моль идеального газа находится в неограниченном сверху цилиндре, помещенном в однородном поле силы
|
тяжести. Вычислить теплоёмкость газа. |
PV 2=const . |
|
Задача 23) |
Определить теплоёмкость идеального газа в процессе |
||
Задача 24) |
Определить теплоёмкость идеального газа в процессе |
P2 V =const . |
|
Задача 25) |
Определить теплоёмкость идеального газа в процессе |
P |
= const . |
|
|||
Задача 26) |
|
V |
|
Объяснить причину понижения температуры тропосферы с высотой, считая воздух идеальным газом; |
|||
|
вычислить высотный градиент температуры в атмосфере. |
Задача 27) Найти η ДВС, работающего по циклу Отто, в котором сжатие и расширение горючей смеси производятся
|
адиабатно, а ее горение происходит при постоянном объеме (12, 34 – адиабаты, 23, 41 – изохоры). |
||
|
Параметром цикла является степень сжатия ε = V1 /V2 . |
||
Задача 28) |
Найти η ДВС, работающего по циклу Дизеля, диаграмма которого: 12 – адиабатическое сжатие |
||
|
атмосферного воздуха; 23 – изобарное расширение (впрыск горючей смеси и ее сгорание); 34 – |
||
|
адиабатическое расширение; 41 – изохорное охлаждение. Параметрами цикла являются: степень сжатия |
||
|
ε = V1 /V2 и степень предварительного расширения ρ = V3 /V2 . |
||
Задача 29) |
Найти η цикла Ленуара, состоящего из изохорного – 12, адиабатного – 23 и изобарного – 31 |
||
Задача 30) |
процессов. Параметром цикла является степень повышения давления δ = P2 / P1. |
||
Получить выражение для энтропии газа ВандерВаальса, найти внутреннюю энергию газа ВандерВаальса в |
|||
|
своих переменных S и V . |
|
|
|
æ |
¶ Nö |
|
Задача 31) |
ç |
÷ |
через легко измеримые величины. |
Выразить производную ç |
÷ |
||
|
è |
¶ μ øT,V |
|
Задача 32) Система состоит из N частиц одного сорта. Доказать утверждения:
æ ¶U ö
1) ç ÷
çè ¶ N÷øT,V
æ ¶ Nö
2) ç ÷
çè ¶ T ÷øV,μ
æ ¶Uö
3) ç ÷
çè ¶ T ÷øV,μ
|
|
|
|
æ |
¶ μ ö |
|
|
||
- μ = -Tç |
|
|
÷ . |
|
|||||
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
¶ T øV,N |
|
|||
|
1 |
|
æ |
|
ö |
æ |
|
ö |
|
= |
|
ç |
¶U |
÷ |
ç |
¶ N÷ |
|||
|
|
||||||||
/T T |
ç |
|
÷ |
ç |
¶ μ |
÷ . |
|||
è |
¶ NøT,V è |
øT,V |
æ |
¶U |
ö |
|
1 |
|
æ |
¶U |
ö2 |
æ |
¶ N |
ö |
|
- ç |
÷ |
= |
|
ç |
÷ |
ç |
÷ . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
ç |
¶ T |
÷ |
|
T |
ç |
|
÷ |
ç |
¶ μ |
÷ |
||
/T è |
øV, N |
|
è |
¶ NøT,V è |
øT,V |
|
æ |
æ ¶T ö |
ö |
|
Задача 33) |
ç |
ç |
÷ |
÷ |
Вычислить изменение температуры газа в результате процесса Джоуля – Томсона. ç |
- ?÷ . |
|||
|
è |
è |
¶PøH |
ø |
Рассмотреть случай идеального газа и газа ВандерВаальса.
Задача 34) Определить условие равновесия двух фаз веществ, т.е. двухфазной двухкомпонентной системы, когда каждая компонента входит в состав только одной фазы (водакеросин).
Задача 35) Найти уравнение кривой инверсии в переменных P,T для газа ВандерВаальса.
Задача 36) Для идеального газа известна теплоёмкость Cv = Nf (T ) ( N число молекул). Найти свободную энергию
F , внутреннюю энергию U , энтропию S и химический потенциал μ .
Задача 37) Найти выражение для плотности внутренней энергии U однородного изотропного диэлектрика.